C语言用六种方法求定积分.docx
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C语言用六种方法求定积分
C语言用六种方法求定积分
C语言实验报告
求定积分
班级10信息与计算科学一班
姓名戴良伟
学号2010750221
1.描述问题
利用?
左矩形公式，?
中矩形公式，?
右矩形公式，?
梯形公式，?
simpson公式，?
Gauss积分公式求解定积分。
2.分析问题
2.1定积分
21.1定积分的定义
定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。
即fxab,，，,,
所包围的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲yxaxbyfx,,,,0,,,，，
边梯形。
如下图:
（图1）
设一元函数,在区间内有定义。
将区间分成个小区nyfx,ab,ab,，，,,,,
,,xxx,x间。
设，取区间中曲线上任意一axxxxxxb,,,,,......,,,,,,,,,iii,1i00112i
点记做，作和式:
f,，，i
n,,limfixi,,，，,,,,，,n1,i,,
若记λ为这些小区间中的最长者。
当时，若此和式的极限存在，,,0
则称这个和式是函数在区间上的定积分。
fxab,，，,,
b记作:
fxdx，，,a
其中称为积分下限，为积分上限，为被积函数，为被afxfxdxb，，，，积式，?
为积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
[1]21.2定积分的几何意义
它是介于x轴、函数f（x）的图形及两条直线x=a，x=b之间的各个部分面积的代数和。
在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积取负号。
如图
2.2言实现定积分计算的算法
22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算
假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，nfxab,ab,，，,,,,各个区间的长度为，即，称之为“步长”。
根据定积分的定义及几hban,,/h，，
何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。
将积分fxab,，，,,
区间等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公n
式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越n
大，所得结果越精确。
以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思
想。
复合梯形公式:
n,1h,,[2]2Tfafxfb,，，，，，，，，,ni,,2,,i,1
具体算法如下:
算法一1:
输入积分区间的端点值和;ab
2:
输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高nn
的精确度）;
3:
计算步长;hban,,/，，
4:
对累加和赋初值;Tff,,/2，，ab
5:
计算累加和
n,1
Tfx,，，,ii,1
TTh,，6:
算出积分值;n
T7:
输出积分近似值，完毕。
n
1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算
假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成n个小区间，fxab,ab,，，,,,,各个区间的长度为。
在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方h
法。
作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。
具体算法如下:
算法二1:
输入积分上限和下限a;b
2:
输入区间的等分个数n（要求n尽可能大，以保证程序运行结果有较高
的精确度）;
[2]SnTnTn,，,42/33:
利用辛甫生公式:
，实现对定积分的求解（其中,,,,,,，，
，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式Tn2Tn,,,,
为基础的）;
S;4:
算出积分值n
S5:
输出积分近似值，完毕。
n
1.2.3利用Guass公式实现定积分计算
Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。
他是通过让节点和
积分系数待定让函数f（x）以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成
立来求出积分节点和积分系数。
高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。
通
+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=（b-a）t/2常运用的是-1---
+（a+b）/2变换到-1到1之间积分。
算法三
1:
输入积分上限和下限;ab
2:
利用Guass公式，求定积分
S4:
算出积分值;n
S5:
输出积分近似值，完毕。
n
3.程序的编写
3.1程序一（左矩形公式）
3.1.1源程序
#include#includevoidmain（）
{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/inti,n;
/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:
\n"）;scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:
\n"）;scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:
\n"）;scanf（"%d",&n）;h=（b-a）/n;/*步长的计算*/
s=f（a）*h;
for（i=1;i{s=s+f（a+i*h）*h;}
f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;printf（"函数
}
/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;
y=sqrt（4-x*x）;return（y）;}
3.1.2程序一的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.2程序二（中矩形公式）
3.2.1源程序
#include#includevoidmain（）
{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/
inti,n;
/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;
/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:
\n"）;
scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:
\n"）;
scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:
\n"）;scanf（"%d",&n）;
h=（b-a）/n;/*步长的计算*/
s=0.5*（f（a）+f（a+h））*h;for（i=1;i}
printf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;
}
/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;
y=sqrt（4-x*x）;
return（y）;}
3.2.2程序二的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.3程序三（右矩形公式）
3.3.1源程序
#include#includevoidmain（）
{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/inti,n;
/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:
\n"）;scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:
\n"）;scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:
\n"）;scanf（"%d",&n）;h=（b-a）/n;/*步长的计算*/
s=f（a+h）*h;
for（i=1;iprintf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;
}
/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;
y=sqrt（4-x*x）;
return（y）;}
3.3.2程序三的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.4程序四（梯形公式）
3.4.1源程序
#include#include
voidmain（）
{doublef（doublex）;/*f（x）为函数举例，即被积函数*/
inti,n;
/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;
/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf（"积分下限a:
\n"）;
scanf（"%lf",&a）;printf（"积分上限b:
\n"）;
scanf（"%lf",&b）;printf（"区间等分个数n:
\n"）;scanf（"%d",&n）;
h=（b-a）/n;/*步长的计算*/
s=0.5*（f（a）+f（a+h））*h;for（i=1;i}
printf（"函数f（x）的积分值为s=%10.6f\n",s）;
}
/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublex）{doubley;
y=sqrt（4-x*x）;
return（y）;}
3.4.2程序四的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.5程序五（Simpson公式）
3.5.1源程序
#include
#include
voidmain（）
{doubleT（doublex,doubley,intz）;
doublea,b,s;
intn;
printf（"积分下限a:
\n"）;
scanf（"%lf",&a）;
printf（"积分上限b:
\n"）;
scanf（"%lf",&b）;
printf（"区间等分个数n:
\n"）;scanf（"%d",&n）;
s=（4*T（a,b,2*n）-T（a,b,n））/3;
/*利用辛甫生公式求解定积分*/
printf（"函数f（x）的积分值为s=%f\n",s）;}
/*以下为复合梯形公式的定义*/
doubleT（doublex,doubley,intz）
{doubleh,Tn;
inti;
doublef（doublet）;
h=（y-x）/z;
Tn=（f（x）+f（y））/2;for（i=1;ireturn（Tn）;
}
/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef（doublet）{doubles;
s=sqrt（4-t*t）;return（s）;}
3.5.2程序四的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入0+回车
输入2+回车
输入1000+回车
3.6程序六（Guass公式）
3.6.1源程序
#include
#include
#defineN3
floatgass_integral（float（*）（float）,float,float,int）;voidmain（）
{
floatfunction_name（float）;
floata,b;
printf（"请输入积分上限b\n"）;
scanf（"%f",&b）;
printf（"请输入积分下限a\n"）;
scanf（"%f",&a）;
floatans;
ans=gass_integral（function_name,a,b,N）;
printf（"ans=%f",ans）;
}
//高斯求积:
代数精度为2n-1.-1---+1之间
floatgass_integral（float（*func）（floatx）,floata,floatb,intn）{
//高斯点及其求积系数列表
-----------------------------------------------------------------------------------
--------
floatx1[1]={0.0};floatA1[1]={2};
floatx2[2]={-0.5573503,0.5573503};floatA2[2]={1,1};
floatx3[3]={-0.7745967,0.0,0.7745967};floatA3[3]={0.555556,0.888889,0.555556};
floatx4[4]={0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363};
floatA4[4]={0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548};floatx5[5]={0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799};
float
A5[5]={0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269};
//---------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------float*p,*t;
switch（n）
{case1:
p=x1;t=A1;break;
case2:
p=x2;t=A2;break;
case3:
p=x3;t=A3;break;
case4:
p=x4;t=A4;break;
case5:
p=x5;t=A5;break;
default:
printf（"intputwrong!
"）;}
floatg=0;
for（inti=0;i{g+=（*func）（（b-a）*p[i]/2+（a+b）/2）*t[i];}g*=（b-a）/2;
returng;
}
floatfunction_name（floatx）
{return（sqrt（4-x*x））;
}
3.6.2程序四的编译运行
被积函数为f（x）=sqrt4-（x*x）的情况
先编译，再运行，屏幕显示及操作如下:
输入2+回车
输入0+回车
4误差分析
手工计算结果为:
3.156173.，左矩形公式误差:
0.39%，中矩形公式误差:
0.46%，右矩形公式误差:
0.52%，梯形公式误差:
0.46%，辛普森公式和高斯公式误差几乎等于0，六个程序运行结果对比，在计算相同的函数f（x）=sqrt（4-x*x）的定积分，Simpson公式和Guass公式比矩形和梯形公式更可行，更有效。
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