中考数学几何最值.docx

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中考数学几何最值

中考数学————几何最值

【知识梳理】

1.常见的几何最值问题有：

线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等

2.几何最值问题的基本原理。

①两点之间线段最短②垂线段最短③利用函数关系求最值

一般处理方法：

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

构建“对称模型”实现转化

一次对称

1.如图，在锐角△ABC中，AB＝4

，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

2、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

1题图2题图3题图4题图

3.已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是

的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

4.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．

正方形中的对称变换

1、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．2

B．2

C．3D．

3.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为.

二次对称

1.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

2.如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=3

，则△PMN周长的最小值为.

1题图2题图3题图

3．如图，∠MON＝60°，点A、B为∠MON内两点，∠AOB＝30°，OA＝3，OB＝2

，C、D分别是ON、OM上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为____________．

平移与对称综合

1、如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为.

3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝4，E是BC的中点，∠AED＝135°，则AD长度的最大值为_________．

折叠

1.

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的

动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．

2.如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在

线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．

（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为；

（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.

二次函数求最值

1.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　　．

2．如图，⊙O的半径为2，直线l与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点B，连接PA，则PA－PB的最大值为____________．

动点轨迹与最值

1、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝6，点D在边AC上，且AD＝4．将线段AD绕点A旋转，点M始终为BD中点，则线段CM长度的最大值为_____________．

1题图2题图3题图

2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，BC上的动点，DE＝CF，连接AE，DF交于点P．当点E从点D运动到点C时，线段CP长的最小值为___________。

3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，则线段QC长度的最小值为____________．

旋转变换与几何最值

1、一锐角三角形,试在三角形内找一点,使该点到三顶点的距离之和最短。

2、已知：

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、定点P到等边△ABC的定点距离AP=2,BP=3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC的最大值，并证明你的结论。

4、如图，四边形ABCD内接于圆，∠D＝90°，AB＝BC，CD＝4，AC＝8，O是AC的中点．

（1）设P是AB上的动点，求OP＋PC的最小值；

（2）设Q、R分别是AB、AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．

5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（－2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．将正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，直线AE′与直线BF′相交于点P，则点P的纵坐标的最大值为___，最小值为__．

6、如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台Q，求铺设公路AP、DP以及PQ的长度之和的最小值为多少米？

7．△ABC中，BC＝a，AC＝b．如图1，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，则当∠ACB＝___°时，C、D两点的距离最大，最大值为______；如图2，以AB为边向△ABC外作正方形ABDE，则当∠ACB＝__________°时，点C到正方形ABDE的中心O的距离最大，最大值为_____________．

【中考几何最值类问题欣赏】

1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意

一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为

＋1时，求正方形的边长．

2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设

，则k=；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：

BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点求线段CF长度的最大值．

【思维发散】

1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，过点A作AH⊥EF于H，则AH的长的最大值为____________

1题图2题图

2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为____________．

3题图4题图

3．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△AMN的面积的最小值为_____________．

4．如图，直线PA与⊙O交于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠PAE，CD⊥PA于D．若DA＋DC＝4，则⊙O半径的最小值为____________．

5．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2

，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为___________．

6．如图，AB是半圆O的直径，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，点P是半圆上一动点．已知AB＝2，AC＝1，BD＝3，则封闭图形ABDPC面积的最大值为___________．

5题图6题图