安徽省淮南市届高三第一次模拟考试数学文.docx
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安徽省淮南市届高三第一次模拟考试数学文
淮南市2018届高三第一次模拟考试
数学文科试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知
，其中是虚数单位，则
（）
A.
B.
C.2D.1
【答案】B
【解析】
，则
选B
2.已知集合
，
，则
为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
选D
3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】根据几何概型的概率公式可得，A图中奖的概率P=
，B图中奖的概率P=
，C图中奖的概率P=
，D图中奖的概率P=
，则概率最大的为A，故选A.
考点：
几何概型.
4.已知函数
，下列说法错误的是（）
A.函数
最小正周期是
B.函数
是偶函数
C.函数
在
上是增函数D.函数
图像关于
对称
【答案】C
【解析】
，故A正确；
即函数
是偶函数，B正确；
，当
时，
，故D正确；
故选C.
5.若实数
满足
，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图：
其中
的几何意义，即动点P（x，y）与点
连线斜率的取值范围．
由图象可知过点
与点
直线的斜率
2．所以
，
故
的取值范围是
．............
故选D．
【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
6.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度
随时间变化的可能图象是（）
A.
B.
.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。
故选C。
7.执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
（）
A.5B.6C.7D.8
【答案】C
【解析】试题分析：
执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=
=0.5,S=S-m=0.5,
=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，
执行第2次，S="S-m"=0.25,
=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
执行第3次，S="S-m"=0.125,
=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，
执行第4次，S=S-m=0.0625,
=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，
执行第5次，S="S-m"=0.03125,
=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625,
=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125,
=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.
考点：
程序框图
视频
8.函数
的图象是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】试题分析：
函数为奇函数，去掉A,C;当
时
，因此选B.
考点：
函数图像与性质
9.在
中，角
的对边分别是
，已知
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
，所以
，故选B。
10.设
为抛物线
的焦点，过
且倾斜角为
的直线交
于
两点，
为坐标原点，则
的面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】交点坐标
，所以直线
的方程为
，
，得
，
所以
，
，
所以
，故选A。
11.已知
是
的重心，过点
作直线
与
，
交于点
，且
，
，
，则
的最小值是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图
三点共线，
∵
是
的重心，
解得，
结合图象可知
令
故
故
当且仅当
等号成立
故选D
12.已知函数
有两个零点
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
不妨设
，
有
，
所以
。
因为
，得
，
所以有
，
即
，
所以
，故选A。
点睛：
本题考查函数的零点问题。
函数零点所在区间的方法是转化为两个函数的交点问题，本题中还考察指数函数和对数函数的性质应用，结合函数的单调性，得到零点的相关特性，得到答案。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若
，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】当
时，显然成立；
当
时，
，得
；
综上，的取值范围是
。
14.《九章算术》“竹九节”问题：
现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为.
【答案】
【解析】试题分析：
由题意可知
，解得
，所以
.
考点：
等差数列通项公式．
15.已知函数
，则使得
成立的
的取值范围是____________.
【答案】
【解析】∵函数
满足
故函数
为偶函数，
当
时，
为增函数，
为减函数，
故函数
在
时为增函数，在
时为减函数，
则
解得：
故答案为
．
【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键．
16.过动点
作圆：
的切线
，其中
为切点，若
（
为坐标原点），则
的最小值是.
【答案】
【解析】设
，得
，即
，
所以点
的运动轨迹是直线
，
所以
，则
。
点睛：
本题考查直线和圆的位置关系、轨迹问题。
首先由条件，得到点
的运动轨迹是直线
，根据切线长的计算方法，
取最小，即圆心到直线的垂线交点为
的时候取到。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列
为等差数列，且
，
，数列
的前
项和为
.
（1）求数列
和
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
【答案】
（1）
，
（2）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{bn}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减求和法求出数列
的前
项和
试题解析：
（Ⅰ）数列
为等差数列，所以
又因为
，当
时，
所以
当
时，
即数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
（Ⅱ）
两式相减得
所以
点睛：
本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中
和
分别为特殊数列，裂项相消法类似于
，错位相减法类似于
，其中
为等差数列，
为等比数列等.
18.如图所示，正四棱椎
中，底面
的边长为2，侧棱长为
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
为
上的一点，且
，求三棱椎
的体积.
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】试题分析：
（1）
，得
平面
；
（2）由等体积法，得
。
试题解析：
（1）设
交
于
，连接
，则在
中，
分别为
的中点，
∴
，又
平面
，
平面
，
∴
平面
.
（2）易知
，且
平面
，
∴
19.某中学为研究学生的身体素质与与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：
（平均每天锻炼的时间单位：
分钟）
将学生日均课外体育运动时间在
上的学生评价为“课外体育达标”.
平均每天锻炼的时间（分钟）
总人数
20
36
44
50
40
10
请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过
的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
女
20
110
合计
从上述200名学生中，按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样，抽取4人得到一个样本，再从这个样本中抽取2人，求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
【答案】
（1）不能判断
（2）
【解析】试题分析：
（1）完成表格，得到在犯错误的概率不超过
的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；
（2）由题意，通过穷举法，得到
.
试题解析：
（1）由题意可得如下列联表：
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
.
所以在犯错误的概率不超过
的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
（2）由题意，样本中“课外体育不达标”的学生有3人，记为：
；“课外体育达标”的学生有1人，记为：
.
从这4人中抽取2人共有
，
，
，
，
，
6种情况，
其中“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”有
，
，
3种情况，
设“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”为事件
，则
.
20.椭圆
的左顶点为
，右焦点为
，上顶点为
，下顶点为
，若直线
与直线
的交点为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）点
为椭圆
的长轴上的一个动点，过点
且斜率为
的直线交椭圆
于
两点，证明：
为定值.
【答案】
（1）
（2）
是定值.
【解析】试题分析：
（1）由题意，得到
且
，又因为
，解得
，所以椭圆的标准方程为
.
（2）设的方程为
，得
，
，所以
是定值.
试题解析：
（1）由椭圆
的左顶点的坐标为
，上下定点的坐标为
，
，右焦点的坐标为
，则直线
的方程为
，直线
的方程为
，又因为直线
和直线
的交点为
，所以有
，解得
且
，又因为
，解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）设的方程为
，即
，代入
并整理得：
，
设
，
，则
，
，
又因为
，同理
，
则
，
所以
是定值.
点睛：
本题考查直线和椭圆的位置关系。
由题意，联立方程得到韦达定理：
，
，表示
，
，则
，代入韦达定理，求得定值。
21.已知函数
.
（1）求函数
在点
处的切线方程；
（2）在函数
的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在
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