第2章《二次函数》好题集0424+二次函数yax2+bx+c的图象和性质.docx
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第2章《二次函数》好题集0424+二次函数yax2+bx+c的图象和性质
第2章《二次函数》好题集（04）：
2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
选择题
61．（2009春•沭阳县月考）在函数y=x，y=
，y=x2﹣1，y=（x﹣1）2中，其图象是轴对称图形且对称轴是坐标轴的共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
填空题
62．（2008•山西）二次函数y=x2+2x﹣3的图象的对称轴是直线 ．
63．（2000•广西）抛物线y=
（x+3）2+1的对称轴是直线 ．
64．（2009•江西模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
则它的开口方向 ，对称轴为 ．
65．（2013秋•永定县校级月考）当m= 时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴；当m= 时，图象与y轴交点的纵坐标是1；当m= 时，函数的最小值是﹣2．
66．（2008秋•射阳县校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x的顶点坐标为 ．
67．（1999•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图，那么直线y=bx+c不经过第 象限．
68．（2011秋•惠山区校级期末）如图，抛物线y=ax2+c的顶点为B，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac= ．
69．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，试确定下列各式的符号：
a 0，b 0，c 0；a+b+c 0，a﹣b+c 0．
70．（2009•廊坊模拟）抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），则ab= ．
71．（2010•鸡西二模）某二次函数y=ax2+（a+c）x+c必过定点 ．
72．（2011•连云港校级模拟）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2009的值为 ．
73．（2009•嘉定区一模）函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是 ．
74．（2012•松山区校级模拟）经过点A（﹣4，5）的抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为 ．
75．（2009•鄂州）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c= ．
76．（2015秋•济南校级月考）抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L与抛物线y=（x﹣3）2+4关于原点对称，则L+k= ．
77．（2009秋•天长市期末）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为 ．
78．（2009秋•杭州校级月考）与抛物线y=﹣2x2关于x轴对称的抛物线解析式为 ．
79．（2010•江津区）已知：
在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是 ．
80．（2007•庆阳）试求f（x）=2x2﹣8x+7的极值为 ．
81．二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5时，m= ．
82．（2000•内蒙古）若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k= ．
83．已知函数①y=x2+1，②y=﹣2x2+x．函数 （填序号）有最小值，当x= 时，该函数的最小值是 ．
84．二次函数y=﹣x2+2x+3，当x= 时，y有最 值为 ．
85．（2012•中山市校级一模）函数s=2t﹣t2，当t= 时有最大值，最大值是 ．
86．函数y=
x﹣2﹣3x2有最 值为 ．
87．（2009•乐清市校级自主招生）函数y=﹣
+
的最大值为 ．
88．已知反比例函数y=
的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+
有最 值，这个值是 ．
89．（2012•和平区模拟）在二次函数y=ax2+bx+c中，若b2=ac，且当x=0时，y=﹣4，则y有最 值，且该值为 ．
90．（2014•武汉模拟）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6）．用小明掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），则小明各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=x2﹣4x+5上的概率是 ．
第2章《二次函数》好题集（04）：
2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
参考答案与试题解析
选择题
61．（2009春•沭阳县月考）在函数y=x，y=
，y=x2﹣1，y=（x﹣1）2中，其图象是轴对称图形且对称轴是坐标轴的共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用轴对称图形的概念，掌握各种函数的图象特点即可解答．
【解答】解：
①y=x是轴对称图形，对称轴是这条直线的任意一条垂线；
②y=
是轴对称图形，坐标轴是y=±x；
③y=x2﹣1是轴对称图形，对称轴是y轴；
④y=（x﹣1）2是轴对称图形，对称轴是直线x=1．
故选D．
【点评】解决本题的关键是准确掌握各种函数的图象特点．注意本题对称轴是坐标轴．
填空题
62．（2008•山西）二次函数y=x2+2x﹣3的图象的对称轴是直线 x=﹣1 ．
【分析】直接利用对称轴公式可求得对称轴．
【解答】解：
对称轴是直线x=
=﹣1，即x=﹣1．
【点评】根据二次函数的对称轴方程为x=﹣
，得x=﹣
=﹣1．
主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
63．（2000•广西）抛物线y=
（x+3）2+1的对称轴是直线 x=﹣3 ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点，直接写出对称轴．
【解答】解：
∵y=
（x+3）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，对称轴是直线x=﹣3．
【点评】将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，得顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
64．（2009•江西模拟）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
则它的开口方向 向下 ，对称轴为 x=2.5 ．
【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；然后根据抛物线左右两边函数的增减性判断出抛物线的开口方向．
【解答】解：
由抛物线过（2，6）、（3，6）两点知：
抛物线的对称轴为x=2.5；
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口方向向下．
【点评】主要考查了函数的单调性及对称性．
65．（2013秋•永定县校级月考）当m= ﹣2 时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴；当m= ﹣2 时，图象与y轴交点的纵坐标是1；当m= 4 时，函数的最小值是﹣2．
【分析】①由于对称轴是y轴即对称轴是x=0，把系数代入公式x=
得即可求出m；
②求函数与y轴的交点时，令x=0，得到y=m+3=1，由此可以求出m；
③当m＞0时函数有最小值，且最小值是：
=﹣2由此可以求出m．
【解答】解：
①∵抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴
∴x=﹣
=0
解得：
m=﹣2
当m=﹣2时，抛物线y=mx2+2（m+2）x+m+3的对称轴是y轴
②令x=0，得到y=m+3=1
∴m=﹣2
∴当m=﹣2时，图象与y轴交点的纵坐标是1
③∵函数的最小值
而最小值是：
=﹣2
解得m=4
当m=4时，函数的最小值是﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的增减性及顶点坐标、对称轴的解答方法．
66．（2008秋•射阳县校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x的顶点坐标为 （﹣1，1） ．
【分析】已知抛物线解析式为一般式，可以利用顶点坐标公式求顶点坐标，也可以用配方法求解．
【解答】解：
解法1：
利用公式法
y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（
，
），代入数值求得顶点坐标为（﹣1，1）．
解法2：
利用配方法
y=﹣x2﹣2x=﹣（x2+2x+1）+1=﹣（x+1）2+1，故顶点的坐标是（﹣1，1）．
【点评】求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
67．（1999•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图，那么直线y=bx+c不经过第 三 象限．
【分析】根据抛物线的开口向上可得：
a＞0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：
a，b异号，所以b＜0．根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：
c＞0．所以直线y=bx+c不经过第三象限．
【解答】解：
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右边，
∴a，b异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴直线y=bx+c不经过第三象限．
【点评】考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围．同时考查了一次函数图象与系数的关系．
68．（2011秋•惠山区校级期末）如图，抛物线y=ax2+c的顶点为B，O为坐标原点，四边形ABCO为正方形，则ac= ﹣2 ．
【分析】抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣
，
），代入抛物线即可解答．
【解答】解：
∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，
∴∠COB=90°，CO=BC，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，
∴C点坐标为（﹣
，
），
将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．
故答案为：
﹣2．
【点评】本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．
69．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，试确定下列各式的符号：
a ＜ 0，b ＞ 0，c ＞ 0；a+b+c ＞ 0，a﹣b+c ＜ 0．
【分析】
（1）由图象开口向下可以确定a的符号；
（2）由与y轴的交点在y轴的正半轴上可以确定c的符号；
（3）由对称轴为x=
＞0，又a＜0可以确定以b的符号；
（4）把x=1代入解析式，得a+b+c＞0，从而确定其符号；
（5）把x=﹣1代入解析式，得a﹣b+c＜0，从而确定其符号．
【解答】解：
（1）图象开口向下，a＜0；
（2）与y轴的交点在y轴的正半轴上，c＞0，
（3）对称轴为x=
＞0，
又a＜0；所以b＞0；
（4）把x=1代入解析式，得a+b+c＞0；
（5）把x=﹣1代入解析式，得a﹣b+c＜0．
故填空答案：
a＜0，b＞0，c＞0；a+b+c＞0，a﹣b+c＜0．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
70．（2009•廊坊模拟）抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），则ab= ﹣16 ．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的顶点式可以求出ab的值．
【解答】解：
二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（﹣
，
），
∵抛物线y=2x2+ax+b的顶点坐标为C（2，﹣6），
∴﹣
=2，
=﹣6；
∴a=﹣8，b=2，
∴ab=﹣8×2=﹣16．
【点评】此题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是找准各系数．
71．（2010•鸡西二模）某二次函数y=ax2+（a+c）x+c必过定点 （﹣1，0） ．
【分析】把函数式因式分解，观察x、y的取值中，与a、c无关的值，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
【解答】解：
y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），
由此可得当x=﹣1时，y=0，且与a、c取值无关．
故二次函数所过定点为（﹣1，0）．
【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：
首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．
72．（2011•连云港校级模拟）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2009的值为 ﹣2008 ．
【分析】把点（m，0）代入抛物线可得，m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，直接代入求值即可．
【解答】解：
m2﹣m﹣2009=1﹣2009=﹣2008．
【点评】主要考查了二次函数图象与x轴的交点坐标特点：
x轴上的点的纵坐标为0．求此类问题可令函数的y=0，列出关于m的等式，利用整体代入思想代入所求代数式即可．
73．（2009•嘉定区一模）函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是 （0，3） ．
【分析】令x=0，可直接求出抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：
∵抛物线与y轴交点的横坐标为0，即x=0，
∴此时x=0，y=3，
∴函数y=﹣x2+2x+3的图象与y轴的公共点坐标是（0，3）．
【点评】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点．
74．（2012•松山区校级模拟）经过点A（﹣4，5）的抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B．点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，且以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．则点N的坐标为 （2，﹣7），（﹣6，﹣7），（﹣2，9） ．
【分析】将点A（﹣4，5）代入抛物线y=﹣x2+bx+5，先求出抛物线的解析式，从而求出y轴交点B的坐标，抛物线的对称轴，再根据平行线的性质求出点N的坐标．
【解答】解：
∵点A（﹣4，5）在抛物线y=﹣x2+bx+5上，
∴5=﹣（﹣4）2﹣4b+5，解得b=﹣4．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为x=﹣2，
∵抛物线y=﹣x2+bx+5与y轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，5）．
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
而点A与点B的距离是4，
∴点N的横坐标可为2或﹣6，或点N的纵坐标可为9，
∴点N的坐标为（2，﹣7）或（﹣6，﹣7）或（﹣2，9）．
【点评】本题难度较大，考查了待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，坐标系的对称及平行四边形的性质．
75．（2009•鄂州）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2﹣3x+5，则a+b+c= 11 ．
【分析】因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2﹣3x+5，所以y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2﹣3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=11．
【解答】解：
∵y=x2﹣3x+5=（x﹣
）2+
，当y=x2﹣3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，
∴y=（x﹣
+3）2+
+2=x2+3x+7；
∴a+b+c=11．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：
左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
76．（2015秋•济南校级月考）抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L与抛物线y=（x﹣3）2+4关于原点对称，则L+k= ﹣9 ．
【分析】利用函数的性质．
【解答】解：
整理抛物线y=﹣（x﹣L）（x﹣3﹣k）+L，得：
y=﹣x2+（3+k+L）x﹣2L﹣Lk；
整理抛物线y=（x﹣3）2+4得y=x2﹣6x+13．
∵两抛物线关于原点对称，
∴y=（x﹣3）2+4关于原点对称的函数的解析式是Ly=﹣（x+3）2﹣4，即y=﹣x2﹣6x﹣13．
∴3+k+L=﹣6
那么k+L=﹣9．
故答案是：
﹣9．
【点评】解决本题的关键是理解两个函数中x，y都互为相反数，代入后让相应的系数相等．
77．（2009秋•天长市期末）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为 2 ．
【分析】求得原抛物线的顶点的横坐标及新抛物线的顶点的横坐标，a=新抛物线顶点的横坐标﹣原抛物线顶点的横坐标．
【解答】解：
y=x2+x=（x+
）2﹣
，∴顶点的横坐标为：
﹣
；
y=x2﹣3x+2=（x﹣
）2﹣
，∴顶点的横坐标为：
；
∴a=
﹣（﹣
）=2．
【点评】抛物线的平移，看顶点的平移即可；左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加．
78．（2009秋•杭州校级月考）与抛物线y=﹣2x2关于x轴对称的抛物线解析式为 y=2x2 ．
【分析】因为所求的抛物线与y=﹣2x2关于x轴对称，所以该抛物线的开口方向应向上，顶点在坐标原点．即可求得解析式为y=2x2．
【解答】解：
∵抛物线y=﹣2x2的开口向下，且顶点在坐标原点，
∴与其关于x轴对称的抛物线的开口应向上，
且顶点仍在坐标原点，形状，大小都一样，
∴解析式为y=2x2．
【点评】解答本题关键是抓住所求抛物线与原抛物线关于x轴对称特点，即可求解．
79．（2010•江津区）已知：
在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是
．
【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
【解答】解：
设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴
=
，
=（
）2，
∵S△AQD=3，∴S△DPF=
x2，
S△APE=
（3﹣x）2，
∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，
∴y=[3﹣
x2﹣
（3﹣x）2]×
=﹣
x2+x，
∵y最大值=
=
，即y最大值=
．
∴△PEF面积最大值是
．
【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质．
80．（2007•庆阳）试求f（x）=2x2﹣8x+7的极值为 ﹣1 ．
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．
【解答】解：
∵f（x）=2x2﹣8x+7可化为f（x）=2（x﹣2）2﹣1，
∴x=2时，最小值为﹣1，
则f（x）的最小值为﹣1．
故答案为：
﹣1
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
81．二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5时，m= 6 ．
【分析】直接用公式法求此二次函数的最值即可解答．
【解答】解：
由二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为5可知，
=
=5，解得m=6．
【点评】此题比较简单，直接套用求函数最值的公式即可，即y最值=
．
82．（2000•内蒙古）若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k= ﹣1 ．
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接解答．
【解答】解：
∵抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，
∴
=3，
∴k=﹣1．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
83．已知函数①y=x2+1，②y=﹣2x2+x．函数 ① （填序号）有最小值，当x= 0 时，该函数的最小值是 1 ．
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．
【解答】解：
①y=x2+1中a=1＞0，有最小值，其顶点坐标为（0，1），当x=0时，该函数的最小值是1．
②y=﹣2x2+x中a=﹣2＜0，有最大值．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
84．二次函数y=﹣x2+2x+3，当x= 1 时，y有最 大 值为 4 ．
【分析】根据公式法先求出函数的顶点坐标，再根据其二次项系数判断出最值的大小即可．
【解答】解：
∵二次函数y=﹣x2+2x+3的顶点坐标为x=﹣
=﹣
=1，
y=
=
=4，
又∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值为4．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
85．（2012•中山市校级一模）函数s=2t﹣t2，当t= 1 时有最大值，最大值是 1 ．
【分析】先根据其二次项系数判断出其最值情况，再用配方法将其化为顶点式的形式即可求解．
【解答】解：
原式可化为s=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
故当t=1时有最大值，最大值是1．
【点评】本题考查的是二次项系数与函数最值的关系及用配方法求二次函数的最值问题．
86．函数y=
x﹣2﹣3x2有最 大 值为 ﹣
．
【分析】先根据二次项系数判断出函数最值的情况，再直接用公式法法即可求解．
【解答】解：
∵函数y=
x﹣2﹣3x2中，a=﹣3＜0，
∴有最大值为
=
=﹣
，
函数y=
x﹣2﹣3x2有最大值为﹣
．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及二次函数最值的求法，即公式法与配方法．
87．（2009•乐清市校级自主招生）函数y=﹣
+
的最大值为
．
【分析】将
看作自变量，令
=v，原函数转化为关于
的二次函数，再求二次函数的最大值即可．
【解答】解：
设
=v，则原式可化为
y=﹣v2+3v
=﹣（v2﹣3v）
=﹣（v﹣
）2+
．
可得其最大值为
．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法：
第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法，此题渗透换元法．
88．已知反比例函数y=
的图象经过点P（2，2），函数y=ax+b的图象与直线y=﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y=ax2+bx+
有
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