初中数学的知识点.docx
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初中数学的知识点
数学应知应会知识点
2.1 代数篇
一 数与式
（一）有理数
1 有理数的分类
2 数轴的定义与应用
3 相反数
4 倒数
5 绝对值
6 有理数的大小比较
7 有理数的运算
（二）实数
8 实数的分类
9 实数的运算
10 科学记数法
11 近似数与有效数字
12 平方根与算术根和立方根
13 非负数
14 零指数次幂 负指数次幂
（三）代数式
15 代数式 代数式的值
16 列代数式
（四）整式
17 整式的分类
18 整式的加减 乘除的运算
19 幂的有关运算性质
20 乘法公式
21 因式分解
（五）分式
22 分式的定义
23 分式的基本性质
24 分式的运算
（六）二次根式
25 二次根式的意义
26 根式的基本性质
27 根式的运算
二 方程和不等式
（一）一元一次方程
28 方程 方程的解的有关定义
29 一元一次的定义
30 一元一次方程的解法
31 列方程解应用题的一般步骤
（二）二元一次方程
32 二元一次方程的定义
33 二元一次方程组的定义
34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）
35 二元一次方程组的应用
（三）一元二次方程
36 一元二次方程的定义
37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法）
38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式
39 一元二次方程的应用
（四）分式方程
40 分式方程的定义
41 分式方程的解法（转化为整式方程 检验）
42 分式方程的增根的定义
43 分式方程的应用
（五）不等式和不等式组
44 不等式（组）的有关定义
45 不等式的基本性质
46 一元一次不等式的解法
47 一元一次不等式组的解法
48 一元一次不等式（组）的应用
三 函数
（一）位置的确定与平面直角坐标系
49 位置的确定
50 坐标变换
51 平面直角坐标系内点的特征
52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置
53 对称问题：
P（x,y）→Q（x,-y）关于x轴对称
P（x,y）→Q（-x,y）关于y轴对称
P（x,y）→Q（-x,-y）关于原点对称
54 变量 自变量 因变量 函数的定义
55 函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）
56 函数的图象：
变量的变化趋势描述
（二）一次函数与正比例函数
57 一次函数的定义与正比例函数的定义
58 一次函数的图象：
直线，画法
59 一次函数的性质（增减性）
60 一次函数y=kx+b（k≠0）中k b符号与图象位置
61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）
62 一次函数的平移问题
63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象法）
64 一次函数的实际应用
65 一次函数的综合应用
（1）一次函数与方程综合
（2）一次函数与其它函数综合
（3）一次函数与不等式的综合
（4）一次函数与几何综合
（三）反比例函数
66 反比例函数的定义
67 反比例函数解析式的确定
68 反比例函数的图象：
双曲线
69 反比例函数的性质（增减性质）
70 反比例函数的实际应用
71 反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）
（四）二次函数
72 二次函数的定义
73 二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）
74 二次函数解析式的确定（待定系数法）
75 二次函数的图象：
抛物线 画法（五点法）
76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）
77 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a b c △与特殊式子的符号与图象位置关系
78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值
79 二次函数的交点问题
80 二次函数的对称问题
81 二次函数的最值问题（实际应用）
82 二次函数的平移问题
83 二次函数的实际应用
84 二次函数的综合应用
（1）二次函数与方程综合
（2）二次函数与其它函数综合
（3）二次函数与不等式的综合
（4）二次函数与几何综合
代数部分
第一章有理数及其运算
1有理数及其运算
11自然数
零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位
除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作自然数的单位
自然数的全体：
0,1,2,3,4,…,n…,叫做自然数的集合,简称自然数集
能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数
12有理数的运算
1加法:
求和的运算叫做加法
2减法:
减法是加法的逆运算
3乘法:
同一个自然数的连加运算,就叫做乘法
4除法:
除法是乘法的逆运算,零不能做除数
13有理数的运算性质
用字母表示任一个有理数,来说明对于任何有理数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律
1加法交换律:
a+b=b+a
2加法结合律:
（a+b）+c=a+（b+c）
3乘法交换律:
a·b=b·a
4乘法对加法的分配律:
（a+b）·c=a·c+b·c
5加法结合律:
（a·b）·c=a·（b·c）
6自然数0和1的运算特征
14乘法运算及指数运算律
求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算
a^n中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果a^n叫做幂（读作“a的n次幂”或“a的n次方”）
零的n次方总等于零,1的n次方总等于1
同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加
指数运算律
（一）
同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即a^m·a^n=a^（m+n）,
指数运算律
（二）
乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即（a·b）^n=a^n·b^n
指数运算律（三）
幂的乘方,指数相乘,底数不变,即（a^m）^n=a^（mn）
指数运算律（四）
同底数幂相除,指数相减,底数不变,即a^m/a^n=a^（m-n）其中m>n,a!
=0
两个同底数（不为0）、同指数的幂相除,其商等于1a^0=1（a!
=0）
分数的意义与特点
a/b·b=（a·1/b）·b=（b·1/b）·a=1·a=a
a/b=am/bm（m!
=0）
a/b=（a/b）/（b/n）（n!
=0）
分数有一个重要的基本性质：
一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变
22分数的运算及运算律
加、减法
a/b（+,-）c/d=ad/bd（+,-）bc/bd=（ad（+,-）bc）/bd
乘法
a/b·c/d=ac/bd
除法
（a/b）/（c/d）=（a/b）·（d/c）=ad/bc
乘方
（a/b）^m=（a/b）·（a/b）…（a/b）{m个括号}=（a^m）/（b^m）
分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b
3有理数的意义
31相反意义的量
在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消
32正数和负数、相反数
带有正号的数叫做正数（“+”号也可省略不写）;
带有负号的数叫做负数
负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消
数零,既不是正数,也不是负数
对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数
零的相反数,仍是零
33有理数、数轴
整数包括正整数、负数和零
分数包括正分数、负分数
整数和分数,统称为有理数
全体有理数组成的集合,称为有理数集合
全体整数组成的集合,称为整数集合
全体自然数组成自然数集合
有理数可以用一条直线上的点来表示
规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴
对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它
正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限
互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示
34绝对值
一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
零的绝对值是零
4有理数的运算
41有理数的加法与减法
加法
符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号
两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号
减法减法是加法的逆运算
减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数
在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的
42代数和
含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”
去括号法则：
去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号
添括号法则：
紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号
43有理数的乘法与除法
乘法
异号（一负一正）两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负
两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正
乘法法则：
将绝对值相乘,积的符号是：
同号得正,异号得负
当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;
只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零
除法
除法法则：
将绝对值相除,商的符号是：
同号相除得正,异号相除得负
零除以任一个非零有理数,其商仍为零
零不能作除数
任一个非零有理数x,除1所得的商1/x,叫做这个数x的倒数
非零有理数x与1/x互为倒数,其特征性质是x·1/x=1
零没有倒数
除以一个非零有理数,就等于诚意这个数的倒数a/b=a·1/b=a/b
44有理数的乘方
非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：
正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号
零的非零次都0;零的零次方没有意义
45有理数的混合运算
先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算
46近似数和有效数字
与实际相符的数,叫做准确数
与实际接近的数,叫近似数
一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字
5有理数的基本性质
51有理数运算的“通性”
1加、减、乘（乘方）、除运算的封闭性
任意两个有理数的和、差、积、商（0不作除数）都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法（除数不为0）、减法都不封闭;在整数范围内,除法（除数不为0）也不封闭
2加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律
（1）加法的交换律、结合律
对于有理数a、b、c来说
a+b=b+a;（a+b）+c=a+（b+c）
（2）乘法的交换律、结合律
对于有理数a、b、c来说,
a·b=b·a;（a·b）·c=a·（b·c）
（3）乘法对于加法的分配律
对于有理数a、b、c来说
a·（b+c）=a·b+a·c
3加、减法运算,乘、除运算的统一
（1）加、减运算的统一
任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得（-a）+a=a+（-a）=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+（-b）
（2）乘、除运算的统一
任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b·1/b=1/b·b=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a·1/b（b!
=
0）
4数0与1的特性
对于任意有理数a来说,
a+0=0+a=a;a·0=0·a=0;a·1=1·a=a
5乘方运算满足指数运算律
52有理数的大小顺序
负数<零<正数
a-b>0,a>b;
a-b=0,a=b;
a-b<0,a负数小于0,0小于正数,负数小于正数;
两个整数比较时,绝对值大的数较大;
两个负数比较时,绝对值大的数反而较小
负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列
在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数
53等式与不等式的基本性质
1等式
用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式
无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式
在某些条件下,才能成为真实的等式,叫做条件等式
根本不能成立的等式,叫矛盾等式
等式有以下基本性质：
1）等式的两边可以对调
2）等式的关系可以传递
3）等式的两边,可以加上（或减去）同一个数
4）等式的两边,可以乘以（或除以非零的）同一个数
2不等式
用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式
1）如果A>B,那么B2）如果A>B,B>C,那么A3）如果A>B,那么A（+,-）m>B（+,-）m
4）如果A>B,且m>0,那么Am>Bm
5）如果A>B,且m<0,那么Am第二章一次方程（组）与一次不等式（组）
1算术解法与代数解法
11两种解法的分析、对比
12未知数和方程
用字母x、y、…等,表示所要求的数量,这些字母称为“未知数”
用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子,叫做代数式
含有未知数的等式,叫做方程
在一个方程中,所含未知数,又称为元;
被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项。
在一项中,数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数
某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数
不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,因此常数项也称为零次项
13方程的解与解方程的根据
未知数应取的值是指：
把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成一个恒等式
能使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根
求方程解的过程,叫做解方程
解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”
可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来,合并在一起——这叫做合并同类项
把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是“移项变号”
把方程两边各同除以未知数的系数（或同乘以系数的倒数）,就得到未知数应取的值
综上所述,得到解方程的方法、步骤：
去括号、移项变号、合并同类项,使方程化为最简形式ax=b（a≠0）、除以未知数的系数,得出x=b/a（a≠0）
2一元一次方程
只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:
ax+b=0（a≠0,a、b是常数）
22一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
1去分母（或化为整系数）;
2去括号;
3移项变号;
4合并同类项,化为ax=-b（a≠0）的形式;
5方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a
3一次方程组
31二元一次方程
含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程
能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一次方程的一个解
任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为不定方程
32方程组与方程组的解
把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组
由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元一次方程组
能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解
33二元一次方程组的解法
求方程组的解的过程,叫做解方程组
设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法
叫做加减消元法,简称加减法
原方程组是矛盾方程组,无解
34三元一次方程组及其解法
含有三个未知数的三元一次方程组
4解应用问题
5一元一次不等式（组）
51一元一次方程式
在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不
等式
能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,简称为这个不等式的解集
求不等式的解集的过程,叫做解不等式
52一元一次不等式的解法
53一元一次不等式组
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集
54一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的一般步骤是：
1先求出不等式组里各个不等式的解集;
2在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集
第三章一元二次方程
1平方与平方根
11面积与平方
（1）任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和
（2）任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍
任意两个有理数的和（或差）的平方,等于这两个数的平方和,再加上（或减去）这两个数乘积的2倍
12平方根
1正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;
2零只有一个平方根,它就是零本身;
3负数没有平方根
14实数
无限不循环小数叫做无理数
有理数和无理数统称为实数
2平方根的运算
21算术平方根的性质
性质1一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身
性质2一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
22算术平方根的乘、除运算
1算术平方根的乘法
sqrt（a）·sqrt（b）=sqrt（ab）（a>=0,b>=0）
2算术平方根的除法
sqrt（a）/sqrt（b）=sqrt（a/b）（a>=0,b>0）
通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化
（1）被开方数的每个因数的指数都小于2;
（2）被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根
23算术平方根的加、减运算
如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根
3一元二次方程及其解法
31一元二次方程
只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程
32特殊的一元二次方程的解法
33一般的一元二次方程的解法——配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式
2移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式
3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数
4有平方根的定义,可知
（1）当p^2/4-q>0时,原方程有两个实数根;
（2）当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根（二重根）;
（3）当p^2/4-q<0,原方程无实根
34一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的求根公式:
当b^2-4ac>=0时,x1,2=（-b（+,-）sqrt（b^2-4ac））/2a
35一元二次方程根的判别式
方程ax^2+bx+c=0（a≠0）
当△=b^2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;
当△=b^2-4ac=0时,有两个相等的实数根;
当△=b^2-4ac<0时,没有实数根
36一元二次方程的根与系数的关系
以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x^2-（x1+x2）x+x1·x2=0
4解应用问题
第四章多项式的四则运算
1单项式与多项式
仅含有一些数和字母的乘法（包括乘方）运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式
单项式中的数字因数叫做这个单项式（或字母因数）的数字系数,简称系数
当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项
12多项式
有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式
多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项
单项式可以看作是多项式的特例
把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变
在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数
13多项式的值
任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子
14多项式的恒等
对于两个一元多项式f（x）、g（x）来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f（a）=g（a）,那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f（x）==g（x）,或简记为f（x）=g（x）
性质1如果f（x）==g（x）,那么,对于任一个数值a,都有f（a）=g（a）
性质2如果f（x）==g（x）,那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等
15一元多项式的根
一般地,能够使多项式f（x）的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f（x）的根
2多项式的加、减法,乘法
21多项式的加、减法
22多项式的乘法
单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指数作为积的一个因式
3多项式的乘法
多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加
23常用乘法公式
公式I平方差公式
（a+b）（a-b）=a^2-b^2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
公式II完全平方公式
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2
（a-b）^2=a^2-2ab+b^2
两数（或两式）和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们积的2倍
3单项式的除法
两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式
一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
第五章因式分解
1因式分解
11因式
如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式（即该多项式）就叫做质因式
12因式分解
把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解
1提取公因式法
2运用公式法
3分组分解法
4十字相乘法
24根与系数的关系
如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c（a不等于）0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
第六章分式与二次根式
1分式与分式方程
11指数的扩充
12分式和分式的基本性质
分母中含有未知数的分数为分式
分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变
13分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式
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