6平面图形及其位置关系.docx

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6平面图形及其位置关系

平面图形及其位置关系

角的比较

一、相关的知识链接：

１．角的比较两种常用方法：

度量法和重叠法．

２．角的和、差定义．注意边的重合和边在角的内外关系．

３．角的平分线定义及相关的三个等式．

如图１所示，ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线，则有以下等式：

（１）∠ＡＯＣ+∠ＣＯＢ＝∠ＡＯＢ．

（２）∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＣ＝２∠ＣＯＢ．

（３）∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＢ．

图１

此外一个角还有三等分线、四等分线、……、ｎ等分线；同样也可以得出等量关系式．

４．余角、补角以及邻补角的定义、性质．

（１）定义：

若∠α＋∠β＝９０°，则∠α与∠β互余；反之，亦然．

若∠α＋∠β＝１８０°，则∠α与∠β互补；反之，亦然．

若∠α＋∠β＝１８０°且∠α与∠β有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线，则∠α与∠β互邻补；反之，亦然．

注意：

要弄清补角以及邻补角的区别与联系．

（２）性质：

①同角（或等角）的余角相等．

②同角（或等角）的补角相等．

５．方位角的定义．图２

如图２所示：

正北或正南方向与目标方向线所成的小于９０°的角叫方位角．常用“北偏东（西）××度”，“南偏东（西）××度”；如图２，ＯＢ?

目标方向线?

表示北偏东３０°．另外规定北偏东４５°简称为东北方向，南偏西简称为西南方向．

二、综合应用：

例１已知如图３所示：

ＡＢ为一条直线，ＯＣ平分∠ＡＯＤ，∠ＣＯＥ＝８０°，ＯＥ在∠ＢＯＤ的内部且∠ＢＯＤ＝３∠ＣＯＤ，求∠ＢＯＥ的度数．

图３

分析：

由角的倍分关系可设∠ＣＯＤ＝ｘ，则

∠ＢＯＤ＝３ｘ；再由角平分线的定义可知∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＤ＝ｘ，最后利用∠ＡＯＢ是平角，可建立方程：

ｘ＋ｘ＋３ｘ＝１８０°，解得ｘ＝３６°；因此∠ＢＯＣ＝４ｘ＝１４４°，∠ＢＯＥ＝１４４°－８０°＝６４°．

说明：

涉及到角的倍分关系时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等），一般通过设未知数，建立方程进行解决．

例２已知一个角的补角的２倍减去这个角的余角恰好等于这个角的４倍，求这个角的度数．

分析：

充分利用余角、补角的定义，去表示一个角的余角和补角，根据已知角的倍分关系建立方程．

解：

设所求的角为ｘ度，则这个角的补角为１８０°－ｘ°，余角为９０°－ｘ°；则所列方程为：

２（１８０－ｘ）－（９０－ｘ）＝４ｘ．解得：

ｘ＝５４°．

答：

这个角的度数为５４°．

说明：

同样根据设未知数，建立方程进行求解，因此方程的思想是一种重要的数学思想，要引起高度的重视．

例３张三看李四的方向是南偏西５５°，那么李四看张三的方向为＿＿＿＿＿＿＿＿．

分析：

由题意画出图形：

张三看李四的方向是南偏西５５°，是以张三为中心画出“十”字叉，标出东、南、西、北，则李四在张三的南偏西５５°的方向上；李四看张三的方向是以李四为中心画出“十”字叉，标出东、南、西、北，再看张三在李四的北偏东５５°的方向上．

三、小结：

在解决角与角之间的关系时，通常是以数据来衡量；在计算角的大小时，通常是以方程来解决；它们是数形结合的思想和方程的思想，这两种思想在数学中举足轻重，要好好灵活运用．

平行

一、基本概念与性质：

1、在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。

如图直线AB平行于直线CD，记作AB∥CD。

平行线永不相交。

2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

二、例题分析：

例题1：

作图并填空．

（1）作∠BAC=90°．

（2）在∠BAC的一边AC上，依次截取AE=1厘米，EF=2厘米．

（3）过E作EP∥AB，过F作FG∥AB．

由作图填空．

因为EP∥______，FG∥______，（作图）

所以______∥______．（   ）

2．判断以下说法是否正确．

（1）两条不相交的直线叫做平行线；

（2）过直线l外一点有直线与l平行；

（3）直线l平行于l1，则直线l1平行于直线l；

（4）如果三条直线a，b，c中a∥b，a∥c，则b与c的关系不能确定．

3．任意画一个梯形ABCD，在它两腰分别找出中点M，N，连结MN，观察MN与两底的位置关系．

4．任意画三角形ABC，找出AB，BC，AC三边的中点E，F，G，连结EF，FG，EG，观察它们与各边的关系．

垂直

一、基本概念及性质

1、

2、垂线性质

　　①：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

　　②：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

　　简单说成：

垂线段最短。

　　③点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

二、例题分析：

1、如下图，∠B=90°，过B分别作AB，BC，CA的垂线．

2、如下图，过B点作AC的垂线，过A点作BC的垂线，过C点作AB的垂线．

3，如下图，过P点作AB，BC，CD和DA的垂线．

平面图形及其位置关系

一、判断题

1.射线没有端点.（）

2.平角是一条直线.（）

3.延长线段AB到C，使BC=AB.（）

4.射线AB与射线BA表示同一条射线.（）

5.过一点有且只有一条直线与已知直线平行.（）

6.垂直于同一直线的两直线互相垂直.（）

7.平行于同一直线的两直线互相平行.（）

8.大于90°的角是钝角.（）

二、选择题

1.两个锐角的和（）

A.一定是锐角B.一定是直角

C.一定是钝角D.可能是钝角、直角或钝角

2.平角上有三点A、B、C，如果AB=8，AC=5，BC=3，则（）

A.点C在线段AB上

B.点C在线段AB的延长线上

C.点C在直线AB外

D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外

3.如图，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a,BC=b.则线段AD的长是（）

A、2（a－b）B、2a－b

C、a+bD、a－b

4.已知∠AOB=30°，∠BOC=80°，∠AOC=50°，那么（）

A、射线OB在∠AOC内

B、射线OB在∠AOC外

C、射线OB与射线OA重合

D、

射线OB与射线OC重合

5.如图所示，∠1=15°，∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）

A、75°B、15°C、105°D、165°

6.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）

A、南偏西50°方向B、南偏西40°方向

C、北偏东50°方向D、北偏东40°方向

三、填空题

1、

不在同一直线上的四点最多能确定________条直线。

2、

如图，点C、D、E在线段AB上，且AC=CD=DE=EB，则图中相等的线段还有______。

3、如图所示，点C是∠AOB的边OA上一点，D、E是OB上两点，则图中共有_________长线段；________射线；_______个小于平角的角。

4、

如图所示，点C是线段AB上一点，点D、E分别是线段AC、BC的中点，如果AB=a,AD=b,其中a＞2b，那么CE=______________。

5、

（1）23°30′=_______°；

（2）78.36°=_______°________′________″.

6、

（1）52°45′－32°46′=_______°________′；

（2）18.3°+26°34′=________°_________′.

7.两个角∠1、∠2，已知∠1比∠2多4°，3∠1+11∠2是平角，则∠1=________,∠2=______.

8.如图所示，A、B、C三点在一直线上，已知∠1=23°，∠2=67°，则CD与CE位置关系是__________.

9.如下图左所示，AB与CD交于点O，且∠AOC=∠COE=90°，∠AOC=30°，那么图中等于30°的角还有_____；等于60°的角有_____；等于90°的角还有______；等于120°的角有______；等于150°的角有______；等于180°的角有_______。

10.如上图右所示，已知AB⊥AC，∠DAB=∠C，则∠C+∠CAD=_________.

四、作图题

1、

如图所示，已知线段a、b，a

画一条线段AB，使AB=2a－b.b

2、已知线段AC=

AB，画出满足条件的几何图形。

3、在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线和平行线。

4、如下图左所示，将方格纸中的图形向右平移3倍，再向下平移4格，画出平移后的图形。

5、如下图中所示，画出图中三角形绕着O点逆时针旋转180°后的图形。

6、利用圆规画出如上图右所示的图案，其中点A、B、C、D、E、F正好把圆分成相等的6份。

7、仔细观察图中所示的五个图案，然后画出后续的图案。

五、计算题

1.51°37′－32°45′31″2.35°35′35″×5

3.（180°－91°32′24″）

24.176°51′

3

5.把34.37°化成度、分、秒6.把26°17′42″化成度

六、解答题

1、如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，且DA=6，DB=4，求CD的长。

ACDB

2、

如图所示，∠AOC比∠BOC小30°，∠AOD=∠BOD，求∠DOC的度数。

3、在纸上画出四个点（其中任意三点不在同一条直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画几条？

画出所有直线，并指出图中以这四个点为端点的线段及射线的条数。

4、如图所示是一副三角尺拼成的两个图案。

（1）确定图

（1）中所示是一副三角尺拼成的两个图案。

（2）

在图

（2）中，求∠EFC、∠CED、∠AFC的度数。

5、适当地剪几刀，就可以把上图中的十字变成一个正方形，有人说剪两刀就可以了，你相信吗？

不妨试试看。

6、能否将4支铅笔排成如图所示的形状？

你能否设计一个事实上不存在的图形？

7、用两条直线最多可以把一个平面分成几部分？

3条直线呢？

4条直线呢？

平面上有（a）4条、（b）5条、（c）6条直线，其中任意两条不平行，任意三条不交于同一点，它们把平面分成几部分？

你能总结出什么规律吗？

参考答案

一、1.×2.×3.√4.×

5.×6.×7.√8.×

二、1.D2.A3.B4.B

5.C6.B

三、1.62.AD=CE=DB、AE=CB3.6；5；10

4.

5.

（1）23.5°

（2）78°21′36″

6.

（1）19°59′

（2）44°52′7.16°;12°8.垂直

9.∠FOE、∠BOD；∠COE、∠BOF；∠BOE、∠DOF；∠AOF、∠DOE；

∠BOC；∠AOB、∠COD

10．90

四、

1.如图所示，AB=2a－b

2.图略。

有三种情况：

①点C在线段AB上；②点C在线段BA延长线上；③点C在直线AB外

3.如图所示，CB⊥AB，CD∥AB

4．如图所示即为平移后的图形

5.如图所示，右上为旋转后的图形，右下为原图形

6.略

7．如图所示

五、1.18°51′29″2.177°57′55″3.44°13′48″

5.34°22′12″6.26.295°

六、1.12.提示：

∵∠BOC－∠AOC=（∠BOD+∠COD）－（∠AOD－∠COD）=∠BOD+∠COD－∠AOD+∠COD=2∠COD=30°，∴∠COD=15°

3.如图所示，经过纸上四点（其中每三个点不在同一直线上）有6条直线，图中以这四个点为端点的线段有6条，射线有24条

4.

（1）∠A=60°，∠ABC=90°，∠ABD=135°，∠ACB=30°，∠ACD=75°，∠D=90°∠BCD=45°，∠CBD=45°；

（2）∠EFC=45°，∠CED=60°，∠AFC=135°。

5.如图所示，左图为原图，上画的虚线是剪切线，右图为剪拼后的图形

6.不能将四支铅笔排成题目中所示形状；上图右所示是一个事实上不存在的图形

7.两条直线可以把平面分成4部分.3条直线（直线相互不平行也不通过同一个点）把平面分成7部分，如图所示、作第4条直线，它与前3条直线交于3点，这3点把第4条直线分成4段，相应地平面也就增加了4部分，所示4条直线把平面分成7+4=11部分，作第5条直线，它被分成5段，相应地平面增加5部分，所以5条直线把平面分成7+4+5=16部分，于是6条直线把平面分成7+4+5+6=22部分。

事实上，1条直线把平面分成2部分，2条直线把平面分成2+2=4部分，3条直线把平面分成2+2+3=7部分，……，那么

条直线把平面分成2+2+3+4+…+

=

部分。