中考数学大题狂做系列专题04 图形的变换问题.docx

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中考数学大题狂做系列专题04图形的变换问题

2019-2020年中考数学大题狂做系列：

专题04图形的变换问题

（1）求证：

∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，

．

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；

②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

而在正方形ABCD中，边长为4，AC为对角线，则

。

又∵P为对称中心，∴AP=CP=

。

∴

，即

。

如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

∵P为AC中点，则PH∥BC，且PH=

BC=2，同理PG=2。

列函数关系式，二次函数的最值，转换思想的应用。

2.（2013年江苏宿迁12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

（1）证明△AMF是等腰三角形；

（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

在Rt△CED中，由勾股定理得

，解得：

。

性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数

3.（2013年重庆市B12分）已知：

在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。

如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。

如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。

当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。

设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。

由△QHE∽△NGM得

，即

，

若AQ=PQ，则

，无正数解，不存在。

综上所述，存在

，使△APQ是等腰三角形。

∴

。

当10＜t≤

时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积。

过点I作IH⊥BC于点H，

4.（2013年湖南娄底10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：

；

（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？

并求出最大面积；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

∴当x=

时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5。

（3）由

（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为

，宽为

。

在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：

（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1，此时DD1=t，H1D1=2，

∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t。

5.（2013年山西省13分）数学活动——求重叠部分的面积。

问题情境：

数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图

（1），将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。

求重叠部分（△DCG）的面积。

（1）独立思考：

请解答老师提出的问题。

（2）合作交流：

“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图

（2），你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？

请写出解答过程。

（3）提出问题：

老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。

“爱心”小组提出的问题是：

如图（3），将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积。

任务：

①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是　▲　.

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：

也可在图

（1）的基础上按顺时针方向旋转）。

∴

6.（2013年广东珠海9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：

∠CBP=∠ABP；

（2）求证：

AE=CP；

（3）当

，BP′=

时，求线段AB的长．

∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE。