人教版高中不等式复习讲义含答案超经典.docx
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人教版高中不等式复习讲义含答案超经典
不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
（1）对称性：
abba
（2）
传递性：
a
b,bcac
（3）加法法则：
ab
acb
c；a
b,cd
acb
d（同向可加）
（4）乘法法则：
a
b,c0
acbc；
ab,c0
acbc
ab0,cd0
acbd
（同向同正可乘）
（5）倒数法则：
ab,ab011
ab
（6）乘方法则：
ab0
anbn（n
N*且n1）
（7）开方法则：
ab0
nan
b（n
N*且n1）
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：
作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2
bxc
0或ax2
bxc0a
0的解集：
设相应的一元二次方程
ax2
bxc0a
0的两根为
x、x且xx，
b24ac，
1212
则不等式的解的各种情况如下表：
000
二次函数
2
yax
bxc
2
yax
bxc
2
yax
bxc
2
yax
bxc
（a0）的图象
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（
x,y），把它的坐标（
x,y）代入Ax+By+C，所得
到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负
即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条
件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优
解
（四）基本不等式
abab2
1.若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号
ab
2.如果a,b是正数，那么
2
ab（当且仅当a
2
b时取"
"号）.
变形：
有:
a+b≥2
ab；ab≤ab
2
当且仅当a=b时取等号
3.如果a,b∈R+,a·b=P（定值）,当且仅当a=b时,a+b有最小值2P
2
如果a,b∈R+,且a+b=S（定值）,当且仅当a=b时,ab有最大值S.
4
注：
（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：
（1）
a2b2
2
abab2
2（根据目标不等式左右的运算
11
结构选用）；
（2）a、b、cR，a2
b2c2
ab
abbcca（当且仅当abc时，取等
号）；（3）若ab
0,m
0，则bbm
aam
（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一）不等式与不等关系题型一：
不等式的性质
1.对于实数
a,b,c中，给出下列命题：
①若a
b,则ac2bc2；②若ac2
22
bc2,则ab；
11
③若a
b0,则a
b
abb；④若a
a
b0,则；
ab
⑤若a
b0,则a
；⑥若a
b
b0,则ab；
⑦若c
ab0,则a
ca
b11
；⑧若ab,，则acbab
0,b0。
其中正确的命题是
2
题型二：
比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2.设a
2，pa1，q
a2
a24a
2
，试比较
p,q的大小
3.比较1+logx
3与2logx2（x
0且x
1）的大小
4.若ab
是.
1,P
lga
lgb,Q
1（lga
2
lgb）,R
lg（
ab），则P,Q,R的大小关系2
（二）解不等式题型三：
解不等式
5.解不等式
6.解不等式（x
1）（x
2）20。
7.解不等式
5x
x22x31
8.不等式
ax2
bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=,b=
9.关于x的不等式axb
集为
0的解集为
（1,
），则关于x的不等式axb
x2
0的解
10.解关于x的不等式
ax2（a
1）x10
题型四：
恒成立问题
11.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是
12.若不等式
围.
x22mx
2m10对0
x1的所有实数x都成立，求m的取值范
13.已知x
0,y
0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。
xy
（三）基本不等式
题型五：
求最值
abab2
14.（直接用）求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋12
（2）y＝x＋1
2xx
15.（配凑项与系数）
（1）已知x
5
，求函数y
4
4x2
1
4x5
的最大值。
（2）当时，求
yx（82x）的最大值。
16.（耐克函数型）求y
x27x
10（x
1）的值域。
x1
注意：
在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
单调性。
f（x）
x
a的
x
17.（用耐克函数单调性）求函数y
x25
x24
的值域。
18.（条件不等式）
（1）若实数满足ab
2，则
3a3b的最小值是.
（2）已知x
0,y
0，且191，求xy的最小值。
xy
（3）
2
2
已知x，y为正实数，且x2＋y
2
＝1，求x1＋y的最大值.
（4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1
ab
的最小值.
题型六：
利用基本不等式证明不等式
19.已知
a,b,c为两两不相等的实数，求证：
a2b2c2
abbcca
20.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：
（1－a）（1－b）（1－c）≥8abc
21.已知a、b、cR，且abc1。
求证：
1111118
abc
题型七：
均值定理实际应用问题：
22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长
和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
（四）线性规划
题型八：
目标函数求最值
23.满足不等式组
2xy
7xyx,y
30
80，求目标函数0
k3x
y的最大值
24.
已知实系数一元二次方程
x2（1
a）xab
10的两个实根为
x1、
x2,并且
0x1
2,x2
2．则
b的取值范围是
a1
25.已知
x,y满足约束条件：
x0
3x4y4
x
y02
则
2
y2x
的最小值是
26.已知变量
x,y满足约束条件
x2y
x3y
y10
30
30.若目标函数zaxy（其中a>0）仅
在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为。
27.已知实数x，y满足
y1，
y2x
1，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于
xym．
（）
题型九：
实际问题
28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？
又利润最大为多少？
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1.②③⑥⑦⑧；
2.pq；
44
3.当0
x1或
x时，1+logx3＞2logx2；当1
3
x时，1+logx3＜2logx2；当
3
4
x时，1+logx
3
3＝2logx2
4.∵ab1∴
lga
0,lgb0Q
1（lga
2
lgb）
lga
lgbp
ab
Rlg（）2
lgab
1
lgabQ
2
∴R>Q>P。
5.
6.{x|x
1或x
2}；
7.（1,1）（2,3））；
8.不等式
ax2
bx120的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=-6,b=6
9.（
1）
（2,
））.
10.解：
当a＝0时，不等式的解集为
xx1
；2分
当a
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