几何图形的计算问题.docx
《几何图形的计算问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何图形的计算问题.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
几何图形的计算问题
初中奥数一：
几何图形的计算问题
一、填空：
（1）在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出-------21条．
（2）已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形7------个．
（3）三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共-------5个．
（4）以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是------- 14
（5）平面上10条直线最多能把平面分成-------5个部分．
（6）平面上10个圆最多能把平面分成9------个区域．
（7）n条直线相交，有-----对对顶角
（8）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，平面上不同的n个点最多可确定------条直线．
分析：
我们可以对每道题进行分析，找出其中的规律，从而得到所求的结果．比如（4）通过分析每两个顶点边线为边的三角形各种可能的角的大小进行，以正七边形的边为三角形一边的所有三角形均为钝角三角形，满足条件的三角形的三顶点两两之间至少有正七边的一个顶点隔开，这样的三角形以正七边形各顶点来看，每个顶点都存在两个满足条件的三角形，一共是14个．
解答：
解：
（1）由分析知：
在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出21条；
（2）已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形7个；
（3）三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有5个；
（4）通过分析每两个顶点边线为边的三角形各种可能的角的大小进行，以正七边形的边为三角形一边的所有三角形均为钝角三角形，满足条件的三角形的三顶点两两之间至少有正七边的一个顶点隔开，这样的三角形以正七边形各顶点来看，每个顶点都存在两个满足条件的三角形，一共是14个；
（5）1条直线分平面为2个部分，
再加1条，将2这两部分又都隔开，于是又多2个部分．
再画第3条，要想将平面分成最多块，那么这条直线需与两条直线都相交，且与之前的交点不重复，这样就会多出3个部分．
依次类推，每画第N条直线，要想将平面分成最多块，就会比之前多出N个部分．
于是10条直线能将平面分成2+2+3+4+…+10=56个部分；
（6）1个圆：
2， 2个圆：
2+2； 3个圆：
2+2+4 ，4个圆：
2+2+4+6
…
10个圆2+2+4+…+（10x2-2）=92
原因：
增加一个圆，这个圆（最多）可与前面各个圆相交，且只能有两个交点
（以1个圆考虑，与另一圆相交，增加两个交点，便多分出2个部分）
n个圆也适用，第n个与前n-1个交，n-1个每个都会多两个交点，即多分出2个部分增加nx2-2个．
二、解答题（共13小题）
2、如图所示，数一数图中有多少条不同的线段？
解答：
解：
对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：
（1）以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；
（2）以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；
（3）以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；
（4）以D为左端点的线段有DE，DF共2条；
（5）以E为左端点的线段只有EF一条．
所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15（条）．
3、图中有多少个三角形？
．
4、
（1）图中一共有多少个长方形？
（2）所有这些长方形的面积和是多少？
分析：
（1）根据线段上有5个点，得出线段的条数为10条，从而得出矩形的个数；
（2）根据矩形各条边的长度表示出各个矩形的面积，进而得出总的面积之和．
解答：
解：
（1）图中长的一边有5个分点（包括端点），
所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10（条）．
同样，宽的一边上不同的线段也有10条．
所以，共有长方形10×10=100（个）．
（2）因为长的一边上的10条线段长分别为
5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，
宽的一边上的10条线段长分别为
2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．
所以，所有长方形面积和为：
（5×2+5×6+…+5×3）+（17×2+17×6+…+17×3）+…+（1×2+1×6+…+1×3），
=（5+17+…+1）×（2+6+…+3），
=144×86，
=12384．
5、图中有多少个等腰直角三角形？
专题：
图表型．
分析：
先计算出图中的点数，然后在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数，从而可得出答案．
解答：
解：
由题意得：
图中有5×5+4×4=41个点．
在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数．
∴共有等腰直角三角形4×8+5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1=268（个）．
点评：
本题考查等腰直角三角形的知识，难度不大，关键是掌握查找的方法，避免漏解．
6、
（1）图（a）中有多少个三角形？
（2）图（b）中又有多少个三角形？
考点：
三角形．
专题：
规律型．
分析：
不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
解答：
解：
（1）图（a）中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．
从6条直线中选3条，有16×6×5×4=20．
种选法（见说明），每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1-70（a）中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．
（2）图（b）中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．
图（b）中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，
所以，图（b）中的三角形个数是35-2-4=29（个）．
说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．
从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．
7、问8条直线最多能把平面分成多少部分？
考点：
直线、射线、线段．
专题：
规律型．
分析：
分别求出1条直线、2条直线、3条直线的情况下所分成平面的数量，然后依次可得出8条直线最多能把平面分成多少部分．
解答：
解：
1条直线最多将平面分成2个部分；
2条直线最多将平面分成4个部分；
3条直线最多将平面分成7个部分；
现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，
如图，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．
完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．
所以，8条直线最多将平面分成37个部分．
8、平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？
．
分析：
一个圆可以把平面分成两部分，而两个圆交点最多有两个，每多一个交点会多出一个部分，所以此后增加的平面部分数依次是2，4，6，8，…2*（n-1）．
n个圆最多可以把平面分成2+[2+4+6+…+（2n-2）]=n2-n+2个部分．
解答：
解：
1个圆最多能把平面分成2个部分；
2个圆最多能把平面分成4个部分；
3个圆最多能把平面分成8个部分；
现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．
如图所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为
2+1×2+2×2++（n-1）×2
=2+2[1+2++（n-1）]
=n2-n+2．
所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
9、三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？
解答：
解：
设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：
（1）若点Pn在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
an=an-1+2．
易知a0=1，于是
a1=a0+2，a2=a1+2，，an=an-1+2．
将上面这些式子相加，得
an=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．
点评：
本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
10、有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
考点：
三角形三边关系．
专题：
计算题．
分析：
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
解答：
解：
如果规定底边是11厘米长，则另两边长可取：
（1）11，11；11，10；11，9；11，8；11，7；11，6；11，5；11，4；11，3；11，2；11，1；共11种；
（2）10，10；10，9；10，8；10，7；10，6；10，5；10，4；10，3；10，2；共9种；
（3）9，9；9，8；9，7；9，6；9，5；9，4；9，3；共7种；
（4）8，8；8，7；8，6；8，5；8，4；共5种；
（5）7，7；7，6；7，5；共3种；
（6）6，6；共1种；
所以共能围成不同三角形为：
1+3+5+7+9+11=36个．
点评：
本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
11、图中共有多少个三角形？
分析：
不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断．
解答：
解：
显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：
最大的三角形1个（即△ABC），
第二大的三角形有1+2=3（个），
第三大的三角形有1+2+3=6（个），
第四大的三角形有1+2+3+4=10（个），
第五大的三角形有1+2+3+4+5=15（个），
最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24（个）．
我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形（左、右、下各一个），所以最小的三角形不是21个而是24个．
于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59（个）．
图中共有三角形59×2=118（个）．
点评：
本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．
12、图中有多少个梯形？
考点：
认识平面图形．
专题：
常规题型．
分析：
根据梯形的定义是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，从最高层开始计算梯形的个数，即可得出答案．
解答：
解：
由所给图形及梯形的定义可知：
第四层（最高层）个数=4，
第三层个数=上底为1下底为3（7个）+上底为2下底为3（3个）=7+3=10个，
第二层个数=上底为1下底为3（9个）+上底为2下底为3（5个）+上底为3下底为4（2个）=9+5+2=16个；
第一层个数=上底为1下底为3（7个）+上底为2下底为3（5个）+上底为3下底为4（3个）+上底为4下底为5（1个）=7+5+3+1=16，
综上，共有梯形4+10+16+16=46个．
13、在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？
考点：
等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
分析：
（1）点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；
（2）点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可．
解答：
解：
（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）点P在三角形外部时，如右图
共有6个点符合要求；
∴具有这种性质的点P共有7个．
故答案为7个．
点评：
本题主要考查等腰三角形的的性质；要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键．
14、平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？
它们最多能把平面分成多少个部分？
分析：
（1）画出图形，数出交点个数即可；
（2）从规律看，4条平行线第一条直线和每条相交将会多出4+1个平面，第二条直线和每条相交将会多出5+1个平面依次类推．
解答：
解：
如图，图中共有33个交点．4条平行线5部分，加再加一条16部分，
可以看出规律5→10→16，
先加5再加6
升级会员 