中考数学复习专题突破专题01 对称性问题1.docx

中考数学复习专题突破专题01 对称性问题1.docx

《中考数学复习专题突破专题01 对称性问题1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习专题突破专题01 对称性问题1.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学复习专题突破专题01对称性问题1

专题01对称性问题

1、对称的含义

物体或图形在某种变换条件下，其相同部分有重复出现的现象，即在一定变换条件下的不变现象，称之为对称现象，广泛地存在于各个学科中，尤其是在数学学习中，从图形上看有点的对称、线的对称、面的对称；从内容上看有轴对称、中心对称、从式上看有对称多项式等等。

2、平面直角坐标系中对称的表现形式

求一个点关于另一个点（比如原点）对称；求一个点关于某条直线（如x轴、y轴）对称；求一条线关于某个点（或某条线）对称等；

3、问题解决：

基本原理轴对称性质；规律：

关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成它的相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数；关于原点对称，横纵坐标都变成它的相反数；关于直线y=x对称，横纵坐标交换位置等。

一、单选题

1．（2017·全国初二单元测试）平面直角坐标系内的点A（－1，2）与点B（－1，－2）关于（）

A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称

【答案】B

【解析】点A（－1，2）与点B（－1，－2）关于x轴对称.故选B.

【点拨】关于x轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数.

2．（2018·河南初二期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴对称点的坐标是（﹣1，2），则点P关于y轴对称点的坐标是（　　）

A．（1，﹣2）B．（1，2）C．P（﹣1，﹣2）D．P（﹣1，2）

【答案】A．

【解析】∵点P关于x轴对称点的坐标是（﹣1，2），

∴P（﹣1，﹣2），

∴点P关于y轴对称点的坐标是（1，﹣2）．

【点拨】本题的考点是求点关于轴的对称点.方法是明确关于横轴和纵轴对称点的坐标特点.或者利用数形结合思想直接画草图进行解题。

3．（2019·江西初三月考）对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是（）

A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称

C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点

【答案】D

【解析】两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．故选D．

【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．

4．（2020·全国初三课时练习）在同一坐标系中，抛物线

，

，

的共同特点是（　）

A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x增大而减小

C．关于y轴对称，y随x增大而增大D．关于y轴对称，顶点在原点

【答案】D

【解析】∵函数y=2x2，y=

x2，y=

x2中，a取值范围分别为a＞0，a＞0，a＜0，

∴抛物线的开口方向分别为向上、向上、向下，即开口方向不同；

由函数y=2x2，y=

x2，y=

x2的解析式可知顶点坐标都为（0，0）；

∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．故选D．

5．（2020·河北省）平面直角坐标系内的点A（－1，2）与点B（1，－2）的位置关系是（　　）

A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．无法确定

【答案】C

【解析】点A（－1，2）与点B（1，－2）的横坐标纵坐标互为相反数，所以它们关于原点对称，故选C

6．在平面直角坐标系中已知A（-4，3），B（3，-4）两点，则点A与点B的关系是（）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于x=3轴对称D．关于y=x对称

【答案】．D

【解析】A（-4，3），B（3，-4）两点横纵坐标交换位置的，可知A（-4，3），B（3，-4）两点关于y=x对称

【点拨】关于一三象线角平分线y=x对称的两点横纵坐标交换位置

7．（2020·全国初二课时练习）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），下列说法正确的是（　　）

A．点A与点B（2，﹣3）关于x轴对称B．点A与点C（﹣3，﹣2）关于x轴对称

C．点A与点D（2，3）关于y轴对称D．点A与点E（3，2）关于y轴对称

【答案】．C

【解析】∵点A的坐标为（-2，3），

∴点A关于x轴对称的点的坐标为（-2，-3），

点A关于y轴对称的点的坐标为（2，3），

∴选项A、B、D错误；选项C正确．

【点拨】根据关于x轴对称点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答．

8．（2020·山东初一期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于原点对称D．关于坐标轴和原点都不对称

【答案】A．

【解析】∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣2，﹣3），

∴点A和点B的位置关系是关于x轴对称．故选A．

【点拨】根据关于x轴对称点的坐标性质，横坐标不变纵坐标互为相反数，进而得出答案．

9．（2020·全国初二课时练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　）

A．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称B．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称

C．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称D．点A与点E（3，4）关于第二象限的平分线对称

【答案】C

【解析】根据关于x轴对称点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案．故选C．

【点拨】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．

10．（2016·石家庄市第九中学初三）如图，已知点A（1，1）关于直线y=kx的对称点恰好落在x轴的正半轴上，则k的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解设A关于直线y=kx的对称点为A′，连接AA′，交直线y=kx于C，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则AE∥CF，

∵A（1，1），

∴AE=OE=1，

∴OA=

，

∵A和A′关于直线y=kx对称，

∴OC是AA′的中垂线，

∴OA′=OA=

，

∵AE∥CF，AC=A′C，

∴EF=A′F=

，

∴CF=

AE=

，

∴OF=OA′-A′F=

，

∴C（

，

），

把C（

，

）代入y=kx中得

，

∴

，

故选B．

【点拨】作辅助线，构建点与x轴和y轴的垂线，先根据点A的坐标得出OA′的长，再根据中位线定理和推论得CF是△AA′E的中位线，所以CF=

AE=

，也可以求OF的长，表示出点C的坐标，代入直线y=kx中求出k的值．

二、填空题

11．（2019·广东初二期末）在平面直角坐标系中，点A（3，-2）关于y轴对称的点坐标为________．

【答案】．

【解析】点A（3，-2）关于y轴对称的点坐标为

故答案为

．

【点拨】根据关于y轴对称的点的特点纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得出答案．

12.（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初二期中）已知点A（x，3）和B（4，y）关于x轴对称，则x＝_____，y＝______.

【答案】x=4,y=-3

【解析】∵点A（x，3）和B（4，y）关于x轴对称，

∴x＝4，y＝﹣3，

故答案为4，﹣3.

【点拨】此题考查的是关于x轴的对称点的坐标特点,掌握关于x轴的对称点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数是解决此题的关键.

13．（2020·河北初二期末）已知点A（x，2），B（﹣3，y），若A，B关于x轴对称，则x+y等于_____．

【答案】﹣5．

【解析】【详解】

∵A，B关于x轴对称，∴x＝﹣3，y＝﹣2，∴x+y＝﹣5．

故答案为﹣5．

【点拨】本题考查了关于x轴对称的点的特点及代数式求值问题；用到的知识点为两点关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变．

14．（2019·全国初二单元测试）在平面直角坐标系中，若点

与点

关于y轴对称，则m=________.

【答案】-3

【解析】∵点P（2，3）与点Q（m+1，3）关于y轴对称，

∴m+1=-2，

∴m=-3，故答案为-3.

【点拨】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

15．（2018·全国初二期中）已知点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，则（x+y）2014的值为________．

【答案】1

【解析】点A（x，3）和B（4，y）关于y轴对称，得x=-4，y=3．

（x+y）2014=（-1）2014=1，

故答案是1．

【点拨】考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

16．（2019·北京人大附中初一课时练习）将点

先关于x轴对称，再关于y轴对称的点的坐标为_______．

【答案】（1,-4）

【解析】设

关于x轴对称的点为

则

点的坐标为（-1,-4）

设点

和点

关于y轴对称

则

的坐标为（1,-4）

故答案为（1,-4）

【点拨】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

17．（2019·山东初二期中）在平面直角坐标系中,点A的坐标是（2,-3）,作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是____.

【答案】（-2,3）

【解析】∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是（﹣2，3）．故答案为﹣2；3．

【点拨】考点关于x轴、y轴对称的点的坐标．

18．（2020·安徽初二期末）在平面直角坐标系中，先将函数y=2x-2的图象关于x轴作轴对称变换后，再沿x轴水平向右平移2个单位后，再将所得的图象关于y轴作轴对称变换，则经过三次变换后所得的图象对应的解析式为______

【答案】y=2x+6

【解析】∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，

∴将直线y=2x-2关于x轴作轴对称变换所得直线的解析式为y=-（2x-2）=-2x+2，

∵把y=-2x+2的图象沿x轴水平向右平移2个单，

∴平移后的解析式为y=-2（x-2）+2=-2x+6，

∵关于y轴对称的点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，

∴将直线y=-2x+6关于y轴作轴对称变换所得直线的解析式为y=-2（-x）+6=2x+6，

故答案为y=2x+6

【点拨】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点及“左加右减，上加下减”的平移规律是解答此题的关键．

19.（2019·河北中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:

y＝x，作A1（1，0）关于y＝x的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y＝x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究点A3的坐标是_____，点B2014的坐标是_____．

【答案】（3，2），（2013，2014）．

【解析】解如图所示点A3的坐标是（3，2），

∵B1（0，1），B2（1，2），B3（2，3），

∴B点横坐标比纵坐标小1，

∴点B2014的坐标是（2013，2014）．

故答案为（3，2），（2013，2014）．

【点拨】根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．此题主要考查了点的变化规律，得出B点横纵坐标变化规律是解题关键．

20.（2019·湖北中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣2，1）关于y轴的对称点P′，点T（t，0）是x轴上的一个动点，当△P′TO是等腰三角形时，t的值是_____．

【答案】．

或4或

或

.

【解析】由题可知，点P′的坐标是（2，1），则OP′＝

＝

，

（1）当OP′是等腰三角形的底边时，点T就是OP′的垂直平分线与x轴的交点，根据三角形相似可得OT＝

；

（2）当OP′是等腰三角形的腰时，若点O是顶角顶点，则点T就是以点O为圆心，以OP′为半径的圆与x轴的交点，则坐标是（4，0），则t的值是4，若点P′是顶角顶点，则点T就是以点P′为圆心，以OP′为半径的圆与x轴的交点，则坐标是（

，0）或（﹣

，0），则t的值是

或﹣

．由

（1）

（2）可知t的值是

或4或

或

．

【点拨】点P′是已知点P（﹣2，1）关于y轴的对称，则点P′的坐标是（2，1），则OP′＝

，OP′是等腰三角形的底边或腰，应分几种情况讨论．

三、解答题

21．（2019·全国初二单元测试）在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为（7x＋6y－13，y－x－4），点A关于y轴对称的点的坐标为（4y＋2x－1，6x－4y＋5），求点A的坐标．

【答案】点A的坐标是（－

，

）.

【解析】由题意，得7x＋6y－13＋4y＋2x－1＝0，y－x－4＋6x－4y＋5＝0，

解得x＝

y＝

7x＋6y－13＝－

，6x－4y＋5＝

，

∴点A的坐标是（－

，

）.

【点拨】本题考查了关于x轴、关于y轴对称点的坐标，熟练运用点关于对称轴对称的规律是解决问题的关键．

22．（2018·全国初二单元测试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2x+y﹣3，x﹣2y），它关于x轴的对称点A1的坐标为（x+3，y﹣4），关于y轴的对称点为A2．

（1）求A1、A2的坐标；

（2）证明O为线段A1A2的中点．

（1）解∵点A（2x+y﹣3，x﹣2y）与A1（x+3，y﹣4）关于x轴对称，

∴

，

解得，

所以，A（8，3），

所以，A1（8，﹣3），A2（﹣8，3）；

（2）证明设经过OA1的直线解析式为y=kx，

易得

=﹣

x，

又∵A2（﹣8，3），

∴A2在直线OA1上，

∴A1、O、A2在同一直线上，

由勾股定理知OA1=OA2=

=

，

∴O为线段A1A2的中点．

23．（2019·江苏南通田家炳中学初二期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）

（1）在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；

（2）直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标；

（3）求△ABC关于y轴的轴对称图形的面积．

【详解】

（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）A''（3，4），B''（4，1）；

（3）

，

则△ABC关于y轴的轴对称图形的面积与△ABC的面积相等，为

．

24．（2020·江西初三期中）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．

（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；

（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；

（3）求线段BC的长．

（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；

（2）如图所示点A′的坐标为（-4，-3），B′的坐标为（-3，0），点C′的坐标为（2，-5）；

（3）线段BC的长为

=5

．