笔算开立方和N次方.docx
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笔算开立方和N次方
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：
在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
（10a+b）^2=100a^2+20ab+b^2=100a^2+b（20a+b）
a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b（20a+b）。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'（20a+b'）<=b（20a+b）。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
（10a+b）^3=1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3=1000a^3+b[300a^2+b（30a%2
笔算开立方
一天，我遇到了一道需要用到
的近似值的物理题。
我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。
这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。
我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；
2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；
3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。
再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5．用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。
关键是第4步如何进行。
当天晚上，我想到完全平方公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，完全立方公式是（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。
于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。
我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。
那么我有必要分析笔算开平方的本质。
以两位数
为例，
=（10a+b）2=100a2+20ab+b2。
这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。
事实上，100a2已在第3步里被减去了。
那么剩下的就是20ab+b2，即（20a+b）·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。
这样，如果被开方数是（10a+b）2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比（10a+b）2大，就把10a+b看作a继续进行下去。
同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。
类似地，（10a+b）3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。
那么我就应该把求得的最高位数
的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3 步所得余数减去它们的和。
举几个简单的例子验证一下：
（300=12×300×1（600=12×300×2（1200=22×300×1）
30=1×30×12120=1×30×2260=2×30×12
1=13）8=23）1=13）
为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了
的近似值,并与计算器的结果进行比照:
（为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。
）
用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。
现将笔算开立方的方法总结如下：
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。
这种方法肯定早就有人发明了。
其运算量相当大，实用价值也不高。
但我毕竟是独立地发现了它。
虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。
此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用──
期中考试物理试卷中有这样一道题：
“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟，地球半径约是6370㎞，求飞船的轨道高度（以km为单位，保留两个有效数字）。
这道题并不难。
根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的表达式。
经过近似计算和约分、化简，结果大约是（1000
-6370）㎞。
我想大多数同学能够算到这里，而对于
就束手无策了。
但它难不倒我。
我运用了笔算开立方的方法。
由于法则是自己总结的，所以记得很牢，用起来也得心应手。
很快，我求出
≈6.7，最终结果约是3.3×102㎞。
严格地说，这个答案是不可靠的。
要保证最终结果的第二个有效数字准确，应该把
计算到百分位。
但因时间有限，且300这个数本身就是不准确的，我只好这样写。
后来我看到答案，知道我的结果是正确的。
我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。
我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。
但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。
换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。
然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。
举例说明:
17开立方.首先求17以内的最大立方数为2^3=8,17-8=9,在9的后面加上三个0,9000
在9000范围内,设立方根的第二位是A,则用2A*A*2*30+A^3,此算式不>9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位,
设第三位是B,则用25B*25*B*30+B^3,则B=7,及1375000-1349593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C^3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。
2571D*2571*D*30+D^3,D=2
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徒手开n次方根的方法:
原理:
设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c（前一步的差与本段合成）;且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求2301781.9823406的5次方根:
第1步:
将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段（下面用'表示）;不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23（最高段）
第2步:
找b,条件:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:
a=1（计算机语言赋值语句写作a=10*a+b）,找下一个b,
条件:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c,即:
（10+b）^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:
a=18,找下一个b,
条件:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c,即:
（180+b）^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:
这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,（10*a+b）^n-（10*a）^n≈n*（10*a）^（n-1）*b,即:
b≈41221398234/n/（10*a）^（n-1）=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:
a=187,找下一个b,
条件:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c,即:
（1870+b）^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:
a=1872,找下一个b,
条件:
（10*a+b）^n-（10*a）^n<=c,即:
（18720+b）^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:
18.724......
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开立方
百科名片
求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。
最早在我国的九章算术中有对开立方的记载。
笔算开立方的方法
方法一
1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5．用同样方法继续进行下去。
方法二
第1、2步同上。
第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；
第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步，直到除尽。
编辑本段开方算法的历史记载
九章算术
《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：
二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。
开立方原文
开立方
〔立方适等，求其一面也。
〕
术曰：
置积为实。
借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百万之面百。
〕
议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
〔再乘者，亦求为方幂。
以上议命而除之，则立方等也。
〕
除已，三之为定法。
〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。
〕
复除，折而下。
〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。
开平幂者，
方百之面十；开立幂者，方千之面十。
据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，
折下一等也。
〕
以三乘所得数，置中行。
〔设三廉之定长。
〕
复借一算，置下行。
〔欲以为隅方。
立方等未有定数，且置一算定其位。
〕
步之，中超一，下超二等。
〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，
故又降一等也。
〕
复置议，以一乘中，
〔为三廉备幂也。
〕
再乘下，
〔令隅自乘，为方幂也。
〕
皆副以加定法。
以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。
〕
除已，倍下，并中，从定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅
连于三廉之端，以待复除也。
言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。
〕
复除，折下如前。
开之不尽者，亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。
〕[1]
编辑本段手算开根号原理
方法
1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a,a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。
2、首位a根用1～9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。
原理
正向乘方式：
m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。
因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。
】
逆向开方时：
m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；
如 二次方的s=2ab；
三次方的s=3abD【D=a+b】
五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。
】
其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。
即：
bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：
《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。
例如：
（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m=a3+b3+3abD【D=a+b】
所以：
（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：
3为上标。
特说明。
〗
其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。
但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。
因此成：
（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m=a3+b3+3abD【D=a+b】，
而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。
也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：
求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：
便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。
注意
m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！
而：
m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）=a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！
又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=a5+b5+5abD（D2-ab）
五次方的S=5abD（D2-ab）=5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。
而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD（D2-ab）=5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。
在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。
开立方公式
设A=X^3，求X。
这称为开立方。
开立方有一个标准的公式：
X（n+1）=Xn+（A/X^2-Xn）1/3（n，n+1是下角标）
例如，A=5，即求
5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。
例如我们取X0=1.9按照公式：
第一步：
X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9）1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+（-0.1716528）=1.7。
即取2位数值，即1.7。
第二步：
X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7）1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。
取3位数，比前面多取一位数。
第三步：
X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71）1/3=1.709.
第四步：
X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709）1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。
即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1=1.7>。
当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。
1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。
即
X（n+1）=Xn+（A/Xn−Xn）1/2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方之间。
我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。
第一步：
2.5+（5/2.5-2.5）1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+（-0.25）=2.25，取2位数2.2。
第二步：
2.2+（5/2.2-2.2）1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。
取3位数。
第三步：
2.23+（5/2.23-2.23）1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位数。
这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
5次方公式
这里顺便提一下5次方公式。
X（n+1）=Xn+（A/X^4-Xn）1/5.（n，n+1是下角标）
例如：
A=5;
5介入1的5次方至2的5次方之间。
2的5次方是32，5靠近1的5次方。
初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。
例如我们取中间值1.4；
1.4+（5/1.4^4-1.4）1/5=1.38
1.38+（5/1.38^4-1.38）1/5=1.379
1.379+（5/1.379^4-1.379）1/5=1.3797
计算次数与精确度成为正比。
即5=1.3797^5。
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立方表在没有计算机之前出现的时候，相对于手算开方，人们多用两种方法：
一种是牛顿迭代法，比如方程x^3－a＝0，先有一个x1和x2，其中x1^3-a<0，x2^3-a>0，在图像上把x1和x3两个点相连，和x轴有个交点，记为x3，那么x3相对于x1和x2接近所求的值，然后再连接x3和x2……这样下去迭代4～6次之后可以得到所要的精度，只需要乘法和触法的运算
另外一种方法是用多项式近似的方式，当求得一个数a的开三次方的时候，比a多一个小量x的开方
（a＋x）^1/3≈（a^1/3）（1＋x/3a），实际上使用更精确的公式来计算
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