小升初数学课程第六讲立体图形的特征及计算一.docx
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小升初数学课程第六讲立体图形的特征及计算一
第六讲立体图形的特征及计算
(一)
长方体与正方体
一、知识梳理
1、长方体和正方体的认识
要素
立体图形
棱
面
顶点
数量
特征
数量
特征
数量
特征
长方体
12
互相平行的棱长度相等
6
相对的面完全相同
8
同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高
特殊长方体
12
垂直于正方形面的棱长度相等
6
两个面是正方形,其余四个面是完全相同的长方形
8
正方体
12
所有的棱长度都相等
6
所有面都是正方形且完全相同
8
一个长方体至少可以有两个面是正方形,最多可以有6个面是正方形,但不会存在3个、4个、5个面是正方形
二、例题精讲
例1:
(1)判断和填空:
长方体的六个面一定是长方形;(×)
正方体的六个面面积一定相等;(√)
一个长方体(非正方体)最多有四个面面积相等;(√)
相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。
(√)
一个长方体中,可能有4个面是正方形。
( ×)
正方体是特殊的长方体。
(√)
有两个面是正方形的长方体一定是正方体。
( ×)
一个长方体中最少有4条棱长度相等,最多有8条棱长度相等。
(√)
(2)一个长方体最多有
(2)个面是正方形,最多有(8)条棱长度相等。
(3)一个长方体的底面是一个正方形,则它的4个侧面是(完全一样的长方)形。
(4)正方体不仅相对的面相等,而且所有相邻的面(相等 ),它的六个面都是相等的(正方)形。
(5)把长方体放在桌面上,最多可以看到(3)个面。
最少可以看到
(1)个面。
2、长方体与正方体的棱长总和公式
长方体棱长总和=(长+宽+高)×4长+宽+高=棱长总和÷4
长方体棱长总和=下面周长×2+高×4
长方体棱长总和=右面周长×2+长×4
长方体棱长总和=前面周长×2+宽×4
正方体棱长总和=棱长×12棱长=棱长和÷12
例2:
(1)看图,并填空单位:
厘米
这个长方体长(6)厘米,宽(3)厘米,高(4) 厘米。
由一个顶点引出的三条棱的长度和是(13)厘米。
棱长总和是( 52)厘米。
上下两个面是( 长方 )形。
(2)一个长方体的棱长总和是80厘米,其中长是10厘米,宽是7厘米,高是(3)厘米。
(3)有一个长方体的鱼缸,长50厘米,宽30厘米,高30厘米,需要在用铝合金包裹玻璃连接处,需要(4.4)米的铝合金
(4)把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是(16)厘米。
(5)至少需要(48)厘米长的铁丝,才能做一个底面周长是18厘米,高3厘米的长方体框架。
(6)一个长方体棱长和164cm,已知长方体的底面周长为72cm,长方体的高是多少cm?
答:
长方体的高是5cm.
(7)有一个礼盒需要用彩带捆扎,捆扎效果如图,打结部分需要10厘米彩带,一共需要多长的彩带?
答:
一共需要190cm的彩带.
3、长方体和正方体的表面积
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2=(a×b+a×c+b×c)×2
=(前面面积+上面面积+右面面积)×2
正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a2
=任意一个面的面积×6
两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体,表面积不一定相等!
表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体,棱长和也不一定相等!
例3:
(1)一个正方体的棱长总和是48分米,它的棱长是(4分米),表面积是(96平方分米)。
(2)一个长方体长6厘米,宽4厘米,高3厘米。
这个长方体上下两个面的面积各是( 24 )平方厘米,前后两个面的面积各是( 18 )平方厘米,左右两个面的面积各是(12 )平方厘米,表面积是(108)平方厘米。
(3)长方体的长是6厘米,宽是4厘米,高是2厘米,它的棱长总和是( 48 )厘米,六个面中最大的面积是( 24 )平方厘米,表面积是(88)平方厘米。
(4)一个正方体的底面积是64平方厘米,它的表面积是(384平方厘米)。
(5)一个正方体的底面周长是8厘米,它的表面积是(24平方厘米)。
4、长方体表面求法的变形:
1 贴商标类型:
只求四周面积。
例如:
一个长方体包装盒,长宽高分别为8,4,5cm,需要在包装盒四周贴上商标,需要商标纸的面积是多少?
答:
需要商标120平方厘米。
2 游泳池类型:
只求四周和底面。
例如:
一座游泳池,长宽高分别为10m,4m,1.5m,需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖,大约需要多少块瓷砖?
答:
大约需要8200块。
3 抽纸盒类型:
六个面面积减去缺口面积。
例如:
一款抽纸盒,长宽高分别是20cm,12cm,5cm,上面有长14cm,宽3cm的抽纸口,做这款抽纸盒需要多少硬纸片?
答:
做这款抽纸需要758平方厘米硬纸片。
4 占地面积问题:
只求底面面积。
例如:
一个长方体蓄水池,长12m,宽8m,深3m,这个水池占地面积多少平方米?
答:
这个水池占地面积96平方米。
5、棱长变化对表面积的影响:
Ø正方体
正方体的棱长扩大n倍,其棱长和也扩大n倍,表面积扩大n2倍,体积扩大n3倍。
Ø长方体
长方体的长宽高同时扩大n倍,其棱长和也扩大n倍,表面积扩大n2倍,体积扩大n3倍。
(1)大正方体棱长是小正方体棱长的2倍,则大正方体表面积是小正方体表面积的(4)倍。
(2)一个长方体的长、宽、高都扩大4倍,它的表面积就(扩大4倍)。
(3)一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后,其棱长和为(96)厘米,表面积为(384)平方厘米比原来扩大了(4倍)。
(5)一个长方体长扩大2倍,高扩大4倍,体积扩大(8)倍。
6、单位换算、体积和容积
长度单位:
mm、cm、dm、m相邻两个单位进率为10
面积单位:
mm2、cm2、dm2、m2相邻两个单位进率为100
体积单位:
mm3、cm3、dm3、m3相邻两个单位进率为1000
容积单位:
ml、l相邻两个单位进率为1000
特别的:
1ml=cm31l=1dm31方=1m³
不是同一类型的单位,数据不能比较大小,同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。
大单位化小单位乘以进率,小单位化大单位除以进率。
例4:
(1)3.2立方分米=(3200)立方厘米
9立方米500立方分米=(9.5)立方米=(9500)立方分米
3.6升=(3600)毫升=(3600)立方厘米
2100毫升=( 2100)立方厘米=( 2.1)立方分米
(2)一个水池能装水400立方米,这是指(水池的容积),占地2公顷指的是(水池的占地面积)。
一块橡皮擦的体积约是8(立方厘米)。
一本书的封面约是2(平方分米)。
7、长方体与正方体的体积
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高V=abh
长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a
例5:
(1)一个正方体棱长2厘米,体积是( 8 )立方厘米,如果这个正方体的棱长扩大2倍,它的体积是( 64 )立方厘米。
(2)长方体的长为12厘米,高为8厘米,阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?
答:
这个长方体的体积是960立方厘米。
(3)一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形,它的表面积是96平方分米,这个长方体的体积是多少?
答:
这个长方体的体积是64立方分米。
(4)有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米,宽为3分米,高为3分米里面装有2.5分米高的水,现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中,请问是否可以装得下这么多水?
如果装得下正方体鱼缸内的水有多高?
答:
装得下,水高3.06分米.
8、长方体与正方体的容积
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容积。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升
容积和体积的差异
相同点
不同点
容积
计算公式相同
V=sh
V=abh
从容器内部测量
容积指容器内部体积
计量单位通常为L、ml
体积
从容器外部测量
体积指容器外部体积,或所容纳物体的体积
计量单位通常为m、dm、cm、mm
容积和体积的大小关系
一般情况下视为容积等于体积,其前提条件是容器壁厚度忽略不计。
在考虑容器壁厚度的情况下,容积是比体积小的。
体积大于或等于容积
例6:
(1)一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米,,从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米,这个鱼缸的容积是(34.104立方分米),体积是(37.5立方分米),如果鱼缸中装满水,水的体积是(34.104立方分米)。
(2)一个仓库能容纳150立方米的大米,这个仓库的(容积)是150立方米。
9、正方体的展开图
1-4-1型(4种)
2-3-1型(3种)
2-2-2型(1种)
3-3型(1种)
10、表面涂色的正方体
正方体的6个面涂上了红色,每条棱被平均分成了n份,则有
(1)三面涂色的小正方体有(8)个;
(2)两面涂色的小正方体有(
)个;
(3)一面涂色的小正方有(
)个;
(4)零面涂色的小正方体有(
)个
3、课堂总结
长方体和正方体学习内容主要集中侧面积、表面积和体积方面,要求学生对相关运算公式的识记运用较高,必须勤学苦练不断积累方能提升解题应答能力。
四、课后作业
1、求下面长方体、正方体的棱长总和,表面积和体积。
5分米
4厘米
5分米
3厘米
8厘米
5分米
这个长方体的棱长总和是(60)厘米。
这个正方体的棱长总和是(60)分米。
表面积:
表面积:
体积:
体积
2、24平方分米=(0.24)平方米3dm3=(3)L
528毫升=( 528)立方厘米=( 0.528)立方分米
3、一个正方体的棱长总和是96厘米,则这个正方体的表面积是(384)平方厘米,体积是(512)立方厘米
4、正方体的棱长扩大2倍,表面积就扩大( 4)倍,体积扩大(8)倍。
A、 2倍 B、 4倍 C、 8倍
5、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体,
表面积会减少了(16)平方厘米。
6、一个长方体棱长和164cm,已知长方体的左面周长为40cm,长方体的长是多少cm?
答:
长方体的长是21厘米.
7、一个长方体的水池,从里面量长是7.5米,比高长2.1米,宽比高多1.4米,若水池里的水面距水池底0.82米,水池里蓄了多少升水?
答:
水池里蓄了41820升水.
8、一个长方体水槽,长宽高分别是40厘米、30厘米、25厘米,里面装有水,水面的高度是15厘米,把一个不规则的物体放到水里,完全淹没,这时水面上升到17厘米,求这个物体的体积?
答:
这个物体的体积是2400平方厘米.
9、一个长方体,如果沿着高减少4厘米,就变成一个正方体,这时,表面积比原来减少112平方厘米,原来长方体的体积是多少立方厘米?
答:
原来长方体的体积是539立方厘米.