非线性迭代.docx
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非线性迭代
数学实验与数学建模
实验报告
学院：
理学院
班级：
数学
学号：
姓名：
实验名称：
非线性迭代
指导教师：
填写日期：
2012年5月
探索实验二非线性迭代-4-
一、实验指导书解读-4-
二、实验计划-4-
2.1迭代序列与不动点-4-
2.2Logistic映射与混沌-5-
2.3方程求根-7-
2.4分形-9-
三、实验过程与结果-10-
25x_85
3.1研究函数y二不动点-10-
x3
3.2Logistic映射与混沌-17-
3.3对于方程x3—2x+1=0求根（1,直接求。
2,牛顿切线法）-23-
3.4分形-26-
四、实验总结-26-
实验报告评语-27-
南通大学理学院
实验报告
实验日期：
2012年5月12号
班级：
数学师范101
探索实验二非线性迭代
一、实验指导书解读
迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。
蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。
本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）
而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。
二、实验计划
2.1迭代序列与不动点
1.1程序
给定实数域上光滑的实值函数f（x）以及初值Xo，定义数列
Xn1=f（Xn）,n=0,1,2,（2.2.1）
{Xn}称为f（X）的一个迭代序列。
函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数f（x）的不动点。
对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它一一’蜘蛛网”。
运行下列Mathematica程
序：
Clear[f]
f[x_]:
=（25*x-85）/（x+3）;（实验时需改变函数）
Solve[f[x]==x,x]（求出函数的不动点）
g1=Plot[f[x],{x,-10,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];
g2=Plot[x,{x,-10,10},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],
DisplayFunction->Identity];
x0=5.5;r={};
r0=Graphics[{RGBColor[0,0,1],
Line[{{x0,0},{x0,x0}}]}];
For[i=1,i<=100,i++,
r=Append[r,Graphics[{RGBColor[0,0,1],
Line[{{x0,x0},
{x0,f[x0]},{f[x0],f[x0]}}]
xO=f[xO]
（PlotRange控制图形上下范围）
]；
Show[g1,g2,r,rO,PlotRange->{-1,20},DisplayFunction->$DisplayFunction]x[0]=x0;
x【i_]：
=f[x【i-1]];（定义序列）
你能得出什么结论?
t=Table[x[i],{i,1,10}]//NListPlot[t]（散点图）
如果只需迭代n次产生相应的序列，用下列Mathematica程序:
lterate[f_,x0_,n_lnteger]:
=
Module[{t={},temp=x0},AppendTo[t,temp];For[i=1,i<=n,i++,temp=f[temp];
AppendTo[t,temp]];
t
]
f[x_]:
=（x+2/x）/2;
Iterate[f,0.7,10]
1.2实验思路
25x_85
首先对函数y=研究不动点，需要
x+3
（1）对Plot中｛x,-10,20｝可改为｛x,-50,50｝;对PlotRange中｛-1,20｝可改为｛-50,50｝;
（2）x0=5.5中5.5分别改为-30,-20,-5,-3.001,-2.999,-1,0,1,1.5,2.5,4,4.5,4.9,4.999,5,5.1,5.001,6,10,16,17,18,20,30;
（3）对t=Table[x[i],｛i,1,10｝]//N中10分别改为100,200,500,1000;
（4）对i<=100中100分别改为200,500,1000。
运行程序后观察蛛网图与散点图！
一看数列是否收敛？
如收敛，极限是多少？
收敛速度是快是慢？
二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？
与平衡点处曲线的斜率有没有关系？
三看初值对结果有没有影响？
其次，分别就f（x）=sinx,f（x^-x1等函数利用（2.2.1）做迭代序列｛&｝，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。
2.2Logistic映射与混沌
2.2.1程序
从形如fx=ax1-x的二次函数开始做迭代
Xk1—fXkk=0,1,（2.2.2）
这里，a「0,4是—个参数。
对不同的a系统地观察迭代（2.2.2）的行为。
Mathematica程序:
IterGeo[a_,x0_]:
=
Module[
{p1,p2,i,pointlist={},v=x0,fv=a*x0*（1-x0）},
p1=Plot[{a*x*（1-x）,x},{x,0,1},DisplayFunction->Identity];AppendTo[pointlist,{x0,0}];
For[i=1,i<20,i++,AppendTo[pointlist,{v,fv}];
AppendTo[pointlist,{fv,fv}];
v=fv;fv=4*v*（1-v）];
p2=ListPlot[pointlist,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
Show[{p1,p2},DisplayFunction->$DisplayFunction]
]
lterGeo[2.6,0.3]
将区间（0,4]以某个步长离散化，对每个离散的a值做迭代（2.2.2）,忽略前50个迭代值，
而把点a,X51，a,&,…，a,%显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。
Mathematica
程序：
Clear[f,a,x];f[a_,x_]:
=a*x*（1-x）;
x0=0.5;r={};
Do[
For[i=1,i<=300,i++,
x0=f[a,x0];
If[i>100,r=Append[r,{a,x0}]]
],
{a,3.0,4.0,0.01}];
ListPlot[r]
从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。
实际上，对任何初始值做迭代
都会得到同样的结果。
这就是所谓的混沌现象。
迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些
基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。
所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。
这
是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。
在Logistic映射中，取a=4，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观
察结果后回答问题：
在迭代过程中它们逐渐分开吗？
如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01,0.001,
结果会如何？
由此得出，函数fx4x1_x的迭代对初值是否敏感？
其Mathematica程序：
Sensitivity[n_lnteger,x01_,x02_]:
=
Module[
{pilist={},i,temp1=x01,temp2=x02},
For[i=1,i<=n,i++,temp1=4*temp1*（1-temp1）;
temp2=4*temp2*（1-temp2）;
AppendTo[pilist,{i,temp2-temp1}];
];
ListPlot[pilist,PlotJoined->True]
]
Sensitivity[50,0.1,0.1001]
一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。
但是，混沌不等于随机。
实
际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。
这正验证了哲学上的名言：
有序中包含了无序，无序
中包含着有序。
其Mathematica程序：
distrib[n_lnteger,m_lnteger,x0_]:
=
Modulei；Lcriip-池gl•一Ttibl叩町i”叫叫卄+.lcmp-4*lcinp*（l-temp）;
II]tetnpI]|—$「[FlMijLewph】]一I]]|++]];
f[k_]:
=Graphics[{GrayLevel[0.5],Rectangle[{k-0.5,0},{k+0.5,c[[k]]}]}];
^l-Tublcfnk|,{k.I,til||:
SIhjw|u1.Axc：
>Trllc,?
IolT.abcl->"x0=0.4"];]
n=100;m=20;x0=0.4;distrib[n,m,x0]
另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。
将这些窗口放大可以看到令人振
奋的自相似现象，同时还有许多周期轨道。
在Feigenbaum图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿
过的空白带，它是一个周期为3的窗口”。
你能找到其它窗口吗？
它们的周期是什么？
窗口里有什么图案？
这些窗口跟上题的第二问中的k周期轨道有什么关系？
运行下列程序，听一听混沌的声音
PlayChaos[n」nteger,x0_]:
=
Module[
{t={},i,temp=x0},
For[i=1,i<=n,i++,temp=4*temp*（1-temp）;
AppendTo[t,Floor[temp*100]]];
ListPlay[t,PlayRange->{0,100},SampleRate->5]
]
帐篷函数”和锯齿函数”。
和函数fx二ax1_x—样有着混沌行为的函数还很多。
其中较简单的有
帐篷函数”Tx定义为
容易验证，帐篷函数和锯齿函数有下列关系:
TTx=TSx0_x_1
2-tx
令hx=sin—，帐篷函数与fx=4x1-x有下列关系:
fkhx=hTkx
2.2.2实验思路
就Logistic映射，对a=0.5,1,1.2,2,2.1,2.9,2.999,3,3.001,3.2,3.2
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