高中数学选修21课后习题答案人教版.docx
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高中数学选修21课后习题答案人教版
高中数学选修2-1课后习题答案
第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系
练习（P4）
3、
（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.
（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.
（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.
练习（P6）
1、逆命题：
若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.
否命题：
若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：
若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.
2、逆命题：
若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.
否命题：
若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.
逆否命题：
若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题：
图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.
否命题：
不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.
逆否命题：
图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.
练习（P8）
证明：
若ab1，则a2b22a4b3
（ab）（ab）2（ab）2b3
ab22b3
ab10
所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.
习题1.1A组（P8）
1、
（1）是；
（2）是；（3）不是；（4）不是.
2、
（1）逆命题：
若两个整数a与b的和ab是偶数，则a,b都是偶数.这是假命题.
否命题：
若两个整数a,b不都是偶数，则ab不是偶数.这是假命题.
逆否命题：
若两个整数a与b的和ab不是偶数，则a,b不都是偶数.这是真命题.
（2）逆命题：
若方程x2xm0有实数根，则m0.这是假命题.
否命题：
若m0,则方程x2xm0没有实数根.这是假命题.
逆否命题：
若方程x2xm0没有实数根，则m0.这是真命题.
3、
（1）命题可以改写成：
若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的
距离相等.
逆命题：
若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题：
若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不
相等.这是真命题.
逆否命题：
若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.
（2）命题可以改写成：
若一个四边形是矩形，贝y四边形的对角线相等逆命题：
若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.
否命题：
若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.
逆否命题：
若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.
4、证明：
如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形
是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否
命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.
习题1.1B组（P8）
证明：
要证的命题可以改写成“若p，则q”的形式：
若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.
此命题的逆否命题是：
若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.
可以先证明此逆否命题：
设AB,CD是eO的两条互相平分的相交弦，交点是E，若E和圆
心0重合，则AB,CD是经过圆心0的弦，AB,CD是两条直径.若E和圆心0不重合，连结
AO,BO,CO和DO，则0E是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OEAB,OECD.
AB和CD都经过点E，且与OE垂直，这是不可能的.所以，E和O必然重合.即AB和CD是圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.
1.2
充分条件与必要条件
练习
（P10）
1、
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
/
4、
（1）真；
⑵真；
（3）假；
（4）
直
/、
练习
（P12）
1、
（1）原命题和它的逆命题都是真命题,
2、
（1）.3
（1）
（2）原命题和它的逆命题都是真命题,
p是q的充要条件;
p是q的充要条件;
（3）p是q的充要条件;
（4）p是q的充要条件.
（3）真•
2）充要条件；
（4）充分条件，或充分不必要条件
习题1.2A组（P12）
⑵真;
1、略•2、
（1）假；
3、
（1）充分条件，或充分不必要条件；
（3）既不是充分条件，也不是必要条件;
4、充要条件是a123b2
r2
1、
（1）充分条
件；
（2）必要条件；
（3
。
充
要条件•
2、证明：
（1）
充分性:
如果a2
b2
c2
ab
ac
bc，那么a2
所以（a
b）2
（a
c）2
（b
c）20
所以，a
b
0，
a
c0，bc0.
即ab
c，
所【
以,
ABC是等边三角形
（2）
必要性：
如果ABC是
等边三角
1形，
那么abc
所以（a
b）2
（a
c）2
（b
c）20
所以a2
b2
2c
ab
ac
bc0
所以a2
b2
2c
ab
ac
bc
习题1.2B组（P13）
b2
习题1.3A组（P18）
c2abac
be0.
（1）
真命题.因为
p为真命题,
q为真命题，所以
q为真命题;
（2）
真命题.因为
p为真命题,
q为真命题，所以
q为真命题;
（3）
假命题.因为
p为假命题,
q为假命题，所以
q为假命题;
（4）假命题.因为p为假命题，q为假命题，所以pq为假命题.
1.4全称量词与存在量词
练习（P23）
1、
（1）真命题；
（2）假命题；（3）假命题.
2、
（1）真命题；
（2）真命题；（3）真命题.
练习（P26）
1、
（1）no乙n。
Q；
（2）存在一个素数，它不是奇数;
（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.
2、
（1）所有三角形都不是直角三角形；
（2）每个梯形都不是等腰梯形;
（3）所有实数的绝对值都是正数.
习题1.4A组（P26）
1、
（1）真命题；
（2）真命题；
（3）真命题；
（4）假命题.
2、
（1）真命题；
（2）真命题；
（3）真命题.
3
3、
（1）x°N,x°
对；
（2）
存在一个可以被
5整除的整数，末位数字不是
（3）xR,x2
x10；（4）
所有四边形的对角线不互相垂直.
习题1.4B组（P27）
（1）假命题.存在一条直线，它在y轴上没有截距；
（2）假命题.存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；
（3）假命题.每个三角形的内角和不小于180；
（4）真命题.每个四边形都有外接圆.
第一章复习参考题A组（P30）
1、原命题可以写为：
若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等
逆命题：
若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形.是真命题；
否命题：
若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等.是真命题；
逆否命题：
若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形.是真命题.
2、略.3、
（1）假；
（2）假；（3）假；（4）假.
4、
（1）真；
（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.
5、
（1）nN,n20；
（2）P{PP在圆x2y2r2上}，OPr（O为圆心）；
（3）（x,y）{（x,y）x,y是整数}，2x4y3；
（4）x0{xx是无理数}，x3{qq是有理数}.
6、
（1）32，真命题；
（2）54，假命题；（3）x。
R,x。
0，真命题；
（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.
第一章复习参考题B组（P31）
2、
（1）RtABC,C90,A,B,C的对边分别是a,b,c，则c2a2b2;
ABC,
B,
C的对边分别是a,b,c，则
a
sinA
b
sinB
c
sinC
第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
练习（P37）
1、是.容易求出等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是x0.
2、
3218
a,b.
2525
3、解：
设点A,M的坐标分别为（t,0）,（x,y）.
202
⑴当t2时，直线CA斜率d—芦
所以，kcB
1t2
kCA2
由直线的点斜式方程，得直线CB的方程为y
令x0,得y4t，即点B的坐标为（0,4t）.
由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式得
t4t
2,yT
t4t
由x—得t2x，代入y，
22
42x
得y，即xy20……①
2
（2）当t2时，可得点A,B的坐标分别为（2,0），（0,2）
此时点M的坐标为（1,1），它仍然适合方程①
由
（1）
（2）可知，方程①是点M的轨迹方程，它表示一条直线.
习题2.1A组（P37）
1、解：
点A（1,2）、C（3,10）在方程x2xy2y10表示的曲线上;
点B（2,3）不在此曲线上
c1
2、解：
当c0时，轨迹方程为x;当c0时，轨迹为整个坐标平面.
2
M的轨
3、以两定点所在直线为x轴，线段AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，得点
迹方程为x2y24.
4、解法一：
设圆x2y26x50的圆心为C，则点C的坐标是（3,0）.
由题意，得CMAB，则有kcMkAB1.
所以，丄丫
x3x
1（x3,x0）
化简得x2
3x
0（x3,x0）
当x3时,
点（3,0）适合题意；当x0时，y0，点（0,0）不合题意.
解方程组
2x
2x
2
y
2
y
3x0
6x50
，得x5，y
25
3
所以，点M的轨迹方程是x2
y23x0，-
3
x3.
解法二：
注意到OCM
利用勾股定理,
是直角三角形，
得x2y2（x
3）2
y29，
即x2y23x
0.其他同解法
习题2.1B组（P37）
1、解：
由题意，设经过点P的直线I的方程为
34
因为直线I经过点P（3,4），所以3-
ab
因此，ab4a3b0
由已知点M的坐标为（a,b），所以点M的轨迹方程为
xy4x3y0.
2
则有,
2、
AE
2
ME
2
CF
2
MF
（3x
所以，16
忆4，
1010
化简得，xy10.
因此，动圆圆心的轨迹方程是xy10.
2.2椭圆
练习（P42）
1、14.提示：
根据椭圆的定义，PF,
22
2、
（1）—y21;
（2）工x2
1616
3、解：
由已知，a5,b4，所以c
（1）AF1B的周长AF1AF2
PF2
20，
因为|PF1
6，所以
PF2
14
2
2
2
2
1;
（3）
x
y_
1，或乂
x
1.
3616
36
16
ab3.
BF1BF2.
由椭圆的定义，得AF1AF22a，BF“BF22a.
所以，ARB的周长4a20.
（2）如果AB不垂直于x轴，ARB的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立,
ARB的周长20，这是定值.
4、解：
设点M的坐标为（x,y），由已知，得
直线AM的斜率kAM—・（x1）；
x1
直线BM的斜率kBM丄（X1）；
x1
由题意，得•也2，所以丄2丄（x1,y0）
kBMx1x1
化简，得x3（y0）
所以，OF2c.同样有OF,c.
2、
（1）焦点坐标为（8,0），（8,0）；
（2）焦点坐标为（0,2）,（0,2）.
3、
（1）
2x
36
2
y
32
（2）
2
y
25
2x
16
4、
（1）
（2）
2
x
100
2
y
64
2
或—
100
2
—1.
64
5、
（1）
椭圆
9x2
36的离心率是晋，
椭圆
2x
16
2
y
12
1
1的离心率是
2
（2）
6、
（1）
因为
2,2
3
2,所以，椭圆16
22
x_y_
1612
1更圆，椭圆
9x2
36更扁;
2J2
椭圆x29y236的离心率是亍
22椭圆-上
610
因为乎
罟，所以，椭圆辛
10
1更圆，椭圆X2
36更扁.
8
（3匸）；
5
（2）（0,2）;
（3）（
48
37
7、
习题2.2A组（P49）
1、解：
由点M（x,y）满足的关系式,x2（y3）2x2（y3）2
10以及椭圆的定义得,
点M的轨迹是以R（0,3），F2（0,3）为焦点，长轴长为10的椭圆.
2
它的方程是匕
25
2
x
1.
16
2、
（1）
x2
36
32
（2）
25
2
（3）三
2y_
2
1，或乂
2
x
1
49
40
49
40
3、
（1）不等式2x2，4y4表示的区域的公共部分；
（2）不等式25x2-.5，10y10表示的区域的公共部分.图略.
33
4、
（1）长轴长2a8，短轴长2b4，离心率e一3，
2
焦点坐标分别是（^.3,0），（2,3,0），顶点坐标分别为（4,0），（4,0），（0,2），（0,2）；
（2）长轴长2a
18，短轴长2b6，离心率e
22
焦点坐标分别是（0,6、、2）,（0,6、、2），顶点坐标分别为（0,9）,（0,9）,（3,0）,（3,0）.
5、
（1）
（2）
2
或I
81
2
x
1；
9
2
（3）乞
25
2
1，或25
2
X-1.
9
6、解：
由已知，椭圆的焦距
FiF22.
因为PRF2的面积等于1,所以,
代入椭圆的方程，得-11，解得
54
F1F2
1，解得yp
1.
V15
x
2
所以，点P的坐标是（^,1），共有4个.
7、解：
如图，连接QA.由已知，得QAQP.
所以,
QOQAQOQP
OP
又因为点A在圆内，所以OAOP
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O,A为焦点，r为长轴长的椭圆.
3
8解：
设这组平行线的方程为y-x
m.
把y3xm代入椭圆方程-
24
2
-1，得9x26mx2m2180.
9
这个方程根的判别式
36m2
2
36（2m18）
（1）由0,得32m^2.
当这组直线在y轴上的截距的取值范围是（^2,^.2）时，直线与椭圆相交.
（2）设直线与椭圆相交得到线段AB，并设线段AB的中点为M（x,y）.
X1X2m
贝9x.
23
因为点M在直线y3xm上，与x—联立，消去m，得3x2y0.
23
这说明点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一
条直线上.
9、
x
3.5252
y
2.8752
10、地球到太阳的最大距离为1.5288108km，最下距离为1.4712108km.习题2.2B组（P50）
1、解：
设点M的坐标为（x,y），点P的坐标为（Xo,y°）,
则xXo，y3y°.所以Xox，yo-y①.
23
因为点P（xo,y°）在圆上，所以x：
yo4②.
422
将①代入②，得点M的轨迹方程为x24y24，即-1
949
所以，点M的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解法一：
设动圆圆心为P（x,y），半径为R，两已知圆的圆心分别为01,。
2.
分别将两已知圆的方程x2y26x5o，x2y26x91o
配方，得（x3）2y24，（x3）2y21oo
当eP与eO1:
（x3）2y24外切时，有©PR2……①
当eP与eO2:
（x3）2y2100内切时，有O2P10R……②
①②两式的两边分别相加，得Of|O2P12
即,（x3）2y2（x3）2y212……③
化简方程③.
先移项，再两边分别平方，并整理，得2（x3）2y212x……④
将④两边分别平方，并整理，得3x24y21080……⑤
22
将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得——1⑥
3627
由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6、、3.
解法二：
同解法一，得方程..（x_3厂y2.（x_3厂y212……①
由方程①可知，动圆圆心P（x,y）到点。
1（3,0）和点。
2（3,0）距离的和是常数12,
并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程
因为2c6，2a12，所以c3，a6
所以b236927.
于是，动圆圆心的轨迹方程为
x2
36
2
y
27
1.
联立这两个方程，解得
4、解:
45
17
（m0,n0）……①
3、解：
设d是点M到直线x8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合PM弊1
（x2）y1
由此得竺,-
82
22将上式两边平方，并化简，得3x24y248，即-乂1
1612
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为8，4、、3的椭圆.
32
x,y
17
3245
所以，点L的坐标是（兰,45）.
1717
同样，点M的坐标是（些,9），点N的坐标是（96,21）.
552525
22由作图可见，可以设椭圆的方程为笃笃mn
把点L,M的坐标代入方程①，并解方程组，得
所以经过点L,M的椭圆方程为—
16
把点N的坐标代入
2x
16
y-，得-
916
（96）2
25
所以，点
2
N在—
16
因此，点
x2
L,M,N都在椭圆一
16
2y
9
1上.
2.3双曲线
练习（P55）
1、
（1）
1.
2
x
16
（3）解法一：
因为双曲线的焦点在y轴上
所以，可设它的标准方程为
2
y_
2a
b2
1（a0,b0）
将点（2,
25
5）代入方程，得笃
a
1，即a2b24a2
2
25b0
又a2
b2
36
解方程组
a2b24a225b2
a2b236
令ma2,n
b2，代入方程组,
mn
4m25n
n36
解得
m20或
n16
45
第二组不合题意，舍去,
20,b2
16
2
所求双曲线的标准方程为y
20
2
—1
16
解法二：
根据双曲线的定义，有2a
所以，a2、5
4（56）2-.4（56）2
45.
又c6，所以b2362016
由已知，双曲线的焦点在y轴上，所以所求双曲线的标准方程为
I冬1.
2016
2、提示：
根据椭圆中a2b2
C2和双曲线中a2b2
c2的关系式分别求出椭圆、
双曲线的
焦点坐标.
3、由（2m）（m1）0,解得
2，或m1
练习（P61）
1、
（1）
实轴长2a
8.2，虚轴长
2b4;顶点坐标为
（4,2,0）,（4、.20）；
（3）
（4）
焦点坐标为
实轴长2a
焦点坐标为
实轴长2a
焦点坐标为
实轴长2a
（6,0）,（6,0）；
离心率e乎
6，虚轴长2b18;顶点坐标为（3,0）,（3,0）；
（3.10,0）,（3.10,0）；离心率e.10.
4，虚轴长2b4;顶点坐标为（0,2）,（0,2）；
（0,2月,（0,
10,虚轴长
（0八74）,（0,
2b14;顶点坐标为（0,5）,（0,5）；
■.74）;离心率e
.74
5
2、
（1）
1匕1；
（2）
y
x
169
36
28
2
2
4、
x
仏1，渐近线方程为
y
x.
18
18
142
25
5、
（1）
（6,2）,（〒-）；
（2）
（—
3）
33
4
习题2.3
A组（P61）
焦点坐标为
1、把方程化为标准方程，得
22
22
1.
2
3、—
3
22
—-1.因为a
6416
8，由双曲线定义可知，点P到两焦点距
离的差的绝对值等于16.因此点P到另一焦点的距离是17.
2、
（1）
22
xy
1.
2016
22
⑵乞L
2575
3、
（1）焦点坐标为
（2）焦点坐标为
R（5,0）,F2（5,0），离心率
F1（0,
5）,F2（0,5），
离心率
2
2
2
2
4、
（1）
x
y1
（2）乞
—1
25
16
9
16
（3）
解:
因为e
c
.2，所以c2
2a2，
e
e
a
22
xy
5；
一；
3
5；
—；
4
因此b2
2a2
设双曲线的标准方程为
2
1，或爲
a
1.
将（5,3）代入上面的两个方程，得
25
~2
a
25
a
解得a216（后一个方程无解）
5、解:
2
所以，所求的双曲线方程为稳話1.
x2
连接QA，由已知，得QAQP.
所以，|QAQO
QPQO||
OP
又因为点A在圆外，所以OAOP.
r为实轴长的双曲线.
根据双曲
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