倒立摆实验报告现代控制理论.docx
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倒立摆实验报告现代控制理论
现代控制理论实验报告
——倒立摆
小组成员：
指导老师：
2013.5
实验一建立一级倒立摆的数学模型
一、实验目的
学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。
二、实验内容
写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。
三、Matlab源程序及程序运行的结果
（1）Matlab源程序见附页
（2）给出系统的传递函数和状态方程
（a）传递函数gs为摆杆的角度：
>>gs
Transferfunction:
2.054s
-----------------------------------
s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013
（b）传递函数gspo为小车的位移传递函数：
>>gspo
Transferfunction:
0.7391s^2-20.13
---------------------------------------
s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013s
（c）状态矩阵A,B,C,D：
>>sys
a=
x1x2x3x4
x10100
x20-0.073910.71750
x30001
x40-0.205429.230
b=
u1
x10
x20.7391
x30
x42.054
c=
x1x2x3x4
y11000
y20010
d=
u1
y10
y20
Continuous-timemodel.
（3）给出传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值
（a）传递函数gs的极点
>>P
P=
5.4042
-5.4093
-0.0689
（b）传递函数gspo的极点
>>Po
Po=
0
5.4042
-5.4093
-0.0689
（c）状态矩阵A的特征值
>>E
E=
0
-0.0689
5.4042
-5.4093
（4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线
（a）开环脉冲响应曲线
（b）阶跃响应曲线
四、思考题
（1）由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？
答：
由状态空间方程转化为传递函数：
>>gso=tf（sys）
Transferfunctionfrominputtooutput...
0.7391s^2-6.565e-016s-20.13
#1:
---------------------------------------
s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013s
2.054s+4.587e-016
#2:
-----------------------------------
s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013
#1为gspo传递函数，#2为gs的传递函数
而直接得到的传递函数为：
>>gspo
Transferfunction:
0.7391s^2-20.13
---------------------------------------
s^4+0.07391s^3-29.23s^2-2.013s
>>gs
Transferfunction:
2.054s
-----------------------------------
s^3+0.07391s^2-29.23s-2.013
通过比较可以看到，gspo由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递函数多了s的一次项，而6.565e-016非常小几乎可以忽略不计，因此可以认为两种方法得到的传递函数式相同的，同理传递函数gs也可以认为是相同的。
（2）通过仿真表明开环系统是否稳定？
请通过极点（特征值）理论来分析。
答：
开环系统不稳定
极点为：
>>P
P=
5.4042
-5.4093
-0.0689
>>Po
Po=
0
5.4042
-5.4093
-0.0689
由系统稳定性结论可知，极点若都分布在s平面的左半平面则系统稳定，而开环系统的极点有5.4042在右半平面。
因此，开环系统不稳定。
（3）传递函数的极点和状态方程的特征值的个数、大小是否相等？
如果不相等，请解释其原因。
传递函数gspo的极点和状态方程的特征值的个数、大小相等。
但是传递函数gs的极点和状态方程的特征值个数不相等。
因为存在零极点对消。
附录：
（matlab程序）
clearall;
f1=0.001;
%实际系统参数
M=1.32;
m=0.132;
b=0.1;
l=0.27;
I=0.0032;
g=9.8;
T=0.02;
%求传递函数gs（输出为摆杆角度）和gspo（输出为小车位置）
q=（M+m）*（I+m*l^2）-（m*l）^2;
num=[m*l/q0];
den=[1b*（I+m*l^2）/q-（M+m）*m*g*l/q-b*m*g*l/q];
gs=tf（num,den）;
numpo=[（I+m*l^2）/q0-m*g*l/q];
denpo=[1b*（I+m*l^2）/q-（M+m）*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];
gspo=tf（numpo,denpo）;
%求状态空间sys（A,B,C,D）
p=I*（M+m）+M*m*l^2;
A=[0100;0-（I+m*l^2）*b/pm^2*g*l^2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*（M+m）/p0];
B=[0;（I+m*l^2）/p;0;m*l/p];
C=[1000;0010];
D=[0;0];
sys=ss（A,B,C,D）;
%通过传递函数求系统（摆杆角度和小车位置）的开环脉冲响应
t=0:
T:
5;
y1=impulse（gs,t）;
y2=impulse（gspo,t）;
figure
（1）;
plot（t,y2,'b',t,y1,'r'）;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
axis（[02080]）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
%将状态空间方程sys转化为传递函数gs0
gs0=tf（sys）;
%通过状态方程求系统（摆杆角度和小车位置）的开环脉冲响应
t=0:
T:
5;
y=impulse（sys,t）;
figure
（2）;
plot（t,y（:
1）,t,y（:
2）,'r'）;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
axis（[02080]）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
%通过传递函数求系统（摆杆角度和小车位置）的开环阶越响应
t=0:
T:
5;
y1=step（gs,t）;
y2=step（gspo,t）;
figure（3）;
plot（t,y2,'b',t,y1,'r'）;
axis（[02.5080]）;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
%通过状态方程求系统（摆杆角度和小车位置）的开环阶越响应
t=0:
T:
5;
y=step（sys,t）;
figure（4）;
plot（t,y（:
1）,t,y（:
2）,'r'）;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
axis（[02.5080]）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
%求传递函数极点
P=pole（gs）;
Po=pole（gspo）;
%求A的特征值
E=eig（A）;
实验二倒立摆系统控制算法的状态空间法设计
一、实验目的
学习如何使用状态空间法设计系统的控制算法。
二、实验内容
用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：
（1）杆角度µ和小车位移x的稳定时间小于5秒
（2）x的上升时间小于2秒2
（3）µ的超调量小于20度（0.35弧度）
（4）稳态误差小于4%.
三、Matlab源程序及程序执行结果
（1）Matlab源程序（见附录）
（2）程序执行结果
（a）k的值
>>K
K=
-14.1421-12.157063.583711.8416
（b）反馈后的响应曲线
（3）给出无扰动时两次不同K值下，小车的稳定位置P1和摆杆的稳定角度Pend1；
（a）>>K
K=
-14.142-12.15763.58411.842
小车的稳定位置P1=-0.02
绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.001度
（b）
>>K
K=
-14.1421-12.157063.583711.8416
小车的稳定位置P1=-0.007
绿色的曲线为摆杆的稳定角度Pend1=0.0015度
（4）给出两次不同K值下，实际系统的响应曲线，并计算实验要求中的四项响应指标，并注意要利用实验三中统计出的响应时间延迟修正响应曲线。
①K=
-14.1421-12.146763.582511.8413
=（0.11-0.0825）/0.0925=29.7%
tp=（4100-3880）/1000*8.8=1.936s
tr=（4030-3880）/1000*8.8=1.32sts=（4800-3880）/1000*8.8=8.096s
②K=
-14.1421-12.157063.583711.8416
=（0.11-0.085）/0.092=27.17%
tp=（3025-2840）/1000*8.8=1.628s
tr=（2955-2840）/1000*8.8=1.012sts=（4800-3900）/1000*8.8=7.92s
四、思考题
（1）计算Ac的特征值。
①K=
-14.1421-12.146763.582511.8413
②K=
-14.1421-12.157063.583711.8416
（2）通过仿真分析Q11和Q33的大小对控制效果的影响（Q11为Q阵的第（1;1）个元素）：
•固定Q33，改变Q11
Q33=100Q11=100（红）、500（蓝）、1000（绿）
从图中可以看出Q11增大,角度超调随着增大,位置的超调基本不变,但是响应时间缩短了。
•固定Q11，改变Q33
Q11=100Q33=100（红）、1000（蓝）、2000（绿）
从图中可以看出Q33增大,角度超调减小,位置的超调基本不变,但是响应时间延长了。
附录：
（matlab程序）
clearall;
f1=0.001;
%实际系统参数
%M=1.096;
%m=0.109;
%b=0.25;
%l=0.25;
%I=0.0034;
%g=9.8;
%T=0.001;
%求系统状态空间参数
M=1.32;
m=0.132;
b=0.22;
l=0.27;
I=0.0032;
g=9.8;
T=0.02;
p=I*（M+m）+M*m*l^2;
A=[0100;0-（I+m*l^2）*b/pm^2*g*l^2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*（M+m）/p0];
B=[0;（I+m*l^2）/p;0;m*l/p];
C=[1000;0010];
D=0;
%求反馈向量K
R=1;
Q1=200;
Q2=0;
Q3=100;
Q=[Q1000;0Q200;00Q30;0000];
K=lqr（A,B,Q,R）;
%求状态反馈后的系统sysstate
Ac=A-B*K;
Bc=B*K
（1）;%输入变换使输入与反馈的量纲匹配
sysstate=ss（Ac,Bc,C,D）;
%对lqr控制系统进行仿真
t=0:
T:
5;
U=0.2*ones（size（t））;
y=lsim（sysstate,U,t）;
figure
（1）;
holdon;
plot（t,y（:
1）,t,y（:
2）,'r'）;
boxon;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
实验三研究倒立摆系统对信号的跟踪
一、实验目的
观察倒立摆对于不同输入信号的跟踪情况，加深对状态空间和状态反馈的理解。
二、实验内容
在平衡位置，分别设定下列三种信号，记录倒立摆的运动情况：
（1）方波信号：
频率0.2Hz，幅值0.05m
（2）正弦波信号：
频率0.2Hz，幅值0.05m
（3）锯齿波信号：
频率0.2Hz，幅值0.05m
三、Matlab源程序及程序执行结果
（1）Matlab源程序（见附录）
（2）Matlab仿真图形（三种扰动下的响应曲线）
A阶跃信号下的响应曲线
B方波信号下的响应曲线
C正弦信号下的响应曲线
（3）实际系统的响应曲线
当Q1=500，Q2=700
A锯齿波信号下的实际响应曲线
B方波信号下的实际响应曲线
C正弦信号下的实际响应曲线
当Q1=300，Q2=500
A锯齿波信号下的实际响应曲线
B方波信号下的实际响应曲线
C正弦信号下的实际响应曲线
（4）在锯齿波跟踪曲线图上，利用“放大”功能测量出实际系统对于输入的延迟时间：
测量输入曲线和锯齿波响应曲线最高点之间的时间差，利用多个时间差求平均获得平均延迟时间。
根据图可得时间对应关系为20s对应图中2325,即每一格对应8.602*10^-3s.
则当Q1=500，Q2=700时，锯齿波中实际输入延迟时间为25*8.602/1000=0.215s
则当Q1=300，Q2=500时，锯齿波中实际输入延迟时间为15*8.602/1000=0.129s
（5）根据统计出的时延，对实验二中阶跃响应的曲线进行修正
修正后的曲线：
①K=
-14.1421-12.146763.582511.8413
②K=
-14.1421-12.157063.583711.8416
四、思考题
（1）仿真曲线和实际响应曲线是否大致相同？
通过比较可以看出仿真的曲线和实际响应曲线大致相同。
（2）请说明原系统是否完全可控？
因为3<4，所以，原系统不完全可控。
附录：
Matlab源程序
clearall;
f1=0.001;
%实际系统参数
M=1.096;
m=0.109;
b=0.25;
l=0.25;
I=0.0034;
g=9.8;
T=0.02;
%求系统状态空间参数
p=I*（M+m）+M*m*l^2;
A=[0100;0-（I+m*l^2）*b/pm^2*g*l^2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*（M+m）/p0];
B=[0;（I+m*l^2）/p;0;m*l/p];
C=[1000;0010];
D=0;
%求反馈向量K
R=1;
Q1=200;
Q2=0;
Q3=100;
Q=[Q1000;0000;00Q30;0000];
K=lqr（A,B,Q,R）;
%求状态反馈后的系统sysstate
Ac=A-B*K;
Bc=B*K
（1）;%输入变换使输入与反馈的量纲匹配
sysstate=ss（Ac,Bc,C,D）;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%信号模拟发生器
T=0.02
Tmax=45;
%生成阶跃信号¨
%t=0:
T:
Tmax;
%U=0.1*ones（size（t））;
%生成方波¨
t=0:
T:
Tmax;
U=0.1.*gensig（'square',15,Tmax,T）-0.1/2;
%生成正弦波
%t=0:
T:
Tmax;
%U=0.1*sin（2*pi*t/15）;
%生成正弦波波
%t=0:
T:
Tmax;
%U=（1-mod（t/8,1）-0.5）*0.1;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%对lqr控制系统进行仿真
y=lsim（sysstate,U,t）;
figure
（1）;
holdon;
plot（t,y（:
1）,t,y（:
2）,'r'）;
boxon;
xlabel（'t/s'）;
ylabel（'Position/morAngle/rad'）;
legend（'CarPosition','PendulumAngle'）;
实验研究的体会和收获
总的来说，通过这次实验，我们将理论应用于实验，加深了对状态空间、状态空间控制算法和状态反馈的理解。
也感谢学院、老师给我们提供这些宝贵的实验机会，让我们在理论学习的基础上，能够通过自己动手对专业知识有深层次的理解。
参考文献
[1]固高公司.倒立摆（教学实验设备）用户手册,2001
[2]赵世敏.倒立摆控制系统实验指示书,2007
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[4]胡寿松.自动控制原理.北京:
科学出版社,2001
[5]易继铠等.智能控制技术,北京工业大学出版社,1999
[6]杨振强等.二级倒立摆的状态合成模糊神经网络控制.控制与决策,2002,
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（1）:
123{125
[7]张明廉等.拟人控制二维单倒立摆.控制与决策,2002,17
（1）:
53{56
[8]薛定宇.控制系统计算机辅助设计{MATLAB语言及应用.北京:
清华大学,1996
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