三角函数的化简求值.docx
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三角函数的化简求值
三角函数的化简求值
本周教学内容：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
3．辅助角公式、降次公式：
（其中
，
，
，
）
4．正、余弦定理及三角形面积公式：
设△ABC内角A，B，C对边依次为a，b，c，△ABC外接圆半径为R，则
，
，
，
本周教学目标：
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．能正确运用三角变形公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
3．掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
本周教学重点：
1．三角公式在三角函数式的化简、求值及证明中的作用。
①变名：
通过同角三角关系式、诱导公式、三角变形公式，达到统一三角式名称的目的。
②变角：
通过诱导公式和、差、倍公式，达到统一三角式中角的形式。
③变运算：
用三角式变形公式改变三角式的运算，以达化简目的。
2．三角式变形的依据与条件
①注意条件与结论中角的差别与联系：
如
，
等，将条件中角的形式表示为结论中角的形式。
②注意条件与结论中名的差别与联系：
将条件与结论中三角式化同名，或将等式两边化同名。
③注意条件与结论中三角式运算形式的差别与联系，统一它们的运算形式。
④三角恒等式是在有意义条件下的恒等关系，三角变形可能会改变角的取值范围。
对三角函数式变形，
需先确定其定义域，以确保变形前后是同一函数。
本周教学例题：
1．求下列三角式的值
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：
（1）解法一：
解法二：
解法三：
利用
得
代入
解法四：
利用对偶关系。
设
∴
∴
∴
（
）
∴
（2）
（3）
（4）
2．在所给条件下求下列三角式的值。
（1）已知
，
，求
的值；
（2）已知函数
的图象经过点
，
，P为常数，
求
的值；
（3）已知
，
，求
的值；
（4）已知
，
，
，求
的值。
解析：
（1）
（2）将
，
代入解析式
得
，
∴
，
是
的两个根
∴
，
∴
∴
（3）由已知
∴
由
，平方得
∴
∵
，
∴
由
∴
∴
（4）由已知
，
∴
由
，
∴
∴
3．在△ABC中证明下列恒等式
（1）
（2）
（3）
证明：
（1）
（2）
（3）
4．△ABC中，角B、C对边长b、c是方程
的两个根，A=60°
（1）求a边长；
（2）求
；
（3）求△ABC内切圆的面积；
（4）求角A平分线的长。
解析：
（1）由条件知b+c=18，b·c=60，A=60°
∴
∴a=12
（2）由
∴
，
∴
（3）设△ABC内切圆的半径为r
∴
∴
△ABC内切圆面积为3π。
（4）设△ABC内角A平分线交BC边于点D
由
∴
，
5．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且
，
（1）求角B大小；
（2）若
，a+c=4，求a的值。
解析：
（1）解法一：
由
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
解法二：
由
，
∴
整理得
∴
∴
（2）由
∴
整理得
解得
或
。
本周练习
1．
等于（）
A．2 B．
C．4 D．
2．
，则
=（）
A．
B．
C．
D．
3．
时，函数
的最小值是（）
A．2 B．
C．4 D．
4．在△ABC中，
，给出以下四个命题：
①
②
③
④
其中正确命题是（）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
5．函数
的最小正周期是（）
A．
B．π C．2π D．4π
6．已知
，
为锐角，且
，则
=____________。
7．△ABC中角A，B，C对边a，b，c依次成等差，B=30°，
，则边长b=____________。
8．函数
的最大值是____________。
9．在△ABC中，已知
，则△ABC的形状一定是____________。
10．△ABC中，
，则边长a，b，c所成数列是____________。
参考答案：
1．C2．A3．C4．B5．A
6．1
7．
8．
9．等腰三角形
10．等差数列
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