学年高中物理第7章机械能守恒定律第5节探究弹性势能的表达式学案新人教版必修2.docx

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学年高中物理第7章机械能守恒定律第5节探究弹性势能的表达式学案新人教版必修2

第5节　探究弹性势能的表达式

学习目标

核心提炼

1.知道探究弹性势能表达式的方法。

1个概念——弹性势能

1个方法——化变力为恒力

2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素。

3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法。

4.领悟求弹力做功时，通过细分过程化变力为恒力的思想方法。

一、弹性势能

阅读教材第67～68页内容，了解弹性势能的概念。

1．定义：

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。

2．弹簧的弹性势能：

弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。

弹簧被拉长或被压缩时，就具有了弹性势能。

思维拓展

下列三张图中的物体有什么共同点？

有没有弹性势能？

答案　弓、金属圈、弹性杆在发生形变时，都会伴随着弹性势能的产生，在适当的条件下通过弹力做功将弹性势能转化为其他形式的能。

二、探究弹性势能的表达式

阅读教材68～69页内容，了解探究弹性势能表达式的过程。

1．猜想

（1）弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大。

（2）弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大。

2．探究思想：

弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能的变化关系相似。

3．两种方法计算弹簧弹力的功

（1）微元法：

把整个过程划分为很多小段，整个过程做的总功等于各段做功的代数和：

W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln。

（2）图象法：

作出弹力F与弹簧伸长量l关系的F-l图象，则弹力做的功等于F-l图象与l轴所围的面积。

思维拓展

如图所示，

用弹簧制作一弹射装置。

要想把小球弹得越远，弹簧的形变量必须怎样？

要想把小球弹得越远，弹簧的劲度系数应该怎样？

由此设想，对同一弹簧而言，弹性势能与什么有关？

答案　要想把小球弹得越远，弹簧的形变量必须很大，但在弹性限度内，所用弹簧的劲度系数应该更大。

弹性势能与弹簧的形变量及劲度系数有关。

预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

　弹性势能的理解

[要点归纳]

1．弹性势能的产生原因

（1）物体发生了弹性形变。

（2）物体各部分间有弹力的作用。

2．影响弹簧弹性势能大小的因素

（1）弹簧的劲度系数。

（2）弹簧的形变量。

3．弹性势能表达式

（1）弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹簧弹力做的功等于弹性势能的减少量，或者说弹性势能的增加量等于弹簧弹力做功的负值，即W＝－ΔEp。

（2）弹簧弹力做功。

如图1所示，对于弹簧弹力F与其伸长量x的关系F-x图象，其与横轴所围图形（图中阴影部分）的面积就表示克服弹力所做的功。

图1

由此可求得劲度系数为k的弹簧从其自然长度伸长了x长度时，弹力做功W＝－

kx2。

（3）表达式：

根据W＝－ΔEp得W＝Ep0－Ep＝0－Ep，所以Ep＝

kx2。

[精典示例]

[例1]通过探究得到弹性势能的表达式为Ep＝

kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长（或缩短）的长度。

请利用弹性势能的表达式计算下列问题：

放在地面上的物体上端系在劲度系数k＝400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图2所示。

手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m高处，如果不计弹簧重和滑轮跟绳的摩擦，求拉力所做的功以及弹簧的弹性势能。

图2

解析　由题意知弹簧的最大伸长量x＝0.1m，弹性势能Ep＝

kx2＝

×400×0.12J＝2J，此过程中拉力做的功与弹力做的功数值相等，则有W1＝W弹＝ΔEp＝2J

刚好离开地面时

G＝F＝kx＝400×0.1N＝40N

物体缓慢升高，F＝40N；物体上升h＝0.5m过程中拉力做功W2＝Fh＝40×0.5J＝20J

拉力共做功

W＝W1＋W2＝（2＋20）J＝22J

答案　22J　2J

【误区警示】　理解弹力做功与弹性势能变化关系应注意的问题

（1）弹力做功和重力做功一样也和路径无关，弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少；克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少。

（2）弹性势能的增加量与减少量由弹力做功多少来量度。

弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值。

[针对训练1]（多选）（2017·日照高一检测）如图3所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x。

关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图象正确的是（　　）

图3

解析　因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律知F＝kx，F-x图象为倾斜直线，A正确，B错误；因为Ep∝x2，所以D正确，C错误。

答案　AD

　探究弹性势能的表达式

[要点归纳]

1.应用F-l图象计算弹力做功的方法：

类比v-t图象的面积表示“位移”，F-l图象的面积表示“功”。

弹力F＝kl，对同一弹簧k一定，F与l成正比，如图4所示。

当发生形变量为l时，弹力做功

W弹＝－

kl·l＝－

kl2。

图4

2．弹性势能的表达式：

Ep＝－W弹＝

kl2。

[精典示例]

[例2]弹簧原长为l0，劲度系数为k。

用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。

试求：

（1）W1与W2的比值；

（2）对应的弹性势能Ep1与Ep2之比。

解析　解法一：

（1）拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F-l图象中是一条倾斜直

线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小。

其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2。

显然，两块面积之比为1∶3，即W1∶W2＝1∶3。

（2）对应的Ep1＝W1，Ep2＝W1＋W2，则

＝

。

解法二：

（1）上述解法采用了教材中探究弹性势能表达式的研究方法，即应用F-l图象直观地进行分析。

若记得弹性势能的表达式，也可由弹性势能的表达式进行计算。

由于拉力做功使弹簧的弹性势能增加，故有W1＝

kl2，W2＝

k（2l）2－

kl2＝

kl2。

所以，W1与W2的比值

W1∶W2＝

∶

＝1∶3。

（2）同解法一：

＝

。

答案　

（1）

（2）

[针对训练2]（2017·黄冈高一检测）如图5所示，质量相等的两木块间连有一弹簧。

今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面。

开始时物体A静止在弹簧上面，设开始时弹簧弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化量ΔEp的说法中正确的是（　　）

图5

A．Ep1＝Ep2B．Ep1＞Ep2

C．ΔEp＞0D．ΔEp＜0

解析　开始时弹簧压缩量为x1，对A有kx1＝mg。

B离开地面时伸长量为x2，对B有kx2＝mg，由于x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，故A选项正确。

答案A

1．（对弹性势能的理解）（2017·佛山高一检测）如图6所示，撑杆跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳起过程的说法正确的是（　　）

图6

A．运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性势能最大

B．运动员撑杆跳起到达最高点时，杆弹性势能最大

C．运动员撑杆触地后上升到最高点之前某时刻，杆弹性势能最大

D．以上说法均有可能

解析　杆形变量最大时，弹性势能最大，杆刚触地时没有形变，人到最高点时，杆已由弯曲到基本完全伸直。

故选项C正确。

答案　C

2．（对弹性势能的理解）两只不同的弹簧A、B，劲度系数分别为k1、k2，并且k1＞k2，现在用相同的力从自然长度开始拉弹簧，当弹簧处于平衡状态时，下列说法正确的是（　　）

A．A的弹性势能大B．B的弹性势能大

C．弹性势能相同D．无法判断

解析　由F＝kl和Ep＝

kl2可得，Ep＝

。

由于用相同的力拉弹簧，所以F1＝F2，又k1＞k2，因而有Ep1＜Ep2，故B对。

答案　B

3.（对弹性势能的理解）在光滑的水平面上，物体A以较大速度va向前运动，与以较小速度vb向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图7所示。

在相互作用的过程中，当系统的弹性势能最大时（　　）

图7

A．va＞vbB．va＝vb

C．va＜vbD．无法确定

解析　弹簧的压缩量越大，弹性势能越大。

当va＞vb时，则弹簧压缩，弹性势能增大；当va＝vb时，A、B相距最近，弹簧压缩量最大，弹性势能最大；当va＜vb时，弹簧伸长，弹簧的弹性势能减小。

答案　B

4.（弹力做功与弹性势能的关系）在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，此时木块再次处于平衡状态，如图8所示。

求：

图8

（1）在木块下移h的过程中重力势能的减少量；

（2）在木块下移h的过程中弹性势能的增加量。

解析　

（1）据重力做功与重力势能变化的关系有

ΔEp减＝WG＝mgh

（2）据弹力做功与弹性势能变化的关系有ΔEp增′＝－W弹

又因木块缓慢下移，力F与重力mg的合力与弹力等大、反向，

所以W弹＝－W1－WG＝－W1－mgh

所以弹性势能增量ΔEp增′＝W1＋mgh

答案　

（1）mgh　

（2）W1＋mgh

基础过关

1．如图1所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是（　　）

图1

A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升过程中，杆的弹性势能

B．如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能

C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能

D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能

答案　B

2.（多选）在一次“蹦极”运动中，人由高空落下，到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）

图2

A．重力对人做正功

B．人的重力势能减少了

C．橡皮绳对人做正功

D．橡皮绳的弹性势能减少了

答案　AB

3．如图3所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是（　　）

图3

A．重力势能减少，弹性势能增大

B．重力势能增大，弹性势能减少

C．重力势能减少，弹性势能减少

D．重力势能不变，弹性势能增大

解析　弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。

答案　A

4．一根弹簧的弹力和形变量的关系图线如图4所示，那么弹簧由伸长量为8cm到伸长量为4cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量分别为（　　）

图4

A．3.6J，－3.6J

B．－3.6J，3.6J

C．1.8J，－1.8J

D．－1.8J，1.8J

解析　F-x图象中图线与x轴围成的“面积”表示弹力做的功。

W＝

×0.08×60J－

×0.04×30J＝1.8J。

弹性势能减少1.8J，故弹性势能的变化量为－1.8J，C正确。

答案　C

5.如图5所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是（　　）

图5

A．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2

B．ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2

C．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2

D．ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2

解析　小球速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。

答案　B

6.如图6所示，在水平地面上竖直放置一轻质弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0kg的木块相连。

若在木块上再作用一个竖直向下的变力F，使木块缓慢向下移动0.1m，力F做功2.5J时，木块再次处于平衡状态，此时力F的大小为50N。

（取g＝10m/s2）求：

图6

（1）弹簧的劲度系数；

（2）在木块下移0.1m的过程中弹性势能的增加量。

解析　

（1）由平衡条件可知mg＝kx1，F＋mg＝k（x1＋Δx），整理得F＝kΔx，解得k＝

＝

N/m＝500N/m。

（2）在木块下移的过程中，弹簧弹力始终与F和木块重力的合力等大反向，即在木块下移的过程中，木块克服弹簧弹力做的功和F与木块重力的合力做的正功相等，弹簧的弹性势能的增加量等于木块克服弹力做的功。

即ΔEp＝WF＋mgh＝（2.5＋2.0×10×0.1）J＝4.5J。

答案　

（1）500N/m　

（2）4.5J

能力提升

7．（多选）在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面猜想有一定道理的是（　　）

A．重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关

B．重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸（或压缩）的长度有关

C．重力势能与物体所受的重力mg大小有关，所以弹性势能很可能与弹簧的劲度系数有关

D．重力势能与物体的质量有关，所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关

解析　弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和弹簧的形变量有关，与弹簧的长度、质量等因素无关。

答案　BC

8．如图7所示，a、b两条斜线分别表示两根劲度系数不同的弹簧所受拉力F和弹簧伸长量之间的关系。

设它们的劲度系数分别为ka、kb，拉力都为F1时的弹性势能分别为Ea、Eb。

则下列说法正确的是（　　）

图7

A．ka＞kb　Ea＞Eb

B．ka＜kb　Ea＞Eb

C．ka＞kb　Ea＜Eb

D．ka＜kb　Ea＜Eb

解析　由F＝kl可知，F-l图线的斜率为弹簧的劲度系数，由图可知，ka＞kb，当拉力为F1时，两弹簧的形变量为la＝

，lb＝

，可得：

Ea＝

kal

＝

，Eb＝

，可得Ea＜Eb。

故C正确。

答案　C

9.（2017·沈阳高一检测）如图8所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）

图8

A．重力做正功，弹簧弹力不做功

B．重力做正功，弹簧弹力做正功

C．重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变

D．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加

解析　在重物由A点摆向最低点B的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力做负功，弹性势能增加，故D正确，A、B、C错误。

答案　D

10.如图9所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连一轻弹簧，用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高h。

若不计弹簧重力，则人做的功（　　）

图9

A．等于mghB．大于mgh

C．小于mghD．无法确定

解析　当F＝kx＝mg时，物体开始离开地面，故在物体缓慢提高的过程中，人做的功为W＝Ep弹＋mgh，故B正确。

答案　B

11.如图10所示，在光滑水平面上有A、B两物体，中间连一弹簧，已知mA＝2mB，今用水平恒力F向右拉B，当A、B一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep1，如果用水平恒力F向左拉A，当A、B一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为Ep2，比较Ep1与Ep2的大小。

图10

解析　设mB＝m，则mA＝2m，

向右拉时加速度a1＝

，

对A物体列方程：

kx1＝2ma1

得x1＝

＝

。

当向左拉时，加速度a2＝

，

对B物体列方程：

kx2＝ma2，得x2＝

＝

，

可见x1＞x2，从而Ep1＞Ep2。

答案　Ep1＞Ep2

12.如图11所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块相连，木块放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态，用水平力F缓慢拉木块，使木块前进l，求这一过程中拉力对木块做了多少功。

图11

解析　解法一　缓慢拉动木块，可认为木块处于平衡状态，故拉力大小等于弹力大小，即F＝kx。

因该力与位移成正比，故可用平均力F＝

求功。

当x＝l时，W＝F·l＝

kl2

解法二　画出力F随位移x的变化图象。

当位移为l时，F＝kl，由于力F做功的大小与图象中阴影部分的面积相等，则W＝

（kl）·l＝

kl2。

答案　

kl2