探索多边形内角和初中数学第三册教案八年级数学教案.docx

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探索多边形内角和初中数学第三册教案八年级数学教案

探索多边形内角和——初中数学第三册教案_八年级数学教案

教案

柳州市第十二中学

课题

探索多边形内角和

教学目标

知识目标

1.探索多边形内角和定义、公式

2.正多边形定义

能力目标

1.发展学生的合情推理意识、主动探索的习惯

2.发展学生的说理能力和简单的推理意识及能力

德育目标

培养用多边形美花生活的意识

教学重点

多边形内角和公式的推导

学难点

多边形内角和公式的简单运用

教学方法

探索、讨论、启发、讲授

教学手段

利用学生剪纸、投影仪进行教学

教学过程：

一、引入：

1、出示多媒体投影片或出示事物图：

正方形石英钟、五边形（广场图）、六变形螺母、八边形。

2、给出多边形概念：

多边形的顶点、边、内角和、对角线及其有关概念。

二、多边形内角和公式：

1、三角形的内角和是多少度？

任意四边形的内角和是多少度？

怎样得到的？

那么五边形的内角和怎样求呢？

要求学生剪纸或画图找出五边形可剪成多少个三角形求内角和？

六边形可怎样剪成三角形？

n边形呢？

2、学生讨论：

在剪纸及画图活动中充分的探索、交流、体会，先独立思考，然后小组讨论、交流，发表不同见解。

探索五边形内角和的不同方法：

（学生可能得出如图一、图二、图三中的不同方法）

（1）量出每个内角度数然后相加为540°；

（2）从五边形的任一顶点出发，连结不相邻的两个顶点，将五边形分割成三个三角形，得出五边形内角和为540°（如图一）；

（3）在五边形内任取一点，连结各顶点，将五边形分割成五个三角形，得出五边形内角和为5×180°-360°=540°（如图二）；

（4）从五边形任意一边上取一点，连接不相邻的顶点，将五边形分割成四个三角形内角和为4×180°-180°=540°（如图三）；

（5）六边形可怎样剪成三角形求内角和？

n边形呢？

（6）总结规律：

多边形内角和为（n-2）×180°（n≥3）。

3、议一议：

（1）过四边形一个顶点的对角线把四边形分成两个三角形；

（2）过五边形一个顶点的对角线把五边形分成（ ）个三角形；

（3）过六边形一个顶点的对角线把六边形分成（ ）个三角形。

（4）过n边形一个顶点的对角线把n边形分成（ ）个三角形；

二、正多边形定义：

1、 出示课本第109页想一想图：

（思考，图中的多边形各是几边形，它们的边和角有什么特点）

2、多边形定义：

在平面内，内角都相等，边也相等的多边形是正多边形。

3、填表：

正多边形的边数

3

4

5

6

8

…

n

正多边形的内角和

180°

360°

540°

720°

1080°

…

正多边形每个内角的度数

60°

90°

108°

120°

135°

…

四、小结：

主要表扬本节课同学们很善于思考，对所学知识应用得很好，做得好的小组及他们做得好的地方。

五、布置作业：

课本P110、习题4、10 第1、2、3题。

附：

选用随堂练习：

1、一个多边形的每个内角都是140º，它是（  ）边形？

2、过四边形一顶点的对角线把它分成两个三角形，过五边形一个顶点的对角线把它分成（      ）个三角形。

3、过六边形的一个顶点的对角线把它分成（      ）个三角形，过n边形的一个顶点的对角线把n边形分成（     ）个三角形。

4、一个多边形的每个内角都是140°，这个多边形是（      ）边形。

5、如果一个多边形的边数增加1，那么这时它的内角和增加了（     ）度。

6、下列角能成为一个多边形的内角和的是（      ）

A、270°      B、560°      C、1800°      D、1900°

思考题：

如图

（1），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于多少度？

F

E

C

B

A

G

如图

（2），求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G等于多少

F

E

D

A

B

C

图

（1）                                 图

（2）D

教学建议　　知识结构

　　重难点分析

　　本节课的重点是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算及分母有理化。

它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性，提高性综合学习；二次根式的运算和有理化的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。

　　本节课的难点是把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。

分母有理化，实际上二次根式的除法与混合运算的综合运用。

分母有理化的过程，一般地，先确定分母的有理化因式，然后再根据分式的基本性质把分子、分母都乘以这个有理化因式，就可使分母有理化。

所以对初学者来说，这一过程容易出现找错有理化因式和计算出错的问题。

　　教法建议

　　1.在知识的引入上，可采取复习引入方式，比如复习有理数的混合运算或整式的运算。

　　2.在二次根式的加减、乘法混合运算中，要注意由浅入深的层次安排，从单项式与多项式相乘、多项式与多项式到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式。

　　3.在有理化因式教学中，要多出几组题目从不同角度要求学生辨别，并及时总结。

　　学生特点：

实验班的A层学生（数学实施分层教学）,主动学习积极性高，基础扎实，思维活跃,,并具有一定的独立分析问题,探索问题,归纳概括问题的能力,有较好的思考、质疑的习惯。

　　教材特点：

本节课是在学习了二次根式的三个重要概念（最简二次根式、同类二次根式、分母有理化）和二次根式的有关运算（二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法）基础上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。

　　鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“互动式”的课堂教学模式及“谈话式”的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。

具体说明如下：

（一）在师生互动方面，教师注重问题设计，注重引导、点拨及提高性总结。

使学生学中有思、思中有获。

如本节课开始，出示书中例题1：

　　让学生先进行思考，解答。

然后同学说出怎样进行二次根式的混合运算。

　　强调：

运算顺序及运算律和有理数相同。

（二）在学生与学生的互动上，教师注重活动设计，使学生学中有乐，乐中悟道。

教师设计一组题目，让学生以竞赛的形式解答，然后以记成绩的方法让其它同学说出优点（简便方法及灵活之处）与错误。

由于本节课主要以计算为主，对运算法则及规律性的基础知识，学生很容易掌握而且从意识上认为本节课太简单，不会很感兴趣，所以为了提高学生的学习兴趣及更好的抓好基础，提高学生的运算能力，如此这般设计。

　　（三）在个体与群体的互动方式上，教师注重合作设计，使学生学中有辩，辩中求同。

如本节课中对重点问题：

“分母有理化”的教学，出示一个题目，让学生思考，找个别学生说出自己的想法，然后其它同学补充完成。

　　学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动。

正是在这一教育思想的指导下，追求学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动。

互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振。

　　对二次根式混合运算新课引入的建议

　　复习：

　　1.计算：

（1）；　

（2）.

　　解：

（1）　　

（2）

　　　　=　　　　　　=

　　　　=；　　　　　　=.

　　2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么？

多项式与多项式的乘法法则是什么？

什么是完全平方式？

分别用式子表示出来。

　　答：

单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

用式子表示为

　　　　　m（a+b+c）=ma+mb+mc

　　多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。

用式子表示为

　　　　（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn,

　　其中a,b,m,n都是单项式。

　　完全平方式是

　　　　；。

　　在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。

引入新课。

　　对二次根式混合运算学法的建议

　　在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有的时候，加上团式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的．因此，在本节学习时，可以适当结合11．1节的内容，复习一下在实数范围内分解因式的问题，如

　　这里再顺便提一下，如

　　这种变形不是原来意义上的因式分解，否则就无法进行到底了．可以说是借助因式分解的方法，或具体说成提出，等等．

一、教学目标

　　1．掌握二次根式的混合运算．

　　2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

　　3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

　　4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

　　二、教学设计

　　小结、归纳、提高

　　三、重点、难点解决办法

　　1．教学重点：

二次根式的混合运算．

　　2．教学难点：

混合运算的应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

　　2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

　　3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么？

又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算．

（二）整体感知

　　二次根式的混合运算中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

　　（－）教学过程

　　【复习】

　　运算律在二次根式混合运算中仍适用．

　　各种整式乘法的法则．

　乘法公式：

．

　　．

　　提问：

加法的交换律、结合律各是怎样的？

乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

　　强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

　　【例题】

　　例1　计算：

（1）；

（2）．

　　解：

略．

　　注：

①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如，没有对先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算，通过约分达到化简的目的．

　　例2　计算：

（1）；

（2）；

　　（3）．

　　解：

略．

　　注：

①由学生观察算式，找出特征：

两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

　　②复习乘法公式，可选做几个小题．如，等．

　　例3　计算：

（1）；

（2）．

　　解：

略．

　　③引入有理化因式的概念

　　例如，与，与．

　　注：

互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

　　可适当再举例说明，如与，与、与，但与就不是互为有理化因式．

（二）随堂练习

　　计算：

（1）；　　　　　

（2）；

　　（3）；　　（4）；

　　（5）；　（6）；

　　（7）；　　（8）；

　　（9）．

　　解：

（1）．

（2）

　　　．

　　（3）

　　　．

　　（4）

　　　．

　　（5）

　　　．

　　（6）

　　 　．

　　（7）．

　　（8）

　　　．

　　（9）

　　　．

　　（三）总结、扩展

　　对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

　　有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

　　练习：

教材P198中1、2；教材P199中3．

　　（四）布置作业

　　教材P204中1、2、3．

　　（五）板书设计

标   题

　1．复习内容　　　　　　　例3……

　2．例题　　　　　　　　　3．有理化因式

　　　　例1……　　　　　　　4．练习题

　　　　例2……

一、教学目标　　1.掌握等腰梯形的判定方法.

　　2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．

　　3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想

　　二、教法设计

　　小组讨论，引导发现、练习巩固

　　三、重点、难点

　　1．教学重点：

等腰梯形判定．

　　2．教学难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体，小黑板，常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的判定，归纳小结梯形转化的常见的辅助线

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？

　　2．等腰梯形有哪些性质？

它的性质定理是怎样证明的？

　　3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？

常用的辅助线有哪几种？

　　我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？

今天我们就共同来研究这个问题．

　　【引人新课】

　　等腰梯形判定定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

　　前面我们用等腰三角形的定理证明了等腰梯形的性质定理，现在我们也可以用等腰三角形的判定定理来证明等腰梯形的判定定理．

　　例1已知：

如图，在梯形中，，，求证：

．

　　分析：

我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，定理就容易证明了．

　　（引导学生口述证明方法，然后利用投影仪出示三种证明方法）

（1）如图，过点作、，交于，得，所以得．

　　又由得，因此可得．

（2）作高、，通过证推出．

　　（3）分别延长、交于点，则与都是等腰三角形，所以可得．

　　（证明过程略）．

　　例3 求证：

对角线相等的梯形是等腰梯形．

　　已知：

如图，在梯形中，，．

　　求证：

．

　　分析：

证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．

　　在和中，已有两边对应相等，别人要能证，就可通过证得到．

　　（引导学生说出证明思路，教师板书证明过程）

　　证明：

过点作，交延长线于，得，

　　∴．

　　∵，∴

　　∴

　　∵， ∴

　　又∵、，∴

　　∴．

　　说明：

如果、交于点，那么由可得，，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．

　　例4 画一等腰梯形，使它上、下底长分别5cm，高为4cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

　　分析：

如图，先算出长，可画等腰三角形，然后完成的画图．

　　画法：

①画，使．

　　.

　　②延长到使.

　　③分别过、作，，、交于点．

　　四边形就是所求的等腰梯形．

　　解：

梯形周长．

　　答：

梯形周长为26cm，面积为．

　　【总结、扩展】

　　小结：

（由学生总结）

　　（l）等腰梯形的判定方法：

①先判定它是梯形②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．

（2）梯形的画图：

一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，最后得到所求图形．（三角形奠基法）

　　八、布置作业

　　l．已知：

如图，梯形中，，、分别为、中点，且，求证：

梯形为等腰梯形．

　　九、板书设计

　　十、随堂练习

　　教材P177中l；P179中B组2

一：

教学目标

1：

认识并能画出平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

2：

经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识。

二：

教学重点

能画出平面直角坐标系；会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

三：

教学难点

  能能建立平面直角坐标系；求出点的坐标，由点的位置写出它的坐标。

四：

教学时间

  三课时

五：

教学过程

第一课时

一）引入新课

1：

要在平面内确定一个地点的位置需要几个数据？

2：

练习如图 你能确定各个景点的位置吗？

“大成殿”在“中心广场”西、南各多少个格？

“碑林”在“中心广场”东、北各多少个格？

二）新课

1：

我们可以以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右和向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，你能表示出“碑林”的位置吗？

“大成殿”的位置吗？

（学生回答，老师小结）

2：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

（通常两条数轴成水平位置与铅直位置，取向上或向右为正方向，水平位置的数轴叫横轴，铅直位置的数轴叫纵轴，它们的公共原点叫直角坐标系的原点。

）

3：

两条坐标轴把平面分成四部分：

右上部分叫第一象限，其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。

4：

怎样求平面内点的坐标？

对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。

例1写出多边形ABCDEF各顶点的坐标

                                               y

                                       A        B

                                      F   O      Cx

                                       E        D

5：

想一想

（1）      点A与B的纵坐标相同，线段AB的位置有什么特点？

（2）      线段DB的位置有什么特点？

（3）      坐标轴上点的坐标有什么特点？

6：

练习P131 做一做

三：

小结

（1）怎样画平面直角坐标系？

（2）怎样求平面内点的坐标？

（4）      知道点的坐标怎样描出点？

四：

作业P132

第二课时

一：

复习

1） 怎样画平面直角坐标系？

（学生练习画平面直角坐标系）

（2）      怎样求平面内点的坐标？

                                                y

                                            A

                                           B   C

                                               O      x

已知等边三角形的边长为2cm，求出各顶点的坐标？

（3）      道点的坐标怎样描出点？

二：

新课

  例 在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来。

（1）（-6，5），（-10，3），（-9，3），（-3，3），（-2，3），（-6，5）

（2）-9，3），（-9，0），（-3，0），（-3，3）

（3）（3.5,9）,（2,7）,（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）

（4）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）

（5）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）

观察所得的图形，你觉得它像什么？

                                     y

                                  O                       x

三：

练习 P134做一做

  四：

作业 P135习题5.4（1、2）

第三课时

一；新课引入与复习

1） 怎样画平面直角坐标系？

画平面直角坐标系时应注意些什么？

2）怎样求平面内点的坐标？

（对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。

）

二：

新课

 例3如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4。

建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

                                                y

                                               B                A

 解：

如图：

以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在

直线为x轴y轴，建立直角坐标系。

此时C（0,0）

                                               O

                                             C              Dx

 由CD长为6，CB长为4，可得D，B，A的坐标分别为D（6，0），B（0，4），A（，4）

思考：

（还可以建立直角坐标系吗？

与同学交流）

例4对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

                                            A

                                         B