（1）正确；a2＝a3－d∈（2,3），所以b2＝2a2>4，故
（2）正确；a4＝a3＋d>5，所以b4＝2a4>32，故（3）正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故（4）正确．
例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.
解
（1）∵an＋1＝f＝＝＝an＋，
∴{an}是以为公差的等差数列．
又a1＝1，∴an＝n＋.
（2）Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2（a1－a3）＋a4（a3－a5）＋…＋a2n（a2n－1－a2n＋1）
＝－（a2＋a4＋…＋a2n）＝－·
＝－（2n2＋3n）．
（3）当n≥2时，bn＝＝
＝，
又b1＝3＝×，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝×
＝＝，
∵Sn<对一切n∈N*成立．
即<，
又∵＝递增，
且<.∴≥，
即m≥2010.∴最小正整数m＝2010.
变式迁移2 解
（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2（a3＋2）＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.∴
解之，得或
又{an}单调递增，∴ ∴an＝2n.
（2）bn＝2n·log2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）×2n＋n×2n＋1.②
∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.
由Sn＋（n＋m）an＋1<0，
即2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0对任意正整数n恒成立，
∴m·2n＋1<2－2n＋1对任意正整数n，m<－1恒成立．
∵－1>－1，∴m≤－1，
即m的取值范围是（－∞，－1]．
例3 解 依题意，第1个月月余款为
a1＝10000（1＋20%）－10000×20%×10%－300＝11500，
第2个月月底余款为a2＝a1（1＋20%）－a1×20%×10%－300，
依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，
第n＋1个月月底的余款为an＋1元，则an＋1＝an（1＋20%）－an×20%×10%－300＝1.18an－300.
下面构造一等比数列．
设＝1.18，则an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，
∴an＋1＝1.18an＋0.18x.∴0.18x＝－300.
∴x＝－，即＝1.18.
∴数列{an－}是一个等比数列，公比为1.18，首项a1－＝11500－＝.
∴an－＝×1.18n－1，
∴a12－＝×1.1811，
∴a12＝＋×1.1811≈62396.6（元），
即到年底该职工共有资金62396.6元．
纯收入有a12－10000（1＋25%）
＝62396.6－12500＝49896.6（元）．
变式迁移3 解
（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则an＝250＋（n－1）·50＝50n＋200，
Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4750，
即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.
∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400·（1.08）n－1.
由题意可知an>0.85bn，
即50n＋200>400·（1.08）n－1·0.85.
当n＝5时，a5<0.85b5，
当n＝6时，a6>0.85b6，
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
课后练习区
1．3＋2 2.② 3.991
4．7
解析 设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴≥100，∴n≥7.
5．64
解析 依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.
6．3
解析 该题是数列知识与函数知识的综合．
an＝5·2n－2－4·n－1＝5·2－，
显然当n＝2时，an取得最小值，当n＝1时，an取得最大值，此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.
7．21
解析 y′＝（x2）′＝2x，则过点（ak，a）的切线斜率为2ak，则切线方程为y－a＝2ak（x－ak），
令y＝0，得－a＝2ak（x－ak），
∴x＝ak，即ak＋1＝ak.
故{an}是a1＝16，q＝的等比数列，
即an＝16×（）n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
8．107
解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝＝961个奇数．而2009是第1005个奇数，故应是第63行第44个数，即i＋j＝63＋44＝107.
9．解
（1）∵f
（1）＝a＝，∴f（x）＝x.…………………………………………………（1分）
a1＝f
（1）－c＝－c，
a2＝[f
（2）－c]－[f
（1）－c]＝－，
a3＝[f（3）－c]－[f
（2）－c]＝－；
又数列{an}成等比数列，a1＝＝＝－＝－c，
∴c＝1；……………………………………………………………………………………（2分）
公比q＝＝，an＝－×n－1
＝－2×n，n∈N*；……………………………………………………………………（3分）
∵Sn－Sn－1＝
＝＋（n>2），……………………………………………………………………（4分）
又bn>0，>0，∴－＝1.
数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
＝1＋（n－1）×1＝n，Sn＝n2.…………………………………………………………（6分）
当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1；
又当n＝1时，也适合上式，
∴bn＝2n－1，n∈N*.………………………………………………………………………（8分）
（2）Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝.……………………………………………（12分）
由Tn＝>，得n>，
∴满足Tn>的最小正整数为112.…………………………………………………（14分）
10．解 设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An（万元），技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn（万元）．依题意得
An＝45n－[3＋5＋…＋（2n＋1）]
＝43n－n2，………………………………………………………………………………（5分）
当n≥5时，Bn＝＋
164（n－5）－400＝81n－594，………………………………………………………（10分）
∴当n≥5时，Bn－An＝n2＋38n－594，
令n2＋38n－594>0，即（n＋19）2>955，解得n≥12，
∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………（14分）
11．
（1）解 令x＝n，y＝1，
得到f（n＋1）＝f（n）·f
（1）＝f（n），…………………………………………………………（2分）
∴{f（n）}是首项为，公比为的等比数列，
即f（n）＝（）n.………………………………………………………………………………（5分）
（2）证明 记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
∵an＝n·f（n）＝n·（）n，……………………………………………………………………（6分）
∴Sn＝＋2×（）2＋3×（）3＋…＋n×（）n，
Sn＝（）2＋2×（）3＋3×（）4＋…＋（n－1）×（）n＋n×（）n＋1，
两式相减得Sn＝＋（）2＋…＋（）n－n×（）n＋1，
整理得Sn＝2－（）n－1－n（）n<2.
∴a1＋a2＋a3＋…＋an<2.………………………………………………………………（9分）
（3）解 ∵f（n）＝（）n，而bn＝（9－n）
＝（9－n）＝.…………………………………………………………………（11分）
当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；
当n>9时，bn<0，
∴n＝8或9时，Sn取到最大值．………………………………………………………（14分）
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