第四组的A题.docx
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第四组的A题
摘要
物流业作为重要社会发展的重要产业之一，被人们称为“第三利润源泉”，其中产业供应链的建立是与利益直接相连的关键环节之一，考虑到供应点的建设费用，货物配送费用（与运输路线选择和货物总量用有关），选取合适的配送中心地址以及配送路线，实现供应过程中产品供应与需求的完美配合，以保证成本最小化。
然而，每一个供应环节都可能出现问题，部分路线可能遭受破坏，研究供应链网络如何建立使得成本最小化和稳定性最大化，即破坏造成的影响最小。
问题一：
首先，按照表1各城市的坐标位置以及表2各城市之间的道路联系，利用matlab软件绘制出各城市之间的路线图，利用弗洛伊德算法（Floyd）计算并得出指定两点最短距离与具体路径；第二步，结合0-1规划建立线性规划模型，用lingo软件求最优解，得出8个供应中心和相应供货路线。
问题二；采取问题一中建立的最优供应中心，首先，将被破坏的道路视为道路之间不存在联系，考虑所有可能的道路破坏方案,利用Floyd算法和枚举法计算相应情况下的最短距离矩阵，反向思维，运输道路被坏的需求点寻找最近的供应中心，计算出破坏后每种情况下运输网络的总成本，选出总成本增加超过25%且破坏数量最少方案。
问题三：
此问中没有破坏道路最少限制，首先，运用概率论知识，建立概率模型分析得出当意图破坏8条路线时其平均费用最大（8号公路由于某种原因不进行考虑）；在问题二已计算出每种已经造成的道路破坏情况下的总费用，考虑到道路破坏服从一定概率分布，破坏具有不可控性，求出意图破坏8条路时所有可能出现的情况（包括各种破坏不成功的情况）及其出现的概率，最终结合概率论中数学期望的定义得出最终平均总费用，此时费用即为平均最大费用。
一、问题重述：
全球化竞争的加剧促使越来越多的企业开始采用供应链管理策略，以实现企业的一体化管理。
供应链是一个复杂的网状结构系统，每一部分都面临着各种潜在的风险，任何一部分出现问题都可能给整个供应链带来严重的影响，因此如何分析、评价和提高供应链系统的可靠性变得日益迫切。
设施系统是供应链的核心，在供应链研究中有着极其重要的地位。
在一个设施系统中，某些个设施由于自然灾害或者其他因素的影响可能失效，例如911恐怖袭击事件、2004年的印度洋海啸、2008年的汶川地震等都对诸多行业的设施系统造成了严重的破坏。
现有某物流公司要在全国各城市之间建立供应链网络。
需要选定部分城市作为供应点，将货物运输到各城市。
通常每个供应点的货物是充足的，可以充分满足相应城市的需求。
设该公司考虑共考虑49个城市的网络，城市的坐标见表1。
城市之间的道路连接关系见表2。
在每个城市建立配送中心的固定费用和需求量表3，并假定作为供应点的城市其供应量可以满足有需要的城市的需求。
现将要建立一个供应网络，为各城市提供货物供应。
货物运输利用汽车进行公路运输。
设每吨每公里运输费用为0.5元。
现提出如下问题：
1.现在要从49个城市中选取部分城市做为供给点供应本城市及其它城市。
建立供给点会花费固定费用，从供应点运输到需求点会产生运输费用，要使总费用最小，问建立多少个供应点最好。
给出选中作为供应点的城市，并给出每个供应点供应的城市。
同时根据坐标作出每一个供应点到需求点的连接图。
2.假定有某组织对该供应网络的道路进行破坏。
并非所有的道路都可以被破坏，可破坏的道路见表4。
当某条道路被破坏后，该条道路就不能再被使用，以前运输经过该道路的只有改道，但总是沿最短路运输。
如果破坏方选取的策略是使对方总费用增加25%，而每破坏一条道路都需要成本和代价，因此需要破坏最少的道路。
问破坏方选取哪几条线路进行破坏。
给出具体的破坏道路和总费用。
3.假定各道路能否被破坏具有随机性，当某条道路被破坏后，该条道路就不能再被使用，以前运输经过该道路的只有改道，但总是沿最短路运输。
运输时产生的费用可按照各种情况下的平均费用来考虑。
但是显而易见的是破坏所有使得损失最大。
我们考虑了破坏方的的破坏费用，取消小于破坏方费用的道路，找到最少道路。
关键词：
供应链Floyd算法0-1型整数规划线性规划概率论
二、问题的基本假设与说明：
2.1.假设所有城市之间均可以通过公路交通进行物资运输
2.2.假设各个城市之间的直线距离即它们之间的公路长度，仅将城市的坐标作图使用
2.3.假设问题2中对任意道路破坏的成功率为百分之百
2.4.假设破坏方是一个实际的组织，会从现实的角度考虑破坏计划的实施
2.5．假设在运输网络建设期间和某组织破坏期间不会遭遇地震，海啸等自然灾害的影响
2.6.假设在运输过程中不出现交通事故等影响运输的其他人为因素
三、符号说明：
符号
符号说明
Xi
判断第i个城市是否建立供应点，1表示建立，0表示不建立
Y（i，j）
0-1变量，判断第i个城市是否给第j个城市供应货物，1表示供应，0表示不供应
Wi
在i建立供应点的固定费用
Oj
第j个城市的货物需求量
d（i，j）
第i个城市到第j个城市的最短距离
Ri
代表第i条道路可以被破坏
M（i）
0-1变量，判断是否破坏第i条路，1表示破坏，0表示不破坏
S1
道路破坏前的费用
△s
增加的费用
S2
道路破坏后的费用
T
运输的平均费用
J
供应点的固定费用
M
最小费用
d2（i，j）
破坏道路后的最短路径
五、模型建立与求解
4.1.问题1：
要使总费用最少，需建立合适供应点同时使固定费用和运输费用和最小。
而运输费用最小则需要算出第i点与第j点的最小折线距离。
最短距离矩阵算法：
由于题目中并非任意城市之间两两相通，要求固定两点之间
最短距离，采用Floyd算法，以两点之间距离作为作为边的权，若两点之间没有
道路相连，则权视为无穷大，以一个二维邻接矩阵记录道路之间的联系，据算得出一个49阶的方阵。
计算出第i点与第j点的最短折线距离时最短距离d（i，j）。
1.约束条件：
第j个城市只能接收一个供应点的货物：
2.对于任一个城市，如果不在该点建供应点，则xi=0；y（i，j）=0；如建立供应点则xi=1，y（i，j）=1，所以y（i，j）≦xi，所以：
y（i，j）≦xi，i，j=1,2、、、49
3.目标函数：
建供应点的城市
可以提供货物的城市
4
1,2,3,4,5,15,16,27,46,47
7
6,7,8,39,40,41,42
11
9,10,11,12,13,32,36,37,38,43
20
19,20,21,24,25,33,34,35,48,49
23
22,23
26
26
28
28,29,30,31
45
14,17,18,44,45
供应节点个数
8
最小费用M
919.712万元
供应点城市
4,7,11,20,28,45,23,26,
（详图见附录）
具体供应路线
需求点
供应路线
需求点
供应路线
1
4-3-1
26
26
2
4-3-2
27
4-27
3
4-3
28
28
4
4
29
28-29
5
4-5
30
28-30
6
7-6
31
28-31
7
7
32
11-37-13-32
8
7-8
33
20-19-35-33
9
11-9
34
20-19-34
10
11-10
35
20-19-35
11
11
36
11-37-13-36
12
11-10-12
37
11-37
13
11-37-13
38
11-10-38
14
45-17-14
39
7-6-39
15
4-3-15
40
7-40
16
4-16
41
7-41
17
45-17
42
7-41-42
18
45-18
43
11-10-43
19
20-19
44
45-44
20
20
45
45-
21
20-21
46
4-27-46
22
23-22
47
4-5-47
23
23
48
20-48
24
20-24
49
21-49
25
20-25
4.2问题二：
根据表4在原图中标记处所有可破坏的道路如下图所示：
并非所有的道路都能被破坏，当某条道路被破坏后，道路就不可以被使用的，而由附表三和附表四可知，城市49不能当成供应中心，而到城市49的路线只有一条。
关于道路8即城市21到49的路线被破坏情况我们有以下三种解决方案：
方案一:
不考虑道路8被破坏的情况，即认为道路8是不能被破坏的，只考虑别的8条道路被破坏的情况。
根据问题一的结果我们可知供应中心已经建立，当破坏其余8条路中的若干条时，这是若干点的最短路径被破坏，这时我们需要从新建立需求点到供应中心的路径，利用Floyd算法即可求得，此时我们反向思维利用需求中心来找供应中心，即取mind2（i,j）,其它步骤类似于问题一。
我们可以通过删除该条道路的数据和调用Floyd算法来依次计算出这8条道路的价值，并将他们从小到大进行排列，从中选择破坏性最大的路取和计算出满足条件的解。
目标函数：
求解公式：
S2=
其中d（i，j）为第j个需求中心分别到8个供应点的距离，利用Floyd算法可以求得mind（i，j）再乘以路程及需求量及价格a。
我们用
，只需求出t
1.25的道路即可。
此时我们利用matlab进行求
解，可得以下结果。
道路破坏情况
11011111
11011111
11111011
11111111
t
1.25884836967407
1.26267424208323
1.25884836967407
1.26267424208323
破坏后总费用
11577777
11577777
11612964
11612964
（其中道路破坏情况用0-1表示：
0-未破坏，1-破坏）
故至少破坏7条路。
方案二：
由于道路破坏是不可修复的，所以只要破坏了道路8，又根据题的假设我们可知城市49无法得到货物，我们可以考虑在城市49重新建立供应中心此时需花费1000000000元此时给对方造成的经济损失易知远远大于第一问的125%。
故此时方案正确，只需破坏道路8即可。
方案三：
考虑到公司建立链状网络的需要就是盈利，当道路8被破坏后公司可以放弃该地区的营业，所造成的损失即以前公司在该地区的净盈利，而计算净盈利我们
需考虑该物品的单价，销售量，公司职员人数及每个员工的工资，销售成本，
广告费用等等，在此不做具体分析。
4.3问题三：
首先，同问题2中的分析，道路8被破坏后造成的损失是难以估量的，因此我们在此问题的讨论中依旧先将其放置在一遍，就剩下的8条道路进行讨论。
我们可以将问题3模拟成恐怖组织在商讨具体的破坏方案，确定最优的具体计划破坏的道路数和具体的道路编号，由于任何一条道路在破坏方实施轰炸以后是否会被真的破坏是一个相互的独立事件。
以此图作为参考，当计划确定对某一条公路实施破坏时，会有Z、T两种情况，
而最终破坏该条公路产生的运输费用为两种情况的期望之和，当选择破坏某两条公路时，该二叉树继续衍生，产生出4个终端分支M,Y,R,J，因为破坏两条道路成功后会产生的总运输费用必然大于破坏一条道路成功时的总运输费用，而因为它们是相互独立事件，所以成功与否的结果互相不会产生影响，也就是说M+Y的概率即为Z的概率，R+J的概率即为T的概率，但是M+Y+R+T的总费用的值必然大于2倍的Z+T的总费用值，于是计划破坏两条道路的总运输费用的期望值必然大于计划破坏一条道路的总运输费用的期望值，以此类推，二叉树继续繁衍，均满足这一情况。
因此很显然，实施破坏的道路数目越多，理论上给对方增加的费用也就会越多，根据繁衍树来看，破坏n条道路会有2n种情况产生，而最终该方案的总费用是按照各种情况下的平均费用来考虑的，因此我们可以列出破坏n条道路产生的运输费用的计算公式为：
其中
表示第k种情况所对应产生的运输费用，
代表第k种情况会发生的概率。
目标函数平均总费用的计算公式为：
P为问题1中的建站费用，是一个定值。
因此只有
的值会影响
的值。
那么根据此公式以及之前的分析来看，只要尽可能地破坏更多的道路，就可以使
的值更大，因此在不计实施方成本以及效率的情况下，破坏所有能够破坏的道路将是使对方的平均总费用增加最大的最佳方案，换言之，通过理论分析，我们得出的最佳破坏方案应该是破坏所有的道路，用繁衍算法可以计算出破坏8条道路的最终值：
所以，当我们定义平均总费用增加仅仅为考虑了破坏成功概率之后使对方增加的总费用时，得出的最优解为破坏所有9条道路（其中第号公路不参与计算），平均总费用为1.06063×10^7元；
但是如果破坏方考虑实际，那么根据破坏的费用，取消问题二中小于破坏方费用的值，剩下的就是破坏的最大道路。
假设破坏方破坏费用为10W元，那么最少道路为6条。
五、模型的评价和推广
模型的优点：
1.通过穷举法很快建立模型，并通过lingo得到最优解；
2.建模容易，方程简单，能够对有限样本进行快速求解；
3.通过矩阵的特点，很容易记录道路破坏情况及概率分布；
模型的缺点：
1.当样本点很多时，很难通过穷举法进行求解；
2.当有多种破坏情况时，需要计算很多最短距离矩阵，使运算量加大甚至无法计算结果；
模型的推广
问题一的模型广泛应用于运筹学中的背包问题，道路破坏问题则广泛应用于供应网络稳定性的考察，破坏越容易得其网络稳定性越差。
但本模型只适用于样本点少，有一定几何规律的设计。
适用于对实际情况的快速求解，对数据的要求较高。
7、参考文献
[1]西北工业大学数学建模指导委员会（编），数学建模简明教程，北京：
高等教育出版社2008。
[2]孙蓬，MATLAB基础教程，北京：
清华大学出版社，2011。
[3]肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安：
西北工业大学出版社，2008.
运用软件MatlabLingoMathtypeExcelphotoshopcs6
八、附录
程序及运算结果：
问题一：
Floyd算法计算最路径R和路程D（MATLAB代码）：
function[D,R]=toD（D）
form=1:
49
forn=1:
49
R（m,n）=m;
end
end
fork=1:
49
forn=1:
49
form=1:
49
ifD（m,n）>D（m,k）+D（k,n）
D（m,n）=D（m,k）+D（k,n）;
R（m,n）=k;
end
end
end
end
end
LINGO代码（代码中D为Floyd计算结果D）：
sets:
city/1..49/:
c,n,p;
link（city,city）:
x,k;
endsets
data:
x=D；
p=12329749653582237157539891391624677487636495603721834642786693156325711263645315177432319415123424670155233174568761583317204272948115040122421736655;
c=11235841000000000.000007334002720801694801000000000.000004578241000000000.000001000000000.00000663936411616370120580032526680733248876736760608585504955776526680
1000000000.00000247532068460827664040356031008941184
1963841000000000.000001147601000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.000002891041000000000.000001000000000.000007204806992002438081000000000.000001000000000.000001000000000.000001000000000.00000;
enddata
min=0.5*@sum（link（i,j）:
k（i,j）*p（j）*x（i,j））+@sum（city（i）:
c（i）*n（i））;
@for（link:
@bin（k））;
@for（city（i）:
@bin（n（i）））;
@for（link（i,j）:
@sum（link（a,j）:
k（a,j））>=1）;
@for（link（i,j）:
（n（i）-k（i,j））>=0）;
y=@sum（city（i）:
c（i）*n（i））;
m=0.5*@sum（link（i,j）:
k（i,j）*p（j）*x（i,j））;
end
结果显示：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
9197118.
Objectivebound:
9197118.
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
300
ModelClass:
MILP
Totalvariables:
2452
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
2450
Totalconstraints:
4805
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
127255
Nonlinearnonzeros:
0
N
（1）0.000000
N
（2）0.000000
N（3）0.000000
N（4）1.000000
N（5）0.000000
N（6）0.000000
N（7）1.000000
N（8）0.000000
N（9）0.000000
N（10）0.000000
N（11）1.000000
N（12）0.000000
N（13）0.000000
N（14）0.000000
N（15）0.000000
N（16）0.000000
N（17）0.000000
N（18）0.000000
N（19）0.000000
N（20）1.000000
N（21）0.000000
N（22）0.000000
N（23）1.000000
N（24）0.000000
N（25）0.000000
N（26）1.000000
N（27）0.000000
N（28）1.000000
N（29）0.000000
N（30）0.000000
N（31）0.000000
N（32）0.000000
N（33）0.000000
N（34）0.000000
N（35）0.000000
N（36）0.000000
N（37）0.000000
N（38）0.000000
N（39）0.000000
N（40）0.000000
N（41）0.000000
N（42）0.000000
N（43）0.000000
N（44）0.000000
N（45）1.000000
N（46）0.000000
N（47）0.000000
N（48）0.000000
N（49）0.000000
由于K（49*49）矩阵数据量过大，这里无法表示，计算结果已在问题分析中给出。
连接图（MATLAB绘制）：
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