2年级奥数二至五讲.docx

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2年级奥数二至五讲

第二讲数数与计数

（一）

　　数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.

　　例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？

　　解：

仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：

　　黑方块是：

4×8=32（个）

　　白方块是：

4×8=32（个）

　　再仔细观察图2－2，从上往下看：

　　第一行白方块5个，黑方块4个；

　　第二行白方块4个，黑方块5个；

　　第三、五、七行同第一行，

　　第四、六、八行同第二行；

　　但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.

　　白方块总数：

5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）

　　黑方块总数：

4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）

　　再一种方法是：

　　每一行的白方块和黑方块共9个.

　　共有9行，所以，白、黑方块的总数是：

　　9×9=81（个）.

　　由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.

　　例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？

　　解：

仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.

　　例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：

（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？

（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？

　　（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？

　　解：

如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.

（1）3面涂色的小立方体共有1个；

（2）4面涂色的小立方体共有4个；

　　（3）5面涂色的小立方体共有3个.

　　例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：

］

（1）1面涂成红色的有几个？

（2）2面涂成红色的有几个？

　　（3）3面涂成红色的有几个？

　　解：

仔细观察图形，并发挥想像力，可知：

（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；

（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；

　　（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：

　　2+8+8=18（个）.

习题二

　　1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？

　　2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？

若能补好，共需几块？

　　3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？

　　4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.

　　求：

（1）3面涂成红色的有多少块？

（2）2面涂成红色的有多少块？

　　（3）1面涂成红色的有多少块？

　　（4）各面都没有涂色的有多少块？

　　（5）切成的小正方体共有多少块？

　　5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.

　　问：

（1）有3面被染成蓝色的多少块？

（2）有2面被染成蓝色的多少块？

　　（3）有1面被染成蓝色的多少块？

　　（4）各面都没有被染色的多少块？

　　（5）锯成的小正方体木块共有多少块？

　　6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？

　　7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？

（仔细观察，想办法比较出来）.

习题二解答

　　1.解：

用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像力）：

　　共1+2+2+1+2+2=10（块）.

　　如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚了，如图2－15所示.

　　2.解：

仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图2－16所示）

　　1+2=3（块）.

　　3.解：

因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：

　　4.解：

（1）3面涂色的有8块：

它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.

（2）2面涂色的有12块：

它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.

　　（3）1面涂色的有6块：

它们是各面（共有6个面）中心的那块.

　　（4）各面都没有涂色的有一块：

它是正方体中心的那块.

　　（5）共切成了3×3×3=27（块）.

　　或是如下计算：

　　8+12+6+1=27（块）.

　　5.解：

同上题

（1）8块；

（2）24块；（3）24块；

　　（4）8块；（5）64块.

　　6.解：

3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.

　　7.解：

分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.

第三讲数数与计数

（二）

　　例1数一数，图3－1中共有多少点？

　　解：

（1）方法1：

如图3－2所示从上往下一层一层数：

　　第一层1个第二层2个第三层3个第四层4个第五层5个第六层6个第七层7个第八层8个第九层9个第十层10个第十一层9个第十二层8个第十三层7个第十四层6个第十五层5个第十六层4个第十七层3个第十八层2个第十九层1个

　　总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）

　　=55+45=100（利用已学过的知识计算）.

（2）方法2：

如图3－3所示：

从上往下，沿折线数

　　第一层1个第二层3个第三层5个第四层7个第五层9个第六层11个第七层13个第八层15个第九层17个第十层19个

　　总数：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.

　　（3）方法3：

把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.

　　想一想：

　　①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.

　　②由方法1和方法3得出下式：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：

　　1=1×1

　　1+2+1=2×2

　　1+2+3+2+1=3×3

　　1+2+3+4+3+2+1=4×4

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

　　这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.

　　同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.

　　③由方法2和方法3也可以得出下式：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

　　即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：

　　1+3=2×2

　　1+3+5=3×3

　　1+3+5+7=4×4

　　1+3+5+7+9=5×5

　　1+3+5+7+9+11=6×6

　　1+3+5+7+9+11+13=7×7

　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

　　还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.

　　例2数一数，图3－5中有多少条线段？

　　解：

（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：

　　ABACADAEAF5条.

　　以B点为共同左端点的线段有：

　　BCBDBEBF4条.

　　以C点为共同左端点的线段有：

　　CDCECF3条.

　　以D点为共同左端点的线段有：

　　DEDF2条.

　　以E点为共同左端点的线段有：

　　EF1条.

　　总数5+4+3+2+1=15条.

（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.

　　总数5+4+3+2+1=15（条）.

　　想一想：

①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：

总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：

　　还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.

　　②上面的事实也可以这样说：

如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：

　　线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数

　　还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.

　　例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？

　　解：

（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.

　　所以，以OA边为公共边的锐角有：

　　∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，

　　∠AOF共5个.

　　以OB边为公共边的锐角有：

∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.

　　以OC边为公共边的锐角有：

∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：

∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：

∠EOF只1个.

　　锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.

　　②用图示法更为直观明了：

如图3－10所示，锐角总数为：

5+4+3+2+1=15（个）.

　　想一想：

①由例3可知：

由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：

（见图3－11～15）

　　两条射线1个角（见图3－11）

　　三条射线2+1个角（见图3－12）

　　四条射线3+2+1个角（见图3－13）

　　五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）

　　六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）

　　总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.

　　②同样，也可以这样想：

如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：

　　角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.

　　③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.

习题三

　　1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？

　　2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？

　　3.数一数，图3－18中有多少条线段？

　　4.数一数，图3－19中有多少锐角？

　　5.数一数，图3－20中有多少个三角形？

　　6.数一数，图3－21中有多少正方形？

习题三解答

　　1.解：

方法1：

从左往右一摞一摞地数，再相加求和：

　　10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10

　　=135（本）.

　　方法2：

把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.

　　长方形中的书10×11=110

　　三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

　　总数：

110+25=135（本）.

　　2.解：

因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.

　　仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.

　　3.解：

方法1：

按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）

　　线段总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

　　方法2：

基本线段共7条，所以线段总数是：

　　7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

　　4.解：

按图3－23的方法数：

　　角的总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

　　5.解：

方法1：

（1）三角形是由三条边构成的图形.

　　以OA边为左公共边构成的三角形有：

△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；

　　以OB边为左公共边构成的三角形有：

△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；

　　以OC边为左公共边构成的三角形有：

△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；

　　以OD边为左公共边构成的三角形有：

△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；

　　以OE边为左公共边构成的三角形有：

△OEF，△OEG，△OEH，共3个；

　　以OF边为左公共边构成的三角形有：

△OFG，△OFH，共2个；

　　以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：

△OGH1个；

　　三角形总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

（2）方法2：

显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

　　6.解：

最小的正方形有25个，

　　由4个小正方形组成的正方形16个；

　　由9个小正方形组成的正方形9个；

　　由16个小正方形组成的正方形4个；

　　由25个小正方形组成的正方形1个；

　　正方形总数：

25+16+9+4+1=55个.

第四讲认识简单数列

　　我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

　　在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.

　　例1找出下面各数列的规律，并填空.

（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.

（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.

　　（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.

　　（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.

（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.

　　注意：

自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

　　例2找出下面的数列的规律并填空.

　　1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.

　　解：

这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

　　空处依次填：

　　例3找出下面数列的生成规律并填空.

　　1，2，4，8，16，□，□，128，256.

　　解：

它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

　　例4找出下面数列的规律，并填空.

　　1，2，4，7，11，□，□，29，37.

　　解：

这数列规律是：

后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

　　例5找出下面数列的规律，并填空：

　　1，3，7，15，31，□，□，255，511.

　　解：

规律是：

后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.

　　另外，原数列的规律也可以这样看：

后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.

　　例6找出下面数列的生成规律，并填空.

　　1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.

　　解：

这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，

，64=8×8，81=9×9，100=10×10.

　　若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.

　　自然数列：

12345678910

　　↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

　　自然数平方数列：

149162536496481100

　　例7一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？

（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四

（1））

　　方法2：

由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

　　可见第12站以后，车上坐满乘客.

　　例8如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：

3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？

　　解：

从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四

（2））.

　　可见73是第11项.

　　例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：

“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？

”小朋友，请你帮小明想一想？

　　解：

小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！

下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））.表四（3）

　　放满10个盒所需要的糖块总数：

　　可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！

这可能是你没有想到的吧！

其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.

习题四

　　1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.

　　2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.

　　3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几？

　　4.自2开始，隔两个数写一个数：

2，5，8，……，101.

　　可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？

　　5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？

　　6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？

　　7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员？

　　8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？

　　9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问

（1）盒子里有多少珠子？

（2）这串珠子共有多少个？

习题四解答

　　1.解：

可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该出现的数，就得到答案了：

　　即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28

　　可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.

　　2.解：

仿习题1，先写前面的几个数如下：

　　可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：

　　1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.

　3.解：

观察习题一和习题二两个数列：

　　可见两个数列中最小的相同数是22.

　　4.解：

经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以便从中发现规律：

（表四（4））

　　再仔细观察可知：

　　第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；

　　第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；

　　第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；

　　第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；

　　…………

　　由于101=2+33×3；

　　可见，101是第34项，即第34个数.

　　5.解：

仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数为：

　　1+2+3+4=10.

　　所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图形包括的小正方形数为：

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.

　　6.解：

从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律（表四（5））：

　　所以六层小立方体的总数为：

　　1+3+6+10+15+21=56（个）.

　　7.解：

列表如下：

　　4个星期后小组的总人数：

　　1+2+4+8=15（人）.

　　8.解：

列表如下：

　　一个细胞经过10次分裂变为1024个.

　　9.解：

仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：

　　白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白

　　1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,

　　①在盒子里有：

　　4+1+4=9（个）.

　　②这一串珠子总数是：

　　1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1

　　=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）

　　=28+8=36（个）.

第五讲自然数列