用首次积分法求DrinfeldSokolovWilson方程的精确解本科毕业论文.docx
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用首次积分法求DrinfeldSokolovWilson方程的精确解本科毕业论文
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2015年度本科生毕业论文（设计）
用首次积分法求Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确解
院－系：
数学学院
专业：
数学与应用数学
年级：
2011级
学生姓名：
熊志海
导师及职称：
何斌（教授）
2015年4月
2015AnnualGraduationThesis（Project）oftheCollegeUndergraduate
TheFirstIntegralMethodfor
SolvingExactSolutionsofDrinfel’d-Sokolov-Wilsonequation
Department:
CollegeofMathematics
Major:
MathematicsandAppliedMathematics
Grade:
2011
Student’sName:
XiongZhihai
Tutor:
HeBin（Professor）
April,2015
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：
日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：
指导教师签名：
日期：
日期：
熊志海毕业论文（设计）答辩委员会（答辩小组）成员名单
姓名
职称
单位
备注
李绍林
副教授
数学学院
组长
何斌
教授
数学学院
组员
刘伟
讲师
数学学院
组员
摘要
这篇文章利用首次积分法对Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程进行了研究，并借助前人某些辅助方程的研究结果得到了一些该方程在不同的参数条件下的精确解，其中包括各种行波解、椭圆函数解、双曲函数解等，显示了运用首次积分法求解非线性偏微分方程的有效性．结合辅助方程求解所得到的结果更为丰富，能解决一些其他学科所面临的不能解决的难题，非常具有理论价值和实用价值．因此能否求解或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发展，越来越多的科学工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣．论文由四章组成：
第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展和研究现状，提出了本课题的研究意义和研究内容．第二章介绍了首次积分方法的思想和具体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善．第三章是利用首次积分方法求解Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程组并得到了方程的一些新的精确解．第四章是对本文所作的工作进行一个简单总结与展望．
关键词：
Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程；首次积分法；辅助方程；精确解
ABSTRACT
Inthispaper,weapplyusingthefirstintegralmethodsolvetheDrinfel’d-Sokolov-Wilsonequation,andusingtheresultofauxiliaryequationtosolvetheDrinfel’d-Sokolov-Wilsonequationdirectly.Underdifferentparametricconditions,sosomespecialexacttravelingwavesolutionsareobtainedfortheequation.Meanwhile,itimpliestheeffectivenessofthefistintegralmethodtosolvethenonlinearpartialdifferentialequationgs.Itistheresultofcombinationofauxiliaryequationismoreabundant,cansolvesomeoftheothersubjectsfacingcan'tsolvetheproblem,veryhasthetheoryvalueandpracticalvalue.Thereforewhetherorhowtosolvethenonlineardifferentialequation,withthedevelopmentofscientificresearch,agrowingnumberofscientificworkersinthisareaofresearchhaveexpressedgreatinterest.Thepaperconsistsoffourchapters:
thefirstchaptermainlyintroducesthenonlinearpartialdifferentialequationoftheresearchbackground,researchprogressandpresentsituation,proposedthistopicresearchsignificanceandresearchcontent.Thesecondchapterintroducestheideasandconcretestepsofthefirstintegralmethod,andaddedtotheposteritytothismethod.ThethirdchapterisusingthefirstintegralmethodforsolvingDrinfel'd-Sokolov-Wilsonequationsobtainedsomenewexactsolutionsoftheequations.Thefourthchapteristheworkofthispapermadeasimplesummaryandprospect.
Keywords:
Drinfel’d-Sokolov-Wilsonequation;thefirstintegralmethod;auxiliaryequation;exactsolution
目录
1.绪论1
1.1研究背景及意义1
1.2非线性方程的研究现状1
1.3本文的主要内容2
2.首次积分法的思想和基本步骤3
2.1首次积分与除法定理3
2.2首次积分方法的步骤4
3.首次积分法求解Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程6
3.1Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程6
4.总结与展望25
参考文献26
附录28
致谢31
用首次积分法求Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确解
1.绪论
1.1研究背景及意义
在数学里，有一种非线性关系，那就是非线性现象．越来越多科学问题的研究，都离不开对非线性偏微分方程和非线性常微分方程的描述与研究，它广泛应用于地球科学、生命科学、工程技术、和应用数学的众多分支当中，如流体力学、基本粒子物理、非线性光学、地球化学、生物学等等，因此能否求解或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发展，越来越多的科学工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣．
由于非线性科学研究的深入和发展，人们对非线性现象的分析，从早期的只是从理论上对一些比较简单的非线性现象作了线性近似，到现在随着科学技术的发展，非线性科学也得到了迅速的发展．人们普遍认识到，非线性科学不仅是出于自然科学前沿的学科，而且是一门研究非线性现象共性的交叉学科，因此它又被誉为20世纪以来，继相对论和量子力学之后的第三次“科学革命”．
越来越多的数学家和物理学家能够在前人的基础上不断的研究出求解非线性方程的新方法，得到的新的精确解能够帮助他们发现新的现象，从而解决一些相关的问题．研究精确解也能作为数值分析中求近似解的基础，解决一些其他学科所面临的不能解决的难题，因此求解非线性方程的精确解是非常具有理论价值和使用价值的．
1.2非线性方程的研究现状
近年来，由于计算机的进步和发展，加快了非线性科学的发展．经过多年的研究，目前求非线性微分方程的精确解已经发展了许多方法.如：
广田提出的双线性方法[1]，Gardner,Greene,Miura等发现的反散射法[2]，王明亮教授和李志斌教授提出的齐次平衡法[3]，Malfliet提出的双曲正切函数法[4]，张鸿庆提出以代数化思想求解微分方程的理论，闫依据双曲函数法的构造思想提出了sine-cosine方法．Liu等人提出的雅克比椭圆函数展开法[6]，冯兆生教授运用可交换的代数理论，基于除法定理和Hilbert零点定理提出的首次积分方法该方法求得了很多非线性偏微分方程大量的精确解，例如Burgers-KdV方程[7]，维空间中一种近似的Sine-Gorden方程[8]，（2+1）维Burgers-KdV方程[9]，Zhang等人在椭圆函数展开法和双曲正切函数法的基础上提出的F-展开法[10]．
1.3本文的主要内容
本文利用首次积分法[7]并结合除法定理讨论了Drinfel’d-Sokolov-wilson组的精确解，给出在首次积分中的次数为1和2两种情况下方程的行波解．特别地，并结合参照文献[14,15]得到更多Drinfel’d-Sokolov-wilson的行波解．
论文由四章组成，第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展和研究现状，提出了本课题的研究意义和研究内容．第二章介绍了首次积分方法的思想和具体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善，第三章是利用首次积分方法求解drinfel’d-Sokolov-wilson方程组得到了方程的一些新的精确解，第四章是对本文所作的工作进行一个简单总结与展望．
2.首次积分法的思想和基本步骤
首次积分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一个首次积分进而求得偏微分方程的精确解[16],该方法是冯兆生于2002年提出[7]．其主要思想是：
首先作变换，将原偏微分方程（组）转化为常微分方程（组），然后通过积分，并作相应的计算，将方程组转化为二阶的常微分方程，再次作变换，将方程转化为一个常微分方程组，最后利用多项式整出原理，并借助于数学软件求出方程组的一些精确解．
2.1首次积分与除法定理
首次积分：
例如一阶常微分方程：
（2-1）
将（2-1）变量分离得到
（2-2）
两边积分得
（2-3）
因此（2-1）的通解为
（2-4）将原方程的任一解代入（2-4）得到恒等式
（2-5）
则（2-5）就成为原方程的一个首次积分.
以上结果很容易推广到一阶常微分方程组：
（2-6）如果（2-6）的任何一个解使得连续可微的函数
成立，则称为方程组（2-6）的个首次积分
除法定理：
设式复数域上的多项式，并且在复数域上不可约，如果在的所有零点处都有，那么存在复数域上的多项式使得．
2.2首次积分方法的步骤
步骤一：
设非线性偏微分方程
（2-7）通过行波变换
可化为下列二阶常微分方程：
.（2-8）步骤二：
引进新的独立变量此时将常微分方程（2-8）化为一阶常微分方程组
（2-9）
如果在相同条件下能获得（2-9）的一个首次积分，则可直接获得它的一般解．但通常情况下，这是非常难实现的，因为对于一个给定的平面自治系统，既没有一个系统的理论，也没有一种常规方法来获得它的一个首次积分．因此可以利用除法定理找到（2-9）的一个首次积分，它可以将（2-9）化成一阶可积的常微分方程组，然后直接积分就可以得到原方程的精确解．
步骤三：
设首次积分为
（2-10）其中是复数域上关于的待定多项式．由除法定理知在复数域上存在多项式使得
（2-11）通过方程（2-11）可以确定多项式，从而求出的表达式．在通常情况下假设如有，与已知条件矛盾，直接考虑下一种情况．在文献[18]中，当时遇到，此时将所得结果
代入首次积分，依然得到了原方程的精确解．本文如遇到此种情况，借鉴了该方法．
步骤四：
将代入方程组，求解常微分方程就可得到原方程的精确解．
3.首次积分法求解Drinfel’d-Sokolov-wilson方程
3.1Drinfel’d-Sokolov-wilson方程
考虑Drinfel’d-Sokolov-wilson方程：
（3-1）
假设方程组（3-1）具有如下形式的行波解：
（3-2）将（3-2）代入（3-1）得到
（3-3）
（3-4）（3-3）式对积分一次，积分常数为得；
（3-5）将（3-5）代入（3-4）得到方程组（3-1）的等价方程
（3-6）
对（3-6）再对积分一次得，并令=0得到方程组（3-1）的等价方程
（3-7）
令则方程（3-6）等价于
（3-8）假设是方程组（3-8的非平凡解，
是复数域中不可约多项式，满足
（3-9）
其中是关于的待定多项式，则（3-9）称为（3-8）的首次积分．
下面就和两种情况进行讨论．
情形一
设，由（3-9）得到
（3-10）
注意到的多项式，并且必然有根据除法定理，在复数域中存在一个多项式使得
（3-11）即
比较上式两边的各次幂系数，得到
（3-12）
（3-13）
（3-14）由方程（3-12）可得出是常数且不失一般性，可以
从而方程（3-13）、（3-14）化为
（3-15）
（3-16）平衡的次数，可以得到的次数只能为，否则如果
由方程（3-15）推出方程（3-16）推出与矛盾．类似的如果可以推出由方程（3-16）推出矛盾．
设由方程（3-15）得
（3-17）其中是积分常数．将代入方程（3-15）并取的系数为
零，得到
（3-18）
解方程组（3-18），可得
（3-19）
将（3-19）代入（3-10）式，得到方程组（3-8）的一个首次积分
（3-20）
两边平方得
（3-21）
利用辅助方程
，通过查表一，知，当
（3-22）
时，即
，方程（3-1）的解为
（3-23）
当时，解（3-23）变为
（3-24）当时，解（3-23）变为
（3-25）
当
（3-26）即，方程（3-1）的解为
（3-27）
且当时，解（3-27）变为
（3-28）
当
（3-29）
即
，方程（3-1）的解为
（3-30）
且当时，解（3-30）变为
（3-31）
当时，解（3-30）变为
（3-32）
当
（3-33）
即
，方程（3-1）的解为
（3-34）
且当时，解（3-34）变为
（3-35）
当
（3-36）
即
，方程（3-1）的解为
（3-37）
且当时，解（3-37）变为
（3-38）
当时，解（3-37）变为
（3-39）
当
（3-40）
即
，方程（3-1）的解为
（3-41）
且当时，解（3-41）变为
（3-42）
当时，解（3-41）变为
（3-43）
当
（3-44）
即
，方程（3-1）的解为
（3-45）
且当时，解（3-45）变为
（3-46）
当
（3-47）
即
，方程（3-1）的解为
（3-48）
且当时，解（3-48）变为
（3-49）
情形二
设，由（3-8）得到
（3-50）
方程（3-50）变
比较上式左右两边的各次幂系数得到：
的系数:
（3-51）
的系数：
（3-52）
的系数：
（3-53）
的系数：
（3-54）由方程（3-52）可得出必为常数且，不失一般性，取
第一种情形：
当；时，取，，代入到（3-51）（3-52）、（3-53）、（3-54）得
（3-55）
（3-56）
求得
（为常数），将代入（3-50）得到
（3-57）
令
，则当
（3-58）
即
方程（3-1）有解为
（3-59）
且当时，解（3-59）变为
（3-60）
当时，解（3-59）变为
（3-61）
当
（3-62）
即
，方程（3-1）的解为
（3-63）
且当时，解（3-63）变为
（3-64）
当时，解（3-63）变为
（3-65）
当
（3-66）
即
，方程（3-1）的解为
（3-67）
且当时，解（3-67）变为
（3-68）
当
（3-69）
即
，方程（3-1）的解为
（3-70）
且当时，解（3-70）变为
（3-71）
当时，解（3-70）变为
（3-72）
当
（3-73）
即
，方程（3-1）的解为
（3-74）
且当时，解（3-74）变为
（3-75）
当时，解（3-74）变为
（3-76）
当
（3-77）
即
，方程（3-1）的解为
（3-78）
且当时，解（3-78）变为
（3-79）
当
（3-80）
即
，方程（3-1）的解为（3-81）
且当时，解（3-81）变为
（3-82）
当时，解（3-81）变为
（3-83）
当
（3-84）
即
，方程（3-1）的解为
（3-85）
且当时，解（3-85）变为
（3-86）
当时，解（3-85）变为
（3-87）
当
（3-88）
即
方程（3-1）的解为
（3-89）
且当时，解（3-89）变为
（3-90）
当时，解（3-89）变为
（3-91）
当
（3-92）
即
，方程（3-1）的解为
（3-93）
且当时，解（3-93）变为
（3-94）
当
（3-95）
即
，方程（3-1）的解为
（3-96）
且当时，解（3-96）变为
（3-101）
当时，解（3-96）变为
（3-102）
当
（3-103）
即
，方程（3-1）的解为
（3-104）
且当时，解（3-104）变为
（3-105）
第二种情况，取，，代入到（3-51）（3-53）（3-54）化简
（3-106）
（3-107）
（3-108）
平衡的系数可得或；因为如果由（3-51）推出,由（3-52）推出从（3-50）知两边的次数项系数是得到．
当时，不妨设，代入到（3-107）可得到
（3-109）
其中为常数，将代入到（3-105）化简并取的系数为零得到
（3-110）
解得
，因此可知
（3-111）
代入（3-50）得
（3-112）
将（3-111）两边平方得
（3-113）
满足辅助方程
，当有时，表三就是这个方程的解．
由（3-113）可知令
由此知因此查表三可知，当时，方程（3-1）的解为
（3-114）
（3-115）
当只需要时，即，即时，方程（3-1）的解为
（3-116）
（3-117）
（3-118）
当时，即时，方程（3-1）有解为
（3-119）
（3-120）
4.总结与展望
本文利用首次积分法求得Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确行波解，从开题到完成整个过程并非一帆风顺，虽然许多常见的非线性波动方程均可用这种方法处理.但是大部分是很难得到首次积分，而且同一个方程可能得到的首次积分会不一样，也就是不唯一，但是如果得到了首次积分，运用首次积分方法可以方便、快捷地求出某些非线性演化方程的精确孤波解，与传统方法较之主要的优势是避免了大量复杂和繁琐的计算，提供精确和简单行波解的表达式．因此首次积分法在解决某些非线性方程的复杂孤波解时是一种有效并且有着巨大潜力的方法．
本文的研究只是初步很浅的得到一些精确解，只研究了m=1和m=2两种情况，当m=3时情况就会更加复杂，首次积分的形式可能会更多，得到的精确解应该会更多，但是由于本人的实力有限，很难得到m=3的首次积分，实在很遗憾，这要是首次积分的不足之处，也许在不久的将来，会有人在这一方面做出突破，得到更好的结果．
对于本文的工作，作者提出以下三方面的后续研究：
第一：
能否系统的归纳出那些方程可以运用首次积分法求解会简单方便．
第二：
关于首次积分法能否结合其他的一些辅助方程方法得到更为精确的解．
第三：
当m比较大是能否有所突破使得计算推演更为简便快捷．
参考文献
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