推荐学习年高考数学个必考点专题抛物线检测.docx
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推荐学习年高考数学个必考点专题抛物线检测
推荐学习年高考数学-个必考点－专题-抛物线检测
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专题2１抛物线
一、基础过关题
1.（2０１8全国卷III）已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两
点．若
则
_＿＿_____．
【答案】
【解析】依题意得，抛物线
的焦点为
故可设直线
，
联立
消去
得
设
，
则
，
，∴
.又
，
∴
∴
．
２.（2０１7·昆明调研）已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过Ｆ的直线与抛物线C交于A、B两点,如果·＝-1２,那么抛物线C的方程为（ ）
A.x2＝8yＢ．x2=4y
C．y2=8xD.y2=４x
【答案】C
３．已知抛物线y2=2ｐx（p>０），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段ＡＢ的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）
A.x=１ B.ｘ＝－1C.x=2 D．x=-2
【答案】B
【解析】∵ｙ２=２px（p＞0）的焦点坐标为（p2,0）,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，
即x＝y+p2,将其代入y2=2ｐx,得y２=2ｐy＋p2,
即y2－2py－ｐ2＝０.设A（ｘ１,ｙ1），B（x2,y２）,
则y１+y２＝2ｐ,∴y1＋y22＝p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x，其准线方程为x＝－1.
4．已知抛物线y2＝２px（p＞0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（ｘ1，y１），B（x2，y２），则y1y2x1x2的值一定等于（）
A．-4 B.4 C.p2D．－p２
【答案】 A
5.如图,过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC｜＝2｜BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）
Ａ．y2=9x
B．y２=6x
C.y2=３x
D．y2=x
【答案】C
【解析】如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于Ｂ1，
6.抛物线y2=4x的焦点为Ｆ，点P（x，y）为该抛物线上的动点,若点A（-1,0），则|PF||PA|的最小值是（）
A．12 Ｂ．22 C.32Ｄ.23
【答案】 B
【解析】抛物线ｙ２＝4x的准线方程为x=－1,如图，
过Ｐ作PＮ垂直直线ｘ＝－1于N，
由抛物线的定义可知|ＰF|=|ＰＮ｜，连接PＡ，
在Ｒt△PAN中,sｉｎ∠PＡN＝|PN||PA|，
当|PN||PA|＝|PF||PA|最小时，sｉn∠PAN最小，即∠PAN最小,即∠PAF最大,
此时,PA为抛物线的切线,设PA的方程为y=ｋ（x＋1），
联立y＝k（x＋1y2＝4x，得k2ｘ2＋（2k2-4）x+k2＝0，
所以Δ=（２k2－4）2-4k4=0,解得k=±１，所以∠ＰAＦ＝∠NPA=45°,
|PF||PA|=|PN||PA|＝ｃｏs∠ＮＰA＝22,故选B.
7．设F为抛物线Ｃ:
y2=３x的焦点，过Ｆ且倾斜角为30°的直线交C于Ａ，Ｂ两点，则｜AB|=_______＿.
【答案】１2
８.已知抛物线Ｃ:
ｙ2=2px（p>0）的准线为l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B,若=,则p＝___＿____.
【答案】 ２
【解析】如图，由ＡＢ的斜率为,
知∠α=６0°,又=，∴M为ＡＢ的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝6０°,∴∠BAＰ=3０°,
∴|BP|＝12｜AB｜＝|BM|.
∴M为焦点,即p2＝1,∴ｐ＝2.
9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：
ｙ２=8x的焦点重合，Ａ,B是C的准线与E的两个交点，则|ＡB|=______＿_.
【答案】 6
【解析】抛物线ｙ2＝8x的焦点为（2,0），准线方程为x＝－2.
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b＞０），由题意,c=2，ca=12,
可得a=４,b2＝1６-４＝12.
故椭圆方程为x216＋y212＝１．
把x=－2代入椭圆方程，解得y＝±３.从而｜AB|＝６.
1０．（20１6·沈阳模拟）已知过抛物线y2＝2ｐx（ｐ＞0）的焦点，斜率为２的直线交抛物线于Ａ（x1，y１）,B（x2,y2）（ｘ1＜x２）两点，且|AB|=9.
（1）求该抛物线的方程为y2＝8x;
（２）Ｏ为坐标原点，Ｃ为抛物线上一点,若＝+λ,求λ的值.
【答案】
（1）该抛物线的方程；（２）λ=０或λ=2.
二、能力提高题
1.（2０16·上饶四校联考）设抛物线Ｃ：
y2=3px（ｐ>0）的焦点为Ｆ，点M在C上,|ＭF|＝5，若以MF为直径的圆过点（０,２）,则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2=8xﻩＢ．ｙ2=2x或y２=８x
C．y2＝４x或y２＝16ｘ ﻩD.y2=2x或ｙ２＝１6x
【答案】C
2.设直线l与抛物线y２=4ｘ相交于Ａ，B两点，与圆（ｘ－5）2＋ｙ２=r2（r＞０）相切于点M，且M为线段AＢ的中点．若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是_____＿＿＿____＿___．
【答案】（2,4）
【解析】如图,设A（x1，y１），Ｂ（x2，y2）,M（ｘ0，y０），
则2＝4x2，两式相减得，（ｙ１＋ｙ2）（y１-y2）＝４（ｘ1-ｘ2）.
当ｌ的斜率ｋ不存在时,符合条件的直线l必有两条．
3．设Ｐ，Ｑ是抛物线y2=2ｐx（p>0）上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为４,且·=0.
（１）求该抛物线的标准方程;
（2）过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点,试求弦ＰR长度的最小值．
【答案】
（1）该抛物线的方程为ｙ2＝2ｘ；
（2）|PR|最小值为４．
【解析】（１）设P（x1，ｙ1），Q（x2，ｙ2），
∵·=0，则x1ｘ2+y1y２＝0.
又点Ｐ,Ｑ在抛物线上,∴y21=２px1，y22=2ｐx2，
代入得1·2＋y1y２=0,
y１y２＝-4p2,∴|x1ｘ2|＝（y1y24p2=４p２．
又｜ｘ１x2|=4，∴4ｐ2=４，p＝1，∴抛物线的标准方程为y２=２x.
（2）设直线ＰＱ过点Ｅ（a，0）且方程为x=ｍy+ａ，
联立方程组x＝my＋a，y2＝2x，消去x得y2－２ｍy－2a＝0，∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2a，①
设直线ＰR与x轴交于点Ｍ（b,0），则可设直线PR的方程为ｘ=ｎy+b,并设Ｒ（x３，y3）,同理可知，
y1＋y3＝2n，y1y3＝－2b，②
由①②可得y3y2＝ba.
由题意得，Ｑ为线段ＲＴ的中点，∴y3＝２ｙ2,∴b＝2a．
又由
（1）知,y1ｙ2＝-4,代入①,
可得-2ａ＝-４，∴ａ=2,∴b＝4，y1y3=-8，
∴|PＲ|＝|ｙ1-y3|=·＝２·≥4.
当ｎ＝0，即直线ＰR垂直于ｘ轴时,|PR|取最小值4.
4．如图，由部分抛物线：
y2=mｘ+１（ｍ>０，x≥0）和半圆x2＋ｙ２=ｒ２（ｘ≤0）所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点（3,2）和（-12，32）.
（1）求“黄金抛物线C”的方程;
（2）设P（0,1）和Q（0,-1）,过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A,P，B三点,问是否存在这样的直线l，使得QP平分∠AQB?
若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）黄金抛物线C的方程为y２＝x＋1（ｘ≥０）和x2+ｙ2＝１（x≤０）；
（2）存在直线l：
ｙ＝（－１）x+1,使得QＰ平分∠ＡQB.
（2）假设存在这样的直线ｌ，使得QP平分∠AQＢ，显然直线l的斜率存在且不为０,
设直线l:
ｙ＝ｋｘ+1，联立y＝kx＋1，y2＝x＋1，消去y，
得k２ｘ2+（2k－1）ｘ=0，∴xB＝1－2kk2，ｙB=1－kk，即B（1－2kk2,1－kk）,∴kBQ=k1－2k，
联立y＝kx＋1，x2＋y2＝1，消去y,得（ｋ2＋1）ｘ２＋2kx＝0，
∴xA＝-2kk2＋1，ｙA=1－k2k2＋1，即A（－2kk2＋1，1－k2k2＋1），∴ｋAQ=－1k,
∵QＰ平分∠AQＢ，∴kＡＱ+kBQ=0，
∴k1－2k－1k＝0,解得k＝－1±，
由图形可得ｋ=-１－应舍去,∴k＝－1,
∴存在直线l：
y=（-1）x＋1,使得ＱP平分∠AQB．
５.（2018高考北京卷19）已知抛物线C:
=２px经过点
（１,2）．过点Ｑ（0,1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点Ａ，B,且直线ＰA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围;
（Ⅱ）设O为原点，
，
，求证：
为定值．
（Ⅱ）设A（x1,y1）,Ｂ（ｘ2,y2）.
由（Ｉ）知
，
.
直线PA的方程为ｙ–2=
.
令x=0,得点Ｍ的纵坐标为
.
同理得点Ｎ的纵坐标为
．
由
，
得
，
．
所以
.
所以
为定值.
6.（2018高考浙江卷21）如图,已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线Ｃ:
y2＝4x上存在不同的两点A,B满足PＡ,ＰB的中点均在C上.
（Ⅰ）设AB中点为M,证明:
ＰＭ垂直于y轴;
（Ⅱ）若P是半椭圆ｘ2+
=1（x<0）上的动点,求△PAB面积的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以
.
因此,
的面积
.
因为
，所以
．
因此，
面积的取值范围是
.
点评.本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。
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