，
又∵a∈N*，∴a＝1.
题型二 利用绝对值不等式求最值
例2
（1）对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2）对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
答案
（1）C
（2）5
解析
（1）∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|（x－1）－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|（y－1）－（y＋1）|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
（2）|x－2y＋1|＝|（x－1）－2（y－1）|≤|x－1|＋|2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
（1）利用绝对值的几何意义；
（2）利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；（3）利用零点分区间法．
（1）关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d的取值范围是________．
（2）不等式|x＋
|≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为________．
答案
（1）[1，＋∞）
（2）[1,3]
解析
（1）∵|2014－x|＋|2015－x|≥|2014－x－2015＋x|＝1，
∴关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解时，d≥1.
（2）∵x＋
∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），
∴|x＋
|∈[2，＋∞），其最小值为2.
又∵siny的最大值为1，
故不等式|x＋
|≥|a－2|＋siny恒成立时，
有|a－2|≤1，解得a∈[1,3]．
题型三 绝对值不等式的综合应用
例3 设函数f（x）＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
（1）解不等式f（x）<－1；
（2）设函数g（x）＝|x＋a|－4，且g（x）≤f（x）在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
解
（1）∵函数f（x）＝|x－3|－|x＋1|
＝
故由不等式f（x）<－1可得x>3或
解得x>
.
（2）函数g（x）≤f（x）在x∈[－2,2]上恒成立，
即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．
故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g（x）在函数f（x）的图象的下方，g（x）≤f（x）在x∈[－2,2]上恒成立，
求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．
思维升华
（1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
（2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.
（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
24．绝对值不等式的解法
典例 不等式|x＋1|＋|x－1|≥3的解集为____________________________________________
____________________________．
思维点拨 本题不等式为|x－a|＋|x－b|≥c型不等式，解此类不等式有三种方法：
几何法、分区间（分类）讨论法和图象法．
解析 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－
.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－（－1）＝3.∴x＝
.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.
所以原不等式的解集是
∪
.
方法二 当x≤－1时，原不等式可化为
－（x＋1）－（x－1）≥3，解得：
x≤－
.
当－1x＋1－（x－1）≥3，即2≥3.不成立，无解．
当x≥1时，原不等式可以化为
x＋1＋x－1≥3.所以x≥
.
综上，可知原不等式的解集为
.
方法三 将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，
即y＝
作出函数的图象，如图所示：
函数的零点是－
，
.
从图象可知，当x≤－
或x≥
时，y≥0，
即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
所以原不等式的解集为
∪
.
答案
∪
温馨提醒 这三种方法是解|x＋a|＋|x＋b|≥c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点．
1．绝对值不等式的三种常用解法：
零点分段法，数形结合法，构造函数法．
2．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
3．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
A组 专项基础训练
（时间：
30分钟）
1．不等式|2x－1|<3的解集是（ ）
A．（1,2）B．（－1,2）
C．（－2，－1）D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
答案 B
解析 |2x－1|<3⇔－3<2x－1<3⇔－12．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集是（ ）
A．{x|－1C．{x|x>1}D．{x|x<－1或x>1}
答案 A
解析 方法一 原不等式即为|2x－1|<|x－2|，
∴4x2－4x＋1∴3x2<3，∴－1方法二 原不等式等价于不等式组
①
或②
或③
不等式组①无解，由②得
.
综上得－13．函数y＝|x－1|＋|x＋3|的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 y＝|x－1|＋|x＋3|＝|1－x|＋|x＋3|≥|1－x＋x＋3|＝4，
当且仅当（1－x）（x＋3）≥0，即－3≤x≤1时取“＝”．
∴当－3≤x≤1时，函数y＝|x－1|＋|x＋3|取得最小值为4.
4．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1（x∈R）的解集是（ ）
A．（0,4）B．[0,2]
C．[0,4]D．（－2,2）
答案 C
解析 由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，
即0≤|x－2|≤2，∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.
5．若不等式|x＋1|＋|x－2|答案 （－∞，3]
解析 由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|6．不等式log3（|x－4|＋|x＋5|）>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，2）
解析 由绝对值的几何意义知：
|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3（|x－4|＋|x＋5|）≥2，所以要使不等式log3（|x－4|＋|x＋5|）>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
7．已知f（x）＝|x－3|，g（x）＝－|x－7|＋m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则m的取值范围是________．
答案 （－∞，4）
解析 由题意，可得不等式|x－3|＋|x－7|－m>0恒成立，即（|x－3|＋|x－7|）min>m，由于x轴上的点到点（3,0）和点（7,0）的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m<4.
8．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
答案 （5,7）
解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，
即
＜x＜
，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则
⇒
∴5＜b＜7.
9．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）求函数y＝f（x）的最小值．
解
（1）方法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－
，x＝4.原不等式可化为：
或
或
∴原不等式的解集为
.
方法二 f（x）＝|2x＋1|－|x－4|
＝
画出f（x）的图象，如图所示．
求得y＝2与f（x）图象的交点为（－7,2），
.
由图象知f（x）＞2的解集为
.
（2）由
（1）的方法二知：
f（x）min＝－
.
10．已知函数f（x）＝|x＋3|－|x－2|.
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≥|a－4|有解，求a的取值范围．
解
（1）f（x）＝|x＋3|－|x－2|≥3，
当x≥2时，有x＋3－（x－2）≥3，解得x≥2；
当x≤－3时，－x－3＋（x－2）≥3，解得x∈∅；
当－3综上，f（x）≥3的解集为{x|x≥1}．
（2）由绝对值不等式的性质可得，
||x＋3|－|x－2||≤|（x＋3）－（x－2）|＝5，
则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.
若f（x）≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，
解得－1≤a≤9.
所以a的取值范围是[－1,9]．
B组 专项能力提升
（时间：
20分钟）
11．若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值集合是（ ）
A．（1,3）B．（－∞，2）
C．（0,2）D．（1，＋∞）
答案 B
解析 |x－3|＋|x－1|的几何意义为数轴上表示x的点到表示3和1的点的距离之和，所以函数y＝|x－3|＋|x－1|的最小值为2，实数a的取值集合是{a|a<2}．
12．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 2
解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
13．设函数f（x）＝|2x－1|＋x＋3，对f（－2）＝________；若f（x）≤5，则x的取值范围是__________．
答案 6 [－1,1]
解析 f（－2）＝|2×（－2）－1|－2＋3＝6；
f（x）≤5⇒|2x－1|＋x＋3≤5⇒|2x－1|≤2－x⇒x－2≤2x－1≤2－x，
∴
⇒－1≤x≤1.
14．已知关于x的不等式|2x－m|≤1（m∈Z）的整数解有且仅有一个值为2，则关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集为______________．
答案 （－∞，0]∪[4，＋∞）
解析 由不等式|2x－m|≤1，可得
≤x≤
，
∵不等式的整数解为2，
∴
≤2≤
，解得3≤m≤5.
再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4（m∈Z）．
本题即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，
当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x≥4，
解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．
当1≤x≤3时，不等式等价于x－1＋3－x≥4，
解得x∈∅，不等式解集为∅.
当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，
解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．
综上，原不等式解集为（－∞，0]∪[4，＋∞）．
15．设f（x）＝|x－1|＋|x＋1|.
（1）求f（x）≤x＋2的解集；
（2）若不等式f（x）≥
对任意实数a≠0恒成立，求x的取值范围．
解
（1）由f（x）≤x＋2，得
或
或
解得0≤x≤2，
∴f（x）≤x＋2的解集为{x|0≤x≤2}．
（2）∵
＝
≤
＝3，
（当且仅当
≤0时，上式取等号）
∴由不等式f（x）≥
对任意实数a≠0恒成立，可得|x－1|＋|x＋1|≥3，
解此不等式，得x≤－
或x≥
.
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