初中数学三角形全等教案讲义.docx
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初中数学三角形全等教案讲义
1.4全等三角形
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学重点
全等三角形的性质.
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角.
教学过程
一、三角形全等的概念
想一想
如果我们把两张纸重叠起来,同时得到两个三角形,你能发现这两个三角形有什么特征吗?
我们发现:
这两个三角形的形状、大小完全一样,我们把这两个图形放在一起,他们能够完全重合,像这样的图形,我们就称为是全等形.
概括全等形的准确定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.能够完全重合的三角形叫做全等三角形.
做一做
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难看出△ABC和△DEF,△ABC和△DBC,△ABC和△AED都是全等三角形.我们把两个三角形全等记作:
△ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌△AED.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
二、三角形全等的性质
想一想
甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
例1:
如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
例2:
如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
小小技巧
根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
例3:
已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)
课内练习题
1.如图,已知△ABC≌△DCB,且AB=DC,则∠DBC等于()
A.∠AB.∠DCBC.∠ABCD.∠ACB
2.已知△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,△DEF的周长为偶数,则EF的长为()
A.3B.4C.5D.6
3.已知△ABC≌△DEF,∠A=50°,∠B=65°,DE=18㎝,则∠F=___°,AB=____㎝.
4.如图,△ABC绕点A旋转180°得到△AED,则DE与BC的位置关系是___________,数量关系是___________.
5.把△ABC绕点A逆时针旋转,边AB旋转到AD,得到△ADE,用符号“≌”表示图中与△ABC全等的三角形,并写出它们的对应边和对应角.
6.如图,把△ABC沿BC方向平移,得到△DEF.
求证:
AC∥DF。
7.如图,△ACF≌△ADE,AD=9,AE=4,求DF的长.
1.5全等三角形的判定(SSS)
做一做
1、只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),你可以画出多少三角形呢?
画出的三角形一定都全等吗?
2、给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°和50°.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以看出来当只给出一个条件或两个条件时,我们不能保证画出来的三角形都是全等三角形,那么如果给出来三个条件时,又会有怎样的结果呢?
给出三个条件时有下面四种情况:
三条边、三内角、两边一内角、两内角一边,我们先来探索第一种情况.
做一做
请按照下面的方法,用刻度尺和圆规画ΔDEF,使其三条边分别为1.3cm,1.9cm,2.5cm.
画法:
1、画线段EF=1.3cm;
2、分别以E、F为圆心,1.9cm,2.5cm长为半径画两条弧,交于点D;
3、连结DE,DF;
ΔDEF就是所求的三角形.
想一想
按照上述方法你画出了几个三角形,它们有什么关系呢?
通过上面的讨论我们有如下判定三角形全等的边边边定理:
三边对应相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”)
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.
例1:
如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证:
△ABD≌△ACD.
例2:
如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
想一想
如何利用直尺和圆规作一个已知角的角平分线呢?
按照下面的步骤,我们可以作出来一条直线,求证这条直线即是角平分线.
1、以点A为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的两边分别交于E、F两点;
2、分别以E、F为圆心,大于
EF长的半径;
作圆弧,两条圆弧交于
内一点D;
3、过点A、D作射线AD.
射线AD就是所求作的
的平分线.
根据我们作出的图形,找到已知条件,并证明AD是
的平分线.
把两根木条的一端固定在一起,木条会自由转动。
在转动过程中,连结另两个端点所组成的三角形的形状、大小会随之改变.如果把另外两个端点用一根木条固定住,那么构成的三角形的形状,大小就完全确定.这就告诉我们一个生活实践的有关知识:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.
1.5全等三角形的判定(SAS)
温故而知新
1、怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3、上一节我们学习了什么方法来判定三角形全等?
想一想
除了这个方法,还有没有其它的方法呢?
如右图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,那么△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
根据这个图形我们来探讨一下判定三角形全等的另一个方法.
不难看出,这ΔAOB和ΔCOD有三对元素是相等的
,从而我们得到:
ΔAOB≌ΔCOD
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,只需要这两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.这就是边角边公理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
做一做
按下面的步骤画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.
③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
想一想
任意给出三角形的两条边和一个角,我们画出的三角形是否都全等呢?
已知△ABC中
=
,AC=3cm,BC=2cm,那么你可以画出怎样的三角形呢?
试着画一画.
注意
利用边角边定理判定三角形全等时,对应角一定要是对应边的夹角.
例1:
已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:
△ABE≌△ACF.
例2:
已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
例3:
直线
⊥线段AB于点D,且AD=BD,点C是直线
D
上任意一点,证明AC=BC
像直线
这样,垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
练习题
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________(这个条件可以证得吗?
).
1.5全等三角形的判定(ASA或AAS)
想一想
有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗?
请用量角器和刻度尺画ΔABC,使BC=3cm,∠B=
,∠C=
.
根据要求我们只能画出一个三角形,由此我们得到角边角定理:
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”)
思考
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
例1:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
由此我们得到角角边定理:
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
例2:
如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.