高中数学人教A版选修12演绎推理.docx

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高中数学人教A版选修12演绎推理

2.1.2　演绎推理

学习目标：

1.理解演绎推理的含义．（重点）2.掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．（重点、易混点）

[自主预习·探新知]

1．演绎推理

（1）含义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

（2）特点：

演绎推理是由一般到特殊的推理．

2．三段论

一般模式

常用格式

大前提

已知的一般原理

M是P

小前提

所研究的特殊情况

S是M

结论

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

S是P

思考：

如何分清大前提、小前提和结论？

[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）“三段论”就是演绎推理．（　　）

（2）演绎推理的结论是一定正确的．（　　）

（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（　　）

（4）演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是（　　）

A．正方形的对角线相等

B．矩形的对角线相等

C．等腰梯形的对角线相等

D．矩形的对边平行且相等

B　[得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]

3．三段论：

“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________（填序号）．

③　[在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．]

4．下列几种推理过程是演绎推理的是________．

①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．

①　[①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．]

[合作探究·攻重难]

演绎推理与三段论

（1）下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（　　）

A．大前提：

无限不循环小数是无理数；小前提：

π是无理数；结论：

π是无限不循环小数

B．大前提：

无限不循环小数是无理数；小前提：

π是无限不循环小数；结论：

π是无理数

C．大前提：

π是无限不循环小数；小前提：

无限不循环小数是无理数；结论：

π是无理数

D．大前提：

π是无限不循环小数；小前提：

π是无理数；结论：

无限不循环小数是无理数

（2）将下列推理写成“三段论”的形式：

①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；

②0.33

是有理数；

③y＝sinx（x∈R）是周期函数.

（1）[解析]　对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．

[答案]　B

（2）[解]　①大前提：

向量是既有大小又有方向的量．

小前提：

零向量是向量．

结论：

零向量也有大小和方向．

②大前提：

所有的循环小数都是有理数．

小前提：

0.33

是循环小数．

结论：

0.33

是有理数．

③大前提：

三角函数是周期函数．

小前提：

y＝sinx（x∈R）是三角函数．

结论：

y＝sinx（x∈R）是周期函数．

[规律方法]　把演绎推理写成“三段论”的一般方法：

（1）用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.

（2）在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

[跟踪训练]

1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的．

小前提　[f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，故小前提错误．]

2．将下列演绎推理写成三段论的形式．

①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；

②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；

③通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

[解]　①大前提：

平行四边形的对角线互相平分，小前提：

菱形是平行四边形，

结论：

菱形的对角线互相平分．

②大前提：

等腰三角形的两底角相等，

小前提：

∠A，∠B是等腰三角形的底角，

结论：

∠A＝∠B.

③大前提：

数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，

小前提：

通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2（n－1）＋3]＝2（常数），

结论：

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．

用三段论证明几何问题

　如图2111所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：

DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.

2111

[解]　

（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）

∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）

所以DF∥AE.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE∥BA且DF∥EA，（小前提）

所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）

所以DE＝AF.（结论）

[规律方法]　

1．用“三段论”证明命题的格式

××××××　　（大前提）

××××××　　（小前提）

××××××　　（结论）

2．用“三段论”证明命题的步骤

①理清楚证明命题的一般思路；

②找出每一个结论得出的原因；

③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．

[跟踪训练]

3．如图2112所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：

EF∥平面BCD.

图2112

[证明]　三角形的中位线平行于底面，大前提

点E、F分别是AB、AD的中点，小前提

所以EF∥BD.结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，

则这条直线与此平面平行，大前提

EF

平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

EF∥平面BCD.结论

用三段论证明代数问题

[探究问题]

1．数的大小比较常见方法有哪些？

提示：

作差法、作比法、函数性质法（单调性、奇偶性等）、图象法、中间量法（常取0或1作为媒介）等．

2．证明函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的依据是什么？

试以函数单调性给予说明．

提示：

证明函数性质（单调性、奇偶性、周期性）的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理。

如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．

3．判断数列是等差（等比）数列的依据是什么？

提示：

判断数列是等差（等比）数列的依据是等差（等比）数列的定义．

（1）设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　）

A．2x<3y<5z　　　B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

（2）已知函数f（x）＝ax＋

（a>1），证明：

函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数.

思路探究：

（1）借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；

（2）利用函数的单调性或导数法求解．

（1）[解析]　法一：

取对数：

xln2＝yln3＝zln5，

＝

>

，∴2x>3y；

xln2＝zln5则

＝

<

，∴2x<5z，

∴3y<2x<5z，故选D.

法二：

令2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.

∴

＝

·

＝

>1，则2x>3y

＝

·

＝

<1，则2x<5z，故选D.

[答案]　D

（2）[解]　法一：

（定义法）任取x1，x2∈（－1，＋∞），

且x1

则f（x2）－f（x1）

＝ax2＋

－ax1－

＝ax2－ax1＋

－

＝ax1（ax2－x1－1）＋

＝ax1（ax2－x1－1）＋

.

因为x2－x1>0，且a>1，

所以ax2－x1>1，

而－1

所以x1＋1>0，x2＋1>0，

所以f（x2）－f（x1）>0，

所以f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．

法二：

（导数法）f（x）＝ax＋

＝ax＋1－

.

所以f′（x）＝axlna＋

.

因为x>－1，所以（x＋1）2>0，

所以

>0.

又因为a>1，所以lna>0，ax>0，

所以axlna>0.所以f′（x）>0.

于是得f（x）＝ax＋

在（－1，＋∞）上是增函数．]

母题探究：

1.（变条件）把本例

（1）的条件变换如下：

已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的关系是（　　）

A．成等差数列但不成等比数列

B．成等差数列且成等比数列

C．成等比数列但不成等差数列

D．不成等比数列也不成等差数列

[解析]　由条件可知a＝log23，

b＝log26，c＝log212.

因为a＋c＝log23＋log212

＝log236＝2log26＝2b，

所以a，b，c成等差数列．

又因为ac＝log23log212≠（log26）2＝b2，

所以a，b，c不成等比数列．故选A.

[答案]　A

2．（变条件）把本例

（2）的函数换成“y＝

”，求证：

函数y＝

是奇函数，且在定义域上是增函数．

[证明]　y＝

＝1－

，

所以f（x）的定义域为R.

f（－x）＋f（x）＝

＋

＝2－

＝2－

＝2－

＝2－2＝0.

即f（－x）＝－f（x），

所以f（x）是奇函数．

任取x1，x2∈R，且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝2

＝2·

.

由于x1

所以f（x1）

[规律方法]　五类代数问题中的三段论

（1）函数类问题：

比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.

（2）导数的应用：

利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.

（3）三角函数问题：

利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.

（4）数列问题：

数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.

（5）不等式类问题：

如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.

[当堂达标·固双基]

1．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为（　　）

A．合情推理　　　　B．归纳推理

C．类比推理D．演绎推理

D　[本题的推理模式是三段论，故该推理是演绎推理．]

2．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是（　　）

A．①　　B．②　　C．①②　　D．③

A　[根据三段论的定义，①为大前提，③为小前