版高中数学第三章概率32古典概型学案.docx

版高中数学第三章概率32古典概型学案.docx

《版高中数学第三章概率32古典概型学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学第三章概率32古典概型学案.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版高中数学第三章概率32古典概型学案

3.2　古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.（难点）

2.会用列举法求古典概型的概率.（重点）

3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率.（难点）

[基础·初探]

教材整理1　古典概型

阅读教材P102～P103“例1”以上部分，完成下列问题.

1.古典概型

（1）古典概型的概念：

同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：

①有限性：

在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；

②等可能性：

每个基本事件发生的可能性是均等的.

（2）概率的古典定义：

在基本事件总数为n的古典概型中，

①每个基本事件发生的概率为

；

②如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝

，所以在古典概型中P（A）＝

，这一定义称为概率的古典定义.

1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.（　　）

（2）“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.（　　）

（3）从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.（　　）

（4）一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是

.（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）

A.

B.

　　　C.

　　　D.

【解析】　基本事件有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：

P＝

＝

.

【答案】　C

教材整理2　概率的一般加法公式（选学）

阅读教材P106～P107，完成下列问题.

1.事件A与B的交（或积）：

由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交（或积），记作D＝A∩B（或D＝AB）.

2.设A，B是Ω的两个事件，则有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），这就是概率的一般加法公式.

已知A，B是两个事件，且P（A∪B）＝0.2，P（A）＝P（B）＝0.3，则P（AB）＝________.

【解析】　由概率的一般加法公式P（AB）＝－P（A∪B）＋P（A）＋P（B）＝0.3＋0.3－0.2＝0.4.

【答案】　0.4

[小组合作型]

基本事件和古典概型的判断

（1）抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是（　　）

A.向上的点数是奇数

B.向上的点数是3

C.向上的点数是4

D.向上的点数是6

（2）下列是古典概型的是（　　）

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止

【精彩点拨】　结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.

【尝试解答】　

（1）向上的点数是奇数包含三个基本事件：

向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件.故选A.

（2）A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.

【答案】　

（1）A　

（2）C

1.基本事件具有以下特点：

①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生.

2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.

[再练一题]

1.下列试验是古典概型的为________.

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

【解析】　①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.

【答案】　①②④

基本事件的计数问题

　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：

用（x，y）表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出下列事件所包含的全部基本事件：

（1）试验的基本事件；

（2）事件“朝下点数之和大于3”；

（3）事件“朝下点数相等”；

（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.

【精彩点拨】　根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可.

【尝试解答】　

（1）这个试验的基本事件为：

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）.

（2）事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）.

（3）事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：

（1,1），（2,2），（3,3），（4,4）.

（4）事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：

（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（2,3），（3,2），（3,3），（3,4），（4,3），（4,4）.

1.在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写.

2.确定基本事件是否与顺序有关.

3.写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法.

[再练一题]

2.列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数（不考虑先后顺序）.

（1）从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；

（2）从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验.

【导学号：

00732087】

【解】　

（1）从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件.

分别是（a，b），（a，c），（b，c）共3个.

（2）从袋中取两个球的等可能结果为：

球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，

球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，

球3和球5，球4和球5.

故共有10个基本事件.

简单的古典概型的概率计算

　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.

（1）写出所有不同的结果；

（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；

（3）求至少摸出1个黑球的概率.

【精彩点拨】　

（1）可以利用初中学过的树状图写出；

（2）找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；（3）找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出.

【尝试解答】　

（1）用树状图表示所有的结果为：

所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，

所以P（A）＝

＝0.6，

即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.

（3）记“至少摸出1个黑球”为事件B，

则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，

所以P（B）＝

＝0.7，

即至少摸出1个黑球的概率为0.7.

1.求古典概型概率的计算步骤：

（1）确定基本事件的总数n；

（2）确定事件A包含的基本事件的个数m；

（3）计算事件A的概率P（A）＝

.

2.解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：

一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率.

[再练一题]

3.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：

（1）三次颜色恰有两次同色；

（2）三次颜色全相同；（3）三次摸到的红球多于白球.

【解】　所有的基本事件个数n＝8个.全集I＝{（红，红，红），（红，红，白），（红，白，红），（白，红，红），（红，白，白），（白，红，白），（白，白，红），（白，白，白）}.

（1）记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.

∵A中含有基本事件个数为m＝6，

∴P（A）＝

＝

＝0.75.

（2）记事件B为“三次颜色全相同”.

∵B中含基本事件个数为m＝2，

∴P（B）＝

＝

＝0.25.

（3）记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.

∵C中含有基本事件个数为m＝4，

∴P（C）＝

＝0.5.

概率的一般加法公式（选学）

　甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.

【精彩点拨】　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解.

【尝试解答】　设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P（A）＝

，P（B）＝

.记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为（x，y），共有12种等可能结果：

（1,2），（1,3），（1,4），（2,1）（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3）.

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：

（1,4），

故P（A∩B）＝

.

所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝

＋

－

＝

.

概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：

1在公式PA∪B＝PA＋PB中，事件A、B是互斥事件；

2在公式PA∪B＝PA＋PB－PA∩B中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.

[再练一题]

4.在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P（A），P（B），P（A∪B）.

【解】　P（A）＝40%＝0.4，P（B）＝50%＝0.5，

又已知P（A∩B）＝30%＝0.3，

∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.

[探究共研型]

基本事件的特征

探究1　为什么说基本事件是彼此互斥的？

【提示】　基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述.在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述.

探究2　基本事件的表示方法有哪些？

【提示】　写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏.

古典概型的特征

探究3　古典概型有何特点？

何为非古典概型？

【提示】　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：

有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型：

（1）基本事件个数有限，但非等可能；

（2）基本事件个数无限，但等可能；

（3）基本事件个数无限，也不等可能.

探究4　举例说明古典概型的概率与模型选择无关？

【提示】　以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝

＝

；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝

.

　先后抛掷两枚大小相同的骰子.

（1）求点数之和出现7点的概率；

（2）求出现两个4点的概率；

（3）求点数之和能被3整除的概率.

【精彩点拨】　明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况.

【尝试解答】　如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种.

（1）记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：

（6,1），（5,2），（4,3），（3,4），（2,5），（1,6）.故P（A）＝

＝

.

（2）记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即（4,4）.故P（B）＝

.

（3）记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：

（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（3,6），（6,3），（4,5），（5,4），（6,6）.故P（C）＝

＝

.

1.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的基本事件个数.

2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.

[再练一题]

5.同时抛掷两颗大小完全相同的骰子，求：

（1）点数之和是4的倍数的概率；

（2）点数之和大于5小于10的概率.

【解】　如图，基本事件共有36种.

（1）记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：

（1,3），（2,2），（2,6），（3,1），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），（6,6），所以P（A）＝

.

（2）记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个.即（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2），（3,6），（4,5），（5,4），（6,3）.所以P（B）＝

.

1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是（　　）

A.3B.4　　　　C.5　　　　D.6

【解析】　事件A包含的基本事件有6个：

（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3,1）.

【答案】　D

2.下列关于古典概型的说法中正确的是（　　）

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P（A）＝

.

A.②④B.①③④C.①④D.③④

【解析】　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确.

【答案】　B

3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为（　　）

A.

B.

C.

D.1

【解析】　从甲、乙、丙三人中任选两人有：

（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝

.

【答案】　C

4.据报道：

2015年我国高校毕业生为749万人，创历史新高，就业压力进一步加大.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________.

【解析】　记事件A：

甲或乙被录用.从五人中录用三人，基本事件有（甲，乙，丙）、（甲，乙，丁）、（甲，乙，戊）、（甲，丙，丁）、（甲，丙，戊）、（甲，丁，戊）、（乙，丙，丁）、（乙，丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10种可能，而A的对立事件

仅有（丙，丁，戊）一种可能，∴A的对立事件

的概率为P（

）＝

，

∴P（A）＝1－P（

）＝

.

【答案】　

5.一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，先后随机地抽取两个小球，如果：

（1）小球是不放回的；

（2）小球是有放回的.

分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.

【解】　先后随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），（6,7），（7,8），（8,9），（9,10），（2,1），（3,2），（4,3），（5,4），（6,5），（7,6），（8,7），（9,8），（10,9）共18种.

（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果（x，y），共有可能结果90种.

因此，事件A的概率是

＝

＝

.

（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果（x，y），则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种.

因此，事件A的概率是

＝

.