数学分析复习资料及公式大全docx.docx

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导数公式:

=scc2x

/2（cfgx）'=-cscr

（secx）r=secx・tgx

（escx\=-escx•etgx（ax\=ax\na

（arccosx）'=——/

yjl-x2

（log.x\=

1

x\na

（arcctgx）f=

1

l+x2

基本积分表：

ygxdx=-ln|cosx+C^ctgxdx=ln|sinx+Cjsccxdx=ln|scc兀+fgx+CJesexdx=ln|cscx-etgx+C

1x

=—arctg—+C

aa

=±lnl

dx

cos2x

dx

sin2x

|sec2xdx=tgx+C

jese2xdx=-etgx+C

dx

~22

a+x

dx

27

x-er

dx

a2-x2

dx

\la2-x2

x-a

2ci\x+a\1,ci+x厂

=——In+C

2aa-x

==arcsin—+C

a

jsecx•tgxdx=secx+C

|cscx-c/gxJx=-esex+C

iaxdx=———C

JInez

jshxdx=chx+C

^chxdx=shx+C

J岛T777"

/r

2

—2

In=Jsin"xdx=jcosMxdx

00

^x2+a2dx=—y/x2+a2+—ln（x+y/x2+a2）+C2

2

JVx2-a2dx=~J兀2_—

In兀+—cz厶+C

JJ/x=*罷

三角函数的有理式积分：

2

一+—arcsin—+C

2a

sinx=

2u

l+u2

cosx=

1-M2

1+w2

U=tg2

dx=

2du

l+w2

X_-X

双曲正弦:

shx='r

2

双曲余弦:

chx=CA

2

c/7rex

双曲正切:

thx=-=^-^chxe+earshx=ln（x+Vx2+1）

archx=±ln（x+y]x2-1）

sinx

lim

=1

lim（l+-）'=^=2.718281828459045...

—8%

arthx=—In

2

三角函数公式:

•诱导公式：

数

角彳、

sin

cos

tg

Ctg

-a

-sina

cosa

-tga

-ctga

90°-a

cosa

sina

ctga

tga

90°+a

cosa

-sina

-ctga

-tga

180°-a

sina

-cosa

-tga

-ctga

180°+a

-sina

・cosa

tga

ctga

270°-a

-cosa

-sina

ctga

tga

270°+a

-cosa

sina

-ctga

-tga

360°-a

-sina

cosa

-tga

-ctga

360°+a

sina

cosa

tga

ctga

•和差角公式:

tg（a±/3）=

/,°、ctga・ctg0+\

crg（d±0）=&"

ctgp±ctga

sin（cr±/?

）=sinacos/?

±cos<7sin0

cos（a±0）=cosacos0年sinasin0

tga土tg0

•和差化积公式：

sirm+sin0=2sincos~~~~

sin6Z-sin0=2cos°十"sin―—

22

nr6Z+0oc—（3cosa+cos0=2cos—-^―cos—-^―cosa-cos0=2sin"+"sin—―—

22

•倍角公式:

•半角公式:

高阶导

莱布尼兹（Leibniz）公式:

（济）（“）=£算严幼严

Jl=0

冲叫+和+汕知”+…+⑷-1）・・°"+叽心）严+・・・+"/）

2!

k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理:

f（b）-f（a）=f^）（b-a）

柯西中值定理严）-W以O

F（b）-F（a）F©

当F（Q二x时，柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds={1+）严曲其i|y=/ga

M点的曲率：

K=\im

山toAs

da

ds

Vo+/2）3

平均曲率灭=

.△&:

从M点到NT点，切线斜率的倾角变化量；As：

MM弧反。

直线:

K=O;

半径为a的圆：

K=-.a

定积分的近似计算：

bt

矩形法:

丄上（儿+）>+•••+儿-）

in

b>j

梯形法：

j/（x）«—^-［-（y0+儿）+x+…+儿_】］

a

bfh—Z7

抛物线法:

］7（x）u玄-［（儿+儿）+2（儿+儿+…+儿—2）+4（X+儿+…+儿-1）］

a

定积分应用相关公式:

功：

W=F-s水压力：

F=p-A引力：

F=k^,k为引力系数

r

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：

〃=|冏叽|=J（£一州）2+（儿一X）2+G-Z|）2向量在轴上的投影:

Pr血乔=|乔卜cos00是乔与”轴的夹角。

Prju（5i+52）=Pr皿+Prja2

a-b=\a\-hcos0=axbx+ayhy+a.h：

9是一个数量，

两向量之间的夹角:

COS&=

•航+b：

+b：

c=axb=axay

a_,|c|=a-|&|sin^.例：

线速度:

v=vvxr.

bx伏,

向量的混合积：

[ahc]=（dxb）-c=hx

-

dy冬_

bybz=axh•ccosq,q为锐角时,

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：

A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O,其中n={A,B,C},MQ（xQ,yQ,zQ）

厶一般方程：

Ax+By+Cz+Q=0

3、截距世方程:

兰+工+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：

〃」办。

+〃儿+5+刖

Va2+s2+c2

x=xg+mt空间直线的方程:

乂也==二英中2仙‘,“}；参数方程:

尸儿+m

mnp

二次曲面：

222

1、椭球而:

与+件+*=1

ab“c

22

2、抛物ffi:

—4-—=Z,（p，9同号）

2p2q

3、双曲面：

222单叶双曲面:

亠+―-二=1crb「c

222

双叶双曲面:

二-—+二=1（马鞍面）

crb「c_

多元函数微分法及应用

全微分：

dz=—dx+—dydu=—dx+—dy+—dzdxdydxdy'dz

全微分的近似计算：

"=dz=fx（x,y）Ax+fy（x,y）Ay

多元复合函数的求导法：

dzdzdudzdvdtdudtdvdt

当u=u（x,y\v=v（x,y）时,

隐函数的求导公式:

隐函数方程组：

严』以）=0

G（x,y,u,v）=0

dF

dF

j0（F,G）

du

FF

Uy

5（w,v）

8G

dG

GuGv

du

6v

Fa（

G）X）G1刃

r\FM5（5

一一=

av一5）

迦—__L°（F，G）dxJ6（x,v）里—丄Q（F,G）SyJ5（y,v）

微分法在几何上的应用：

兀=0⑴

空间曲线y=0⑴在点Mgjg）处的切线方程:

导=宁汁壬小（P（A））0仏）血亿））

Z=co（t）

在点M处的法平面方程:

0仏）（兀-兀0）+0‘仏）（y一儿）+少（厲）（z-Zo）=0

若空间曲线方程为则切向量〒={

Fy耳

巴Fv

[G（“z）=O

5S

GMGJ负Gy

曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,yQ,z0）,贝山

1、过此点的法向量：

h={Fx（x0,y（）,^（））,Fy（x0,y（）,^（））,Fz（x0,y0,z（））}

2、过此点的切平面方程：

的（兀0，儿，5）（兀-兀0）+耳（兀0』0,5）0-儿）+3（兀0』0忆0）（2-5）=0

方向导数与梯度:

函数z=在一点p（x,y）沿任一方向/的方向导数^J：

—=—cos^?

+—sin^

dldxdy

其中。

为兀轴到方向/的转角。

函数z=/（“）在一点/心y）的梯度：

gradA（x,y）=%i+嬰了

oxdy

它与方向导数的关系是:

%=gradf（x,y）-e,其中e=cos（p-I+sin^-j,为/方向上的ol

多元函数的极值及其求法：

单位向量。

设人（筍，儿）=人（兀o』o）=O，令：

几CWo）=4,几（兀o』o）=B,/vv（x0,y0）=CAC-庆＞0时，卩儿）为极大值

[A＞0,（3。

）为极小值

则彳4C-矿＜0时，无极值

AC—B2=0时，不确定重积分及其应用:

y）dxdy=jj/（rcos^,z*sin0）rdrclO

DDf

2

dxdy

_Mx[["（"）〃y==

"MJJp（_x,y）db

D

Vz、

平面薄片的重心：

"竺5,

MJJp（x,y）db

D

平面薄片的转动惯量：

对于兀轴人=JJy»（兀,）,，）dcr,对于y轴/、.=^x2p（x,y）d

DD

平面薄片（位于my平面）对z轴上质点M（0,0Q,（d>0）的引力：

F二{"£,/},其中:

化=仙畑）如3,口Q（S）MJF=_fap（X,y）xda^

D（x2+y2+a2yD（x2+y2+6Z2）2D（x2+j2+a2）2

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosO

柱面坐标:

y=厂sin0,jJJ/（x?

z）dxdydz=^F（r,O.z）rdrclOdz,

Z=Z

其中：

F（r,<9,z）=/（rcos<9,rsin0.z）

x=rsin^cos^

球面坐标H

y=厂sin0sin&,dv=rd（p•厂sin0・d&・d,"=厂s\x\（pdrd（pdO

z=rcos（p

2/rnr{（p.O）

y,z）dxdydz=sm（pdrd（pdO=|F（r,^?

^）r2sin^r

QQ000

其中M=x=jjj/x/v

Q

:

Jjj（宀

Q

重心：

嗨呼伉卩曲=扌护皿

转动惯量:

Ix=JJJ（y2+z2）pdv9ly=jjj（x2+z2）/^/v,

QQ

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）:

X=（p（t）…

设f（x,y）在厶上连续，L的参数方程为:

二,（6r

y=0（。

x=t

y=（p（f）

p

^f（x,y）ds=J/[^（r）,妙（/）]J02⑴+屮门（t）dt（a<0）特殊情况:

<

Aa

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

设厶的参数方程为\x=（p（t\贝h

y=肖⑴

卩

Jp（x,y）dx+0（兀,y）dy=J{P[0（/）,0（/）]0（/）+

La

两类曲线积分么间的关^Pdx+Qdy=J（PcosQ+Qcos"）ds,其屮a和0分另U为

LL

厶上枳分起止点处切向量的方向角。

格林公式:

（挈-7）dxdy=pdx+Qd）格林公式寸J（響-）dxdy=\Pclx4-Qdyd%6Id°yL

当P=-y,Q=x,即：

oQ_&P=2时，得到£>的面积：

A=^dxdy=^xdy-ydx

°xdyp2/

•平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，冃竽=?

。

注意奇点，如（0,0）,应

dxcy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积：

在字=7时，Pdx+Qdy才是二元函数/心,y）的全微分，具中:

dxdy

g）

通常设X。

=y0=0o

p（兀,y）dx+Q（兀,y）狞,

（心几）

曲面积分：

对面积的曲面积分:

儿z）ds=y,z（x,y）]Jl+Z；（x,y）+z；（x,y）dxdy

工Dxy

对坐标的曲面积分:

jjP（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy,其中：

y,z^dxdy=±y9z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

Jjp（%,y,z）dydz=±JpIXy,z）,y,z\dydz，取曲面的询侧吋取正号；

儿z）dz.dx=±y（z,x）,z]dzdx,取曲面的右侧时取止号。

工4

两类曲面积分之间的关系:

jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=fJ（Pcosa+Qcos0+/?

cosy）ds

咼斯公式:

用烂+警+譽妙岬p如+Qdzdx+Rdxdy=如Pcosa+Qcos0+Rcosy）ds

比

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：

div7=$+学+嬰，即：

单位体积内所产生的流体质量，若divv<0,则为消失…dxdydz

通量:

jjA-hds==jj（Pcosa+Qcos0+7?

cosy）ds,

因此，高斯公式又可写成:

JJJdiv月血=羽

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

向量场人沿冇向闭曲线厂的环流量:

jPdx-^Qdy+Rdz=^A-tdsrr

常数项级数:

等比数歹lhl+g+q2+・・・+q讥上尤

l-q

等并数歹I」：

1+2+3n=+D"

2

调和级数』+丄+丄+・・・+丄是发散的

23n

级数审敛法:

QV1时，级数收敛设：

p=lim丽7，贝ij

\时，级数发散71-»00V.

°=1时，不确定

2、比值审敛法：

QV1时，级数收敛

TJ

设：

°=lim匕巴，贝IJ°〉1时，级数发散"TooTJ

"0=1时，不确定

3、定义法：

sn=Uj+u2++存在,则收敛；否则发散。

ns

交错级数Wj-U2+氏3-“4+…（或-"l+“2一“3+…，叫>0）的审敛法莱布尼兹定理：

[11„>Ult+,

如果交错级数满足£爲J。

，那么级数收敛且其和曲”其余项乙的绝对值|rj<^+1ol”T0Cfl

绝对收敛与条件收敛：

（1）%]+比2Un+其川冷为任意实数;

⑵”]|+机|+|“31+…+血+…

如杲⑵收敛，贝灿肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如杲

（2）发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:

发散,

而工收敛;

n

级数:

工丄收敛;

P<1时发散

”〉1时收敛

壽级数:

1+x+%2+X’+…+x"+…

兀<1时，收敛于

\—X

兀n1时,发散

对于级数（3）a04-a}x4-ci2x2°“兀"+•••,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全

l\x\

数轴上都收敛，则必存在/?

使i\x\>R时发散，其屮/?

称为收敛半径。

寸不泄

p工0吋，R=—求收敛半径的方法：

设lim|纽|=°,其中附论是⑶的系数，贝#°=0时，R=+oon\p=+oo时，R=0

函数展开成幕级数:

函数展开成泰勒级数：

/（%）=/（兀0）（兀-兀0）+匸"°）（X7（））2+•••+—（兀-看））"+…

2!

m

余项：

Rny（C（x—M，/S）可以展开成泰勒级数的充要条件是山H1&,=0

（/1+1）!

nx

兀。

=0时即为麦克劳林公式：

/（兀）=/（o）+广⑼単/+…+£22*+...

2!

m

一些函数展开成霉级数：

Z1w[m（m-l）7加（加一1）…（加一m+1）“

（―1

（1+兀）川=1+加兀+Q+•••+△__兀"+••

2!

n\

/V5严I

sinx=x++（—I）""+…（-00

3!

5!

（2/1-1）!

欧拉公式:

ix・•

e=cosx+zsinx

cosx=或

sinx=

8

cosnx+bnsinnx）

n=\

三角级数:

/（0=4）+£观sin（H血+久）=牛+n=l厶

其中，=aA^,an=Ansin（pn,bn=Ancas（pn,cut=xo

正交性：

1,sinx,cosx,sin2x,cos2x•••sinnx,cosnx…任意两个不同项的乘积在［一兀,龙］上的积分=0。

傅立叶级数:

/（x）=—+（d“cosnx+bnsinnx）,周期=2/r

2n=l

i江

an=—（x）cosnxdx

其中

-咒

1兀

0=123…）

Z?

n=—j/（x）sinnxdx兀一托

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

/（x）=牛+£（碍cos罕•+b“sin竽），周期=2/

2n=lII

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：

）/=/0,刃或P（X,y）dx+Q（x,y）dy=0

可分离变量的微分方程：

一阶微分方程可以化为g（y）dy=f（x）dx的形式，解法：

k（y）dy=J7（x）dx得：

G（y）=F（兀）+C称为隐式通解。

齐次方程：

一阶微分方程可以写成—=f（x,y）=^x,y）f即写成丄的函数，解法：

dxX

设弘二2,贝\\—=u+X—,u+—=（p（u）f———分离变量,积分后将2代替

xdxdxdxx（p{u）-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方+P（x）y=2（x）

dx

/当0⑴=0时,为齐次方程，y=Ce~^{x）dx

\当Q（x）h0时,为非齐次方程,y=（jQ（x）eP""*dx+C）e-P""*

2、贝努力方程:

冬+P（x）y=Q（x）yn^n工0,1）

dx

全微分方程：

如杲Pgy）dx+0（兀,y）dy=0中左端是某函数的全微分方程，即:

du（x9y）=P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0,其中』=P（x,y）,^~=Q（x,y）oxdy

.・.W（x,y）=C应该是该全微分方程的通解。

+2Wy=/（A

/（兀）三o时为齐次

/（x）h0时为非齐次

dx1

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）y"+py'+gy=0,其中为常数;

求解步骤：

1、写出特征方程：

（A）厂2+”+q=0,其中厂2,厂的系数及常数项恰好是（*）式中y",y',y的系数;

2、求出（△）式的两个根人,厂2

3、根据人上的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

",厂2的形式

（*）式的通解

两个不相等实根（h_4g>0）

尸W+C2严

两个相等实根（八曲“）

y=（q+c2x）er'x

一对共轨复根（p2_4g<0）

y=严（C]cosfix+c2sinfix）

rx=Q+i0,r2-a-ip

a」

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

yn+pyfqy=f（x）,p9q为常数f（x）=eAxPm（x）^92为常数；f（x）=eAx[Pl（x）coscax+Pn（x）sincox]型