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薛定谔方程的建立和探讨
编号
学士学位论文
薛定谔方程的建立和探讨
学生姓名：
麦麦提阿布都拉.艾沙
学号：
20070105034
系部：
物理系
专业：
物理学
年级：
07-1班
指导教师：
艾沙江.赛来
完成日期：
2012年5月5日
中文摘要
薛定谔方程是量子力学的重要基本方程其地位与经典物理中的牛顿运动方程相当，打开物质微观世界大门的金钥匙。
薛定谔方程是关于微观粒子运动状态的描述和微观粒子力学量的表达等方面谈量子力学，量子力学的基本规律是统计规律，介绍了薛定谔方程的表述形式,分析了不同体系的薛定谔方程的建立方法,并介绍了求解复杂体系的薛定谔方程的近似模型和方法分析了薛定谔方程在揭示物质微观世界的实际应用价值,从而有助于更好地认识薛定谔方程的重要意义，首先分析薛定谔方程在一维势场中的应用然后建立波函数最后建立薛定谔方程，还要说薛定愕方程的实验基础。
关键词:
创造性思维;特性;薛定谔方程。
目录
中文摘要1
引言3
1.薛定谔方程的建立和创造性的思维4
1.1问题提出4
1.2发散思维4
2.薛定谔方程的建立4
2.1．薛定谔方程的建立4
2.2再造想象8
3.一维定态薛定谔方程的建立和求解举例8
3.1一维运动自由粒子的薛定谔方程8
3.2一维运动自由粒子的定态薛定谔方程9
4.薛定谔方程的实验基础：
10
5.量子力学与经典物理的区别:
12
5.1.关于运动状态的描述12
5.2.关于状态量的解释12
5.3.关于力学量的表达13
结论14
参考文献.15
致谢16
引言
薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926年,它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r,t）,质量为m的微观粒子在势场U（r,t）中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数Ψ（r,t）,由此可计算粒子的能量、分布概率等。
当势能U（r）与时间无关而只是坐标的函数情况下为定态问题。
定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数,满足定态薛定谔方程,这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量,Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数，波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件。
薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,所以满足叠加原理。
定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。
纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论。
其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足,每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学。
其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学。
在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程。
虽然如此,当时他本人对方程中的波函数
的意义并不清楚,有趣的是,当第二年波恩对波函数进行统计解释时,他还持反对态度,同时引出了许多科学家对这一问题的激烈争论（这方面在很多教科书中都有详细描述,笔者不再赘述）。
而今,人们对于波函数的理解虽有了统一的认识,但对于波函数的教学仍有诸多不便。
当然,教学过程不是历史的重演,所以,不可能,也不应该完全按历史发展的进程来讲授,笔者只在这里总结。
一下自己的教学过程,谨此与同行们切磋。
由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解，而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展,经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙。
薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要
的作用,它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:
（1）应当是波函数对时间的一阶微分方程;
（2）方程要包含外界的因素;（3）方程中的系数不含有状态参量;（4）方程是线性的.薛定谔方程的建立与创造性思维
1.薛定谔方程的建立和创造性的思维
1.1问题提出
1923年,正当人们对光的波粒二象性仍然感到新奇之际,法国物理学家德布罗意又提出实物粒子也具有波粒二象性.在爱因斯坦的提议下,实验物理学家们都积极参与对这一提法的实验证明.美国实验物理学家戴维森在对电子束实验中,证明德布罗意的提法是正确的.实物粒子具有波粒二象性,这是物质的根本属性,那么具有波粒二象性的实物粒子运动的基本规律是什么?
如何从理论上直接得到,是在德布罗意的假设被肯定之后所面临的中心问题.薛定愕的老师德拜指定他做有关德布罗意工作的报告.在报告之后,德拜表示不满,向他指出,德布罗意以物质具有波动性质描述了微观粒子,但还不曾建立一个以波动来表示微观粒子运动的动力学方程,研究波动就应该先建立一个方程.薛定愕在他的启示下,深入研究了这个问题,显然他不是用传统理论中人们熟悉的逻辑思维解决的.
1.2发散思维
（1）建立方程首先要选择一个状态量,那么用什么样的物理量来描述具有波粒二象性的实物粒子的运动状态呢?
这个状态量的意义是什么呢?
（2）建立方程的形式应属于那一基本类型呢?
这个方程的解是什么呢?
（3）建立方程中自变量是什么?
有几个呢?
（4）被描述的实物粒子所处的环境又将怎样描述呢?
2.薛定谔方程的建立:
2.1．薛定谔方程的建立.
建立过程：
自由粒子波函数所满足的方程
推广到一般。
自由粒子的波函数为平面波
（2.1）
对时间求偏微商：
（2.2）
对坐标求二次偏微商：
（2.3）
同理得：
，，
（2.4）
将以上三式相加：
，（2.5）
利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程：
（2.6）
上式中劈形算符：
，
（2.7）
如存在势能
，能量和动量的关系是：
，
（2.8）
波函数应满足的微分方程是;
（2.9）
这个方程称为薛定谔方程。
由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换：
就可得到薛定谔方程。
注意：
薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。
它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。
多粒子体系的薛定谔方程，设体系有N个粒子，
分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为：
，体系的势能为
，则体系的能量可写成
（2.10）
上式两边乘以波函数
，并作代换：
其中：
就得到多粒子体系的薛定谔方程：
（2.11）
（1）从德布罗意和爱因斯坦那里,薛定愕吸取了关于电子波动和物质具有波动性质的思想!
!
!
对应波的振幅引入,称之波函数,从而用波函来描述电子的运动状态.
波函数是一个时空函数,它完全描写了微观粒子在时间t的一切运动状态,它能反
映微观粒子随时间变化的功规律。
波函数
是薛定愕方程的解,薛定愕方程应当是波函数对时间的一阶微分方程。
假片薛定谬方程中含有
对时间的高阶导数,则波函数
就一不能完全描写微观粒子在时刻t的一切运动艺,而需要加入
才能确定粒子的运动状态,就与波函数
完全确定微观粒子的一切运功状态相矛盾。
其次薛定谬方程应当是线性的若
与
都是薛定愕方程的解,则它们的线性迭加也应该是方程的解。
最后,薛定愕方程中所包含着的系数,不能含有某些个别物理量,如有,则该方程只能为个别物理量所满足,那么它的解
也只能是满足个别物理量，而一不能满足微现粒子的一切运动状态。
薛定愕方程就是根据上述量子力学的基本论点（或原理）建立起来的。
例如,自由粒子的波函数是平而波,其分析表达式为：
（2）受德布罗意把费马原理与莫培督原理进行类此方法的启发,薛定愕联想到了90年前哈密顿发现几何光学仅是对无限小波长有效的波动光学的一种特殊情况,同时指明了怎样从几何光学的特征方程到波动光学微分方程的过渡.这实际上是揭示了经典力学与几何光学之间的相似性!
!
!
从哈密顿的分析力学中悟出经典力学与几何光学类似的思想.
微观粒子的波粒二象性,即德布洛意物质波的革命性假设及其实验证实,是薛定愕方的实验基础,也是薛定愕方程的理论基础。
整个十九世纪,物理学在对光的研究中,首先发现了光的波动特性。
在这方面,有大的实验事实可查,如扬氏双缝干涉实验,菲涅耳双棱镜干涉实验,牛顿环干涉实验,菲涅耳圆孔衍射实验等等。
大量实验事实不可辩驳地证实:
光具有波动性。
但是,在对光的发射和光与物质相互作用等问题的研究中,光电效应,康普顿效应等实验也不容置疑地证明,光具有粒子性。
因此,物理学在长期的争论中,不得不放弃固有的观念而承认这样的事实（实验结果）;光具有波长,频率的同时,也具有动量和能量,即光具有波粒二象性。
1924年,根据光的波粒二象性,德布洛意在向巴黎大学提交的一篇博士论文中,提出了一些惊人的观念。
其中关于物质波的假设,用今天的话来说就是:
一个能量为E、动量为P的粒子,同时也具有波长久
频率
且两者具有如下关系:
（3）由此,薛定愕想到,既然几何光学仅是对光的一种大体的近似,那么很可能是同样的原因才使经典力学在很小的轨道大小和很强的轨道弯曲情况下失效了,而这两者又只是对短波长的近似,这一失效完全类似几何光学的失效,一旦障碍物或狭孔不比实际的有限波长大时就发生.那样经典力学就是几何光学的完全相似物,因而需要寻找一种波动的力学,而最接近的寻找途径就是哈密顿模型的波动理论.
（4）从玻尔理论里得到了能量是分立的,薛定谔又注意到数学中偏微分方程的本征值!
!
!
玻尔的分立能级或许就是波动方程的本征值.
（5）实物粒子一定要处于一个环境之中,因此,描述实物粒子环境应是经典力学中粒子在所处场中的势能.
2.2再造想象
经过上面的联想,薛定谔对所要建立方程的思路基本成熟,总括起来,薛定谔的思想大概是从以下4个前提下得出来的:
（1）原子领域中电子的能量是分立的;
（2）在一定的边界条件下,波动方程的振动频率只能取一系列分裂的本征频率;
（3）哈密顿雅可比方程不仅可用于描述粒子的运动,也可用于描述光波;
（4）最关键的是爱因斯坦和德布罗意关于波粒二象性的思想.电子可以看成是一种波,其能量E和动量P可用德布罗意公式与波长_和频率联系在一起.
波动力学形式简单明了!
!
!
偏微分方程:
.
3.一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
3.1一维运动自由粒子的薛定谔方程
波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．
将（16.2.14）式分别对t和x求导，然后从这两式消去E、p、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：
即
即
方程（16.3.3）中不含有能量E和动量p，表明此方程是不受E和p的数值限制的普遍方程．
请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式，改用类似于式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程式．
这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．
3.2一维运动自由粒子的定态薛定谔方程
上述薛定谔方程是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x，t）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t）分离成空间部分u（x）和时间部分f（t）两函数的乘积的特解，即
〔一维运动自由粒子的定态波函数〕ψ（x,t）=u（x）f（t）
将此式代入（16.3.3）式得：
两边除以ψ=uf得：
此式左边是时间t的函数，右边是坐标x的函数．已知t与x是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E，即
因此，一个偏微分方程可分解成两个常微分方程以求解．如〔附录16C〕所示，式的E就是粒子的能量E．上述两个常微分方程的解分别为：
〔时间波函数f（t）〕
〔空间波函数u（x）〕
将上式的待定常量C合并到A和B中，便可得到下式：
从此式可知，特解ψ=uf使得几率密度|ψ|2与时间t无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．
ψ=uf称为定态波函数，其中空间部分u（x）可称空间波函数，时间部分f（t）可称时间波函数．
如式所示，定态的几率密度|ψ|2决定于空间波函数u，与时间波函数f无关．式中空间波函数u满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下：
式表明，空间波函数u（x）的表式中有三个待定常量A、B、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A、B、α的一个实际例子。
4.薛定谔方程的实验基础：
物理学是一门实验科学因而物理学的一切理论都应该经受得住实验的检验否则理论就可能会成为谬误不被人们承认和接受。
1926年德国物理学家薛定愕在德国物理学年鉴上发表的了篇论文中提出了薛定愕方程
在德布洛意革命性观一物质波的基础上给出了严格而优美的数学表述：
该方程适用于微观粒子在力场中的运动它是物理发展史上一场革命性变革的标志对量子
力学理论的发展和物理学观念的更新起到了巨大作用半个多世纪以来人们在微观领域内己不再象牛顿力学那样用线轨道一例如圆椭圆或抛物线等来描述微观粒子的行为而用所谓的冲函数来描写这些函数分别对应于粒子在空间与时间中可能存在的各种状态。
薛定愕方程建立半个多世纪以来一直为人们所承认和接受并得到长远发展那么其基本假设和由此而建立的方程的实验基础是什么Δ它经受住了一些什么样的实验检验了呢微观粒子的波粒二象性即德布洛意物质波的革命性假设及其实验证实是薛定愕方程的实验基础也是薛定愕方程的理论基础。
整个十九世纪物理学在对光的研究中首先发现了光的波动特性在这方面有大量的实验事实可查如扬氏双缝干涉实验菲涅耳双棱镜干涉实验牛顿环干涉实验菲涅耳圆孔衍射实验等等.
大量实验事实不可辩驳地证实光具有波动性但是在对光的发射光与物质相互作用等问题的研究中光电效应康普顿效应等实验也不容置疑地证明光具有粒子性，因此物理学在长期的争论中不得不放弃固有的观念而承认这样的事实实果结果，光具有波长频率的同时也具有动量和能量即光具有波粒二象性。
薛定愕方程的建立是有着广泛的实验基础的但实验对方程的建立不是直接的即方程不是大量实验结果的直接总结而且教材中在方程的建立过程中从描写自由粒子运动的方程直接推广到力场中的非自由粒子严格说来也是没有实验依据的。
因此方程还必须进一步接受实验的检验那么薛定愕方程建立之后它经受住了一些什么样的实验检验了呢？
这里略举几例：
当然从薛定愕方程得到的结果与实验结果惊人地相符的事例还不止这些但是从上述事例中我们己可充分看到薛定愕方程建立后众多的实验结果为其正确性提供了坚实的实验基础相信对于方程乃至于整个量子力学理论的进一步发展也必然还是要建立在实验的基础之上。
这样我们就可以说薛定愕方程是建立在以往大量的实验基础之上并经受住了以后众多的实验事实的检验才成为微观世界物质运动的基本规律为人们所承认和接受。
因此从狭义上讲没有十九世纪以及现代的一系列实验作后盾就没有薛定愕方程的建立即使建立了也要被否定。
从广义上讲物理学不建立在广泛的实验基础之上就没有昨天的物理学今天的物理学和明天的物理学因而我们无论是学习以往的物理理论还是探求今天的或明天的物理学都应该切实地把握住物理理论所赖以建立的实验基础。
5.量子力学与经典物理的区别:
5.1.关于运动状态的描述
经典力学中,质点的运动状态由坐标_r与动量_p（或速度_V）描述;电磁学[3]中,场的运动状态由电场强度_E（_r,t）与磁感应强度_B（_r,t）描述。
在经典物理中,运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测得的量,即在理论上这些量是描述运动状态的工具,实际上它们又是实验直接可测量的量,并可以通过测量这些状态量来直接验证理论.
量子力学中,微观粒子的运动状态由波函数_（_r,t）描述。
但波函数_（_r,t）却不是实验直接可测的,即量子力学中运动状态的描述与实验直接测量的量的表达是割裂的。
量子力学中的态函数_（_r,t）一般是一个复数,是一个理论工具。
实验上仍可直接测量量子系统中粒子的坐标,动量以及场的强度,但它们并不直接代表量子态。
5.2.关于状态量的解释
经典力学中,描述质点运动状态的状态量为坐标_r（t）和动量_p（t）,且任一时刻t,质点有确定的坐标_r和动量_p;电磁学中,描述电磁场运动状态的状态量为电场强度E（_r,t）
和磁感应强度_B（_r,t）,且任一时刻t空间任一点_r有确定的电场强度_E和磁感应强度_B。
这就是经典物理对状态量的解释,即所谓的经典决定论、严格的因果律[4].
量子力学中,微观粒子的运动状态由状态量_（_r,t）描述,|_（_r,t）|2给出时刻t粒子出现在_r点的几率密度。
因此我们说量子力学是一种统计性理论。
但这种统计性理论区别于经典统计物理。
经典统计物理[5]中讨论几率是因为所研究的大数粒子系统无法用运动方程详尽求解系统的运动,更无法规定解运动方程所必需的初始条件。
然而量子力学中出现几率则具有更基本的性质,即微观粒子（无论是单粒子还是多粒子）的基本运动规律是统计性的而非决定性的。
这就是量子力学对状态量的解释。
这是实验事实要求我们承认的。
5.3.关于力学量的表达
经典力学中,质点的力学量均可表示为坐标_r动量_p的函数,因此_r和_p提供了质点的一切力学信息,力学量间的运算满足代数运算规则。
电磁学中,其物理量均可表示为电场强度_E和磁感应强度_B的函数,因此_E和_B提供了电磁场的一切物理信息,物理量间的运算满足代数运算法则。
量子力学中,微观粒子力学量表达为抽象的算符（如薛定谔方程中的H^）,且表达力学量的算符间的代数运算规则遵守乘法不可交换的代数。
在量子力学中,凡有经典对应的力学量,其算符的构成是将经典表达式中的_r换成^r、_p换成-ih_而得出;凡有经典对应的力学量间的对易式,均可由坐标与动量间对易式[x^_,p^_]=ih___导出。
对经典物理,对易式[x_,p_]=0。
这两个不同的对易式也标志着量子力学与经典物理的差异。
当普朗克常数h_0的极限情况下,[x^_,p^_]_[x_,p_],标志着量子力学过渡到经典物理学。
结论
定态薛定谔方程是否合理,需接受实践和理论的检验,经检验薛定谔方程是正确的,即：
（1）从这个方程得到的解正是氢原子的能级公式.这样,量子化就成了薛定谔方程的自然结果,而不是象玻尔和索未菲那样需要人为规定某些量子化条件。
（2）从这个方程得到了谐振子的能级和定态波函数,结果与海森伯的矩阵力学所得相同。
（3）该方程还处理了普朗克谐振子和双原子分子等问题。
（4）从这个方程可计算氢原子的斯塔克效应,结果与实验符合得很好。
（5）利用这个方程含时间的微扰理论,解决色散等问题。
原子的稳定性问题.
参考文献.
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[8]梁辉.从薛定谔方程谈量子力学与经典物理的区别[J]安徽技术师范学院学报2003,17
（1）:
70-71.
致谢
感谢我的家人对我大学四年的默默支持；感谢我的母校喀什师范学院给了我在大学四年深造的机会，让我能继续学习和提高；感谢喀什师范学院的老师和同学们四年来多关心和鼓励。
同学们在学习中的人真热情，生活上的热心主动，所有这些让我的四年充满感动。
这次毕业论文设计我的论文指导老师艾沙江.赛来的对我的关心和支持尤其重要。
每次遇到难题，我最先做的就是向指导老师寻求，而艾沙江.赛来老师每次不管忙或闲，总会抽空找我面谈，然后一起商量的办法，艾沙江.赛来老师平日里工作繁多。
这一个月以来，艾沙江.赛来老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想上给我无微不至的关怀，在此向艾沙江.赛来老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。
感谢在整个毕业论文设计期间跟我密切合作的同学。
在此，我再一次真诚的向帮助过我的老师和同学们表示感谢！
麦麦提阿布都拉。
艾沙
2012年5月5日
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