整式教学纲要.docx

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整式教学纲要

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整式专题主干知识本专题知识在教材中的地位、作用及要求整式模块学法分析教学建议教学中应注意的问题考点分析

一、整式专题主干知识

1、本专题在教材中的分布

本专题涉及七、八两个年级三章内容

七年级上册第三章整式及其加减

七年级下册第一章整式的运算

八年级下册第二章分解因式

2、本专题主干知识

字母表示数，代数式，列代数式，代数式的实际背景及几何意义，求代数式的值，探索规律和探索规律的一般方法；单项式、多项式、整式的概念，单项式的系数和次数，多项式的项数、次数；同类项，合并同类项的方法，去括号和添括号方法及法则，整式的加、减运算及法则；同底数幂的乘法，同底数幂的除法除，幂的乘方，积的乘方；整式的乘法，单项式乘单项式法则及运算，单项式乘多项式法则及运算，多项式乘多项式法则及运算；平方差公式、完全平方公式及应用完全平方差公式、完全平方公式进行整式的化解计算；多项式除以单项式法则及运算。

分解因式的定义，分解因式与整式乘法的互逆关系，公因式的概念，提公因式法分解因式，运用公式（平方差公式、完全平方公式）法分解因式。

3、本专题知识结构图

二、本专题知识在教材中的地位、作用及要求

（一）、本专题知识在教材中的地位和作用

“整式”，属于《全日制义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域。

整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。

整式部分的主要内容是在学习了有理数的基础上引入字母表示数，实现由数到式的飞跃。

继而介绍代数式、代数式的值，整式，单项式，多项式及其相关概念，合并同类项的法则，以及去括号（与添括号）的法则，最后这些法则应用于整式的加减乘除。

教材均从实际问题入手，结合学生已有的生活经验与已有知识基础，提出问题，引导学生用字母表示数，实现学生的思维由数到式的飞跃，并应用类比思想探索数量关系及其规律，初步学会表示数量关系的代数工具，并用于解决简单问题的方法。

整式部分内容是整个初中数学“数与代数内容中关于”代数学习的重要基础，也是整个中学阶段“代数”内容的重要基础，掌握好这部分内容对于今后学习分式、方程、不定式、函数等有着重要作用，也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具。

（二）课标考纲对本专题的要求

1、课标要求

（1）代数式

①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。

②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。

③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。

④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。

（2）整式

①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。

②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。

③会推导乘法公式：

（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。

④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

2、考标要求

具体内容与考试要求细目表

具体内容

知识技能要求

过程性要求

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）

（2）

（3）

代数式

用字母表示数，列代数式表示简单的数量关系

√

代数式的实际背景与几何意义

√

简单公式变形

√

求代数式的值

√

整式

整式指数幂及其性质

√

科学计数法

√

整式的概念（整数、单项式、多项式）

√

整式的加、减、乘（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）

√

乘法公式：

的推导

√

乘法公式：

的几何背景

√

乘法公式：

的计算

√

因式分解的定义

√

提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）的因式分解

√

（三）课标考纲解读（教学应达到的要求）

1、知识与技能目标

（1）能用字母表示数，理解字母表示数的意义，了解代数式的意义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感，在具体情景中，会列出代数式且能求出代数式的值。

（2）、使学生理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，掌握单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念。

（2）、使学生会进行整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算，并灵活运用运算律和乘法公式简单运算。

（3）、掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及多项式乘多项式的法则、乘法公式（平方差公式和完全平方公式），及进行乘法运算。

（4）、探索规律：

探索运用符号表示数字规律、图形规律的方法；提高观察图形、探索规律的能力，培养创新意识。

探索规律的一般方法：

一、从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；二、由此及彼，合理联想，大胆猜想；三、善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；四、总结规律，得出结论，并验证结论正确与否；五、在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，达到事半功倍的效果。

（5）、理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，及了解因式分解的一般步骤。

2、过程与方法目标

•

（1）、能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程（如探索规律、探索平方差公式、完全平方公式等），使学生初步掌握探索规律的一般方法，培养符号感和推理能力。

•

（2）、转化思想的体现，如整式的减法运算转化为加法运算，单项式的乘法转化为同底数相乘，单项式乘多项式转化为单项式乘法，多项式乘多项式转化为单项式乘多项式再转化为单项式乘法。

•（3）、整式乘法、乘法公式、因式分解的几何意义，体现数形结合思想。

•（4）、通过体会幂的意义，探究幂的乘方的运算法则的过程，及各种运算算理等，发展推理能力和有条理的表达能力。

•（5）、探究同底数幂的除法法则、整式除法法则、因式分解的意义等，培养学生的探究能力、逆向思维能力。

•（6）、本模块中应体现培养学生怎样的思维品质和形成怎样的解决问题的策略。

3、情感态度与价值观目标

•

（1）、在教学过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。

•

（2）、在教学过程中探索知识间的联系，能通过猜想获得成功，享受成功的喜悦，培养学生的兴趣和信心。

•（3）、“杨辉三角”的阅读，不但可以使学生了解一些二项式展开式的系数规律，还可以增强数学修养和爱国情怀。

4、重点、难点

•

（1）、重点

•①、整式的加、减、乘、除法则，乘法公式，及运算。

•②、理解同底数幂、乘方的法则。

•③、平方差公式和完全平方公式的推导和应用。

•④、理解因式分解概念，掌握提取公因式法、运用公式法及一般步骤。

•⑤探索规律的一般方法

•

（2）、难点

•①理解和判断单项式、多项式的次数。

•②探索规律的一般方法

•③利用整式的加、减、乘、除解决实际问题。

•④理解平方差公式、完全平方公式的结构特征及字母的广泛含义，得以灵活应用。

•⑤添括号（或去括号）法则的理解及应用。

•⑥因式分解的理论多，方法多，变化技巧高。

三、整式模块学法分析

初一上第三章《字母表示数》学法分析

1、《字母表示数》是初中数学中数与代数部分的重要内容.用字母表示数，可以把数和数量关系简明地表示出来，这是代数的一个重要特点.通过学习用字母表示数，学生可以学到很多有现实意义的、感兴趣的探索活动，并可以用自然语言、表格及代数式三种形式来表示问题，也可以通过代数式的求值进行比较和推理问题等.

本节课是从小学的算术过渡到代数的第一节课，我们通过丰富的问题情境

和探索性的活动，探索事物间的关系或变化规律，然后用符号来表示.在学习的过程中，要鼓励学生运用自己的方法解决问题，并用自己熟悉的语言来表述自己的方法以及探索出的规律，在探索的过程中体会表示一般规律的必要性.

2、《代数式》本节课的重点内容是：

让学生结合具体的情境理解字母表示数的意义，进一步理解列代数式的必要性以及代数式的现实背景或几何意义.在学习过程中可以通过多种途径收集生活中的许多经验公式，在感受数学与生活或其他学科的密切关系的同时，初步建立数学模型的思想.

3、本节课的重点内容是：

让学生结合具体的情境理解字母表示数的意义，进一步理解列代数式的必要性以及代数式的现实背景或几何意义.在学习过程中可以通过多种途径收集生活中的许多经验公式，在感受数学与生活或其他学科的密切关系的同时，初步建立数学模型的思想.

4、本节课的主要内容是会求代数式的值，要求学生在学习的过程中能将字母的值准确地带入代数式，并在学习的过程中感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法。

观察推断代数式所反映的规律。

5、合并同类项：

本节分二课时：

合并同类项

（一）作为本节的第一个课时，起到了承上启下的关键作用。

本节课的目标是在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感，初步了解项、系数的概念，为学生在本节的第二课时学会识别同类项、合并同类项做好了充分的准备。

对于整式（单项式、多项式）及其运算的学习，本书采取了螺旋上升的方式。

在以后的学习中，学生还将学习整式及其运算，因此在本课时中教师不宜补充整式及其运算的内容，也不宜做超过本书习题难度或复杂程度的练习。

在小学，学生曾初步接触过用字母表示数的问题，在本章第一、二课学生进一步在具体情境中体会到了代数式的意义。

对于本课出现的列代数式、项及系数的概念学生应能较快完成和掌握，适时开展一些数学活动可以更有效地利用课堂时间，逐步培养观察、比较、分类的数学思想。

合并同类项

（二）合并同类项是这一章中的重要内容，熟练掌握合并同类项的法则是解决问题的关键，如果对合并同类项的法则理解不透彻就会出现计算错误。

在学习合并同类项时首先要学生理解同类项的概念，弄清代数式中的系数、项等概念，会在较为复杂的代数式中找出同类项。

理解合并同类项实质就是对乘法分配律的逆用。

在具体的计算过程中养成用不同的记号标识不同类别的同类项，防止漏项。

巧记合并同类项的法则

将合并同类项的法则编成歌诀：

同类项、同类项，两个条件不能忘：

字母要相同，指数要一样；合并同类项，合并法则不能忘：

只求系数和，字母、指数不变样。

指出以下合并同类项中出现的错误并改正：

（1）-5ab+5ab=ab

（2）7a+3a=10a2（3）5a2-3a2=2（4）-3x2-8x-5x2+6x=-3x2+5x2-8x+6x=2x2-14x

6、《去括号》去括号是这一章的重点内容，也是后续学习的基础，所以必须熟练掌握。

在有理数的运算中，我们一般先算括号里面的，但在代数式的化简过程中，括号里面往往不能合并同类项，所以应先去括号，才能合并同类项。

我们把去括号的法则编拟成儿歌，便于记忆，当然最重要的还是理解去括号的依据是乘法的分配律。

去括号、去括号，符号变换最重要，括号前面是正号，里面各项保留好；括号前面是负号，里面各项全变号。

7、探索规律

（一）探索规律内容的学习意在培养学生探索与发现规律的能力，以及用符号表示规律的能力，体会符号表示的意义，也为学生后续学习代数推理做准备。

需要说明的是，就具体要求而言，在初中，一旦发现并表示出了某一规律，并不像高中研究数列通项一样研究这个规律本身的特征，只是做到发现规律，会用字母表示这一规律即可。

（二）本节内容是北师大版数学教材七年级上册第三章《字母表示数》的最后一节——“6.探索规律”的第二课时，它既是对全章知识的复习巩固，也是对全章知识的综合运用。

在本节课前，学生在《字母能表示什么》与《去括号》等节的学习中，已经初步地进行了对简单图形规律的探索，也得到了从不同角度分析问题方法的训练。

再加上上一课时学生对生活中熟悉的日历及其简单图形的规律的探索，在学生的头脑中已经基本形成了探索规律的方法和技巧，这些均为本节课的顺利完成做好了铺垫。

本节课的学习内容都是现实生活和数学计算中常见的、而且是学生熟知的，规律的发现也相对比较容易，学生完全可以通过“做数学”开展独立探索或小组合作学习完成学习任务。

本节内容具有较强的趣味性、挑战性和探索性，因此是一节极好的培养学生数学兴趣和爱好的数学活动课，更是一节培养学生学会研究数学问题的探究课。

教材以学生熟知的生活中摆放桌椅问题为情境，设置问题串，为学生提供了充分的探索规律的活动，让学生在经历符号化的过程后，进一步体会用字母表示数和用代数式表示规律的含义和方法，进一步体会“从特殊到一般、再到特殊”的辩证思想。

通过“摆放桌椅”问题给他们提供探索的机会并让他们尝试到探索成功的快乐，以此来激发学生探索规律的兴趣，增强他们的学习信心，培养他们的学习热情。

另外，教材还为学生设置了“探索简单数列的变化规律”的内容，让学生进一步掌握“探索数量关系，运用符号表示规律，通过验算验证规律”的方法和技能。

并通过“摆放桌椅”和“简单数列”问题的对照来培养学生从生活中发现数学问题的意识和用数学方法解决生活问题的能力。

初一下第二章《整式的运算》学法分析

1、依通常的理解，学习单项式、多项式的定义，就是先把单项式、多项式的定义告诉给学生，然后举一些例子让学生判断哪些是单项式、哪些是多项式，甚至还举出一些类似“2x-x是单项式还是多项式”的问题，引起学生之间的辩论，以期学生能够准确地掌握概念。

北师大版教材，不但没有大量引进这方面的例题，反而创设情境，讨论射进房间阳光部分的面积问题。

首先，对单项式、多项式的定义，教材采用了描述性的方法，并没有严格定义。

在这一阶段，学生能够基本掌握单项式、多项式的特点就可以了。

随着学习的进一步深入，学生会逐渐形成自己的判断。

所以，对于类似单项式、多项式这样的概念，教材一贯本着“淡化形式、注重实质”的做法，不做形式上的讨论。

其次，代数式是表示的工具，代数式能够把一类问题中的数量关系一般性地表示出来。

我们学习代数式，就一定要懂得和会用代数式去表示，因此教材花时间创设情境，让学生在用代数式表示或代数式应用过程中理解代数式的意义、理解整式的意义。

这不但没有冲淡主题、冲淡数学，而恰恰是突出了代数式的本质，力图使学生学习最有价值的数学。

2、整式的加减：

代数式运算通常是繁琐而又乏味的，学生也通常不知道为什么要进行代数式运算。

教材在引入代数式运算法则时，创设问题情境，一方面让学生感受到代数式的运算是有意义的，是解决问题的需要；另一方面又使学生在解决问题中思考、类比、归纳运算法则，感受运算法则的合理性，从而帮助记忆。

如“两位数的加法问题”“试验田面积表示问题”等。

因此，创设问题情境，没有冲淡主题、没有冲淡数学，而是突出了代数式运算的意义、突出了学生对代数式运算法则的理解，是从“让学生自己去建构知识的意义”的角度出发的。

在整式的加减运算中，要注意以下几方面的问题。

⑴正确理解整式的有关概念，比如单项式的系数。

⑵明确进行整式加减运算的实质，即去括号、合并同类项。

⑶熟练掌握去括号与合并同类项法则。

去括号是前提，合并同类项是重点，也是难点。

合并同类项是整式加减的知识基础，整式的加减主要是通过合并同类项把整式化简。

熟练进行合并同类项，必须抓好三个关键环节的教学：

首先要使学生掌握同类项的概念，会辨别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；其次，要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了简化；最后，要使学生明确“合并”是指同类项的系数的合并，字母和字母的指数都不变。

3、左边两个幂的底数相同，而且是相乘的关系；右边所得到的一个幂，底数仍不变，指数相加。

可见，这一性质由乘法运算降为加法运算（指数相加）。

对于这一性质，不仅要记住结论，更重要的是掌握结论导出过程。

因为这个推导过程体现了“由特殊到一般的数学思想方法”。

掌握这一方法对于学好数学（当然也包括其他学科）是非常重要的。

4、整式乘法

理解和运用单项式与单项式相乘的法则时应注意哪几点？

（1）积的系数等于各因式系数的积，应该特别注意符号的确定；

（2）相同字母相乘是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；

（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里；

（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

（5）单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

理解和运用单项式与多项式相乘的法则时应注意哪几点？

（1）多项式的每一项都包含它前面的符号；

（2）单项式必须和多项式的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项；

（3）对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算，还要注意运算顺序，运算

顺序中如有同类项，要合并同类项。

理解和运用多项式与多项式相乘的法则时应注意哪几点？

（1）多项式与多项式相乘，要防止漏项；

（2）由于运算量较大，书写繁杂，所以应特别注意符号问题，多项式的每一项都包含它前面的符号；

（3）多项式乘以多项式，仍得多项式；

（4）最后的结果应合并所有的同类项。

5、整式的除法

学好整式乘除的关键是掌握单项式的乘除，因为其他的乘除都要化到单项式的乘除上来，单项式乘除实际上是幂的运算与有理数运算的紧密结合，一定要全面、深刻地理解这部分知识，并通过练习加以感受和掌握。

要想正确、熟练地进行单项式的乘除运算，必须正确理解乘除法则，而不应只是死记硬背法则的内容，因此，学习单项式的乘除运算需要注意以下问题。

（1）．积、商的系数等于算式中各单项式系数的积或商，这属于有理数的乘除法，应先确定符号，先计算绝对值。

（2）．只在一个单项式因式或被除式里含有的字母，要连同它的指数写在积或商里，作为积或商的一个因式，切不可丢掉。

（3）．单项式乘除法法则对于三个以上的单项式的乘除法同样适用。

（4）．单项式相乘或相除的结果仍是单项式。

（5）、多项式除以单项式运算的基本思路是：

把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，即先把多项式各项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加；

（6）多项式除以单项式，相除后所得的商仍是多项式，且项数与原多项式的项数相同。

这也是检验是否漏除的方法之一。

例如计算：

注意：

不要把“+1”这一项漏掉。

八年级下第二章因式分解学法分析

2.1因式分解

本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。

基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：

类比思想，逆向运算能力等。

2.2提公因式法

一、确定公因式的方法

用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：

1、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；

2、公因式系数是各项系数的最大公约数；

3、公因式中的字母是各项都含有的字母；

4、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；

5、若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；

6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出．

提公因式法

提出公因式时易出现的错误

1、提公因式时丢项

分解因式：

错解：

=2ab（2a–3b）

错误原因：

误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略．

正解：

=2ab（2a–3b+1）

2、提公因式时不完全提取

分解因式：

6（a–b）2–12（a–b）

错解：

6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）

错误原因：

没有按提取公因式的规则找出公因式：

即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积．

正解：

6（a–b）2–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）

3、提取公因式后，有同类项不合并

分解因式：

x（x+y）2–x（x+y）（x–y）

错解：

x（x+y）2–x（x+y）（x–y）=x（x+y）[（x+y）–（x–y）]

错误原因：

分解因式时，能合并同类项而没有合并，造成分解不彻底．

正解：

x（x+y）2–x（x+y）（x–y）=x（x+y）[（x+y）–（x–y）]=x（x+y）（x+y–x+y）=2xy（x+y）

4、运用公式法

本节是因式分解的第3小节，它主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系。

学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式、完全平方公式这为今天的深入学习提供了必要的基础．通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。

平方差公式分解因式学法指导

1、能用平方差公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成两部分，每部分可以是单项式，也可以是多项式；

（2）两部分符号相反；

（3）每部分都是完全平方式（数）．

2、能用完全平方公式分解因式的多项式的特点

（1）在提取公因式以后的多项式一般可写成三部分；

（2）其中有两部分是完全平方式（数）且它们的符号相同；

（3）另外一部分是这两个平方式（数）底数积的两倍，可以为正，也可以为负．

用公式法分解因式时易出现的错误

1、有公因式但不提取

分解因式：

错解：

=（6x–3）2

错误原因：

分解时没有首先考虑提取公因式，故分解不彻底．

正解：

=9（4x2–4x+1）=9（2x–1）2

2、乱套公式

分解因式：

9a2–4b2

错解：

9a2–4b2=（3a–2b）2

错误原因：

将平方差公式与两数差的完全平方公式混为一谈，而出现张冠李戴的现象．

正解：

9a2–4b2=（3a+2b）（3a–2b）

3、顾此失彼

分解因式：

–3m2n+6mn–3n

错解：

–3m2n+6mn–3n=3n（–m2+2m–1）

错误原因：

首项中的负号没有提出，造成分解不彻底．

正解：

–3m2n+6mn–3n=–3n（m2–2m+1）=–3n（m–1）2

4、乱去分母

分解因式：

错解：

=

=

错误原因：

将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆．

正解：

=

（

）=

四、教学建议

1、把握好教学要求

本模块要求学生会进行简单的整式的加、减、乘、除运算，。

会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背