最新北师大版八年级下册数学全章热门考点整合应用.docx

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最新北师大版八年级下册数学全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用

名师点金：

三角形的证明是中考的必考点，考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主．主要考查等腰三角形、直角三角形中角度、边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系，利用线段的垂直平分线、角的平分线的性质作图也是常见的题型．本章考点可概括为：

三个概念，六个性质，四个判定，四个技巧，一个应用．

三个概念

反证法

1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　）

A．有一个锐角小于45°　B．每一个锐角都小于45°

C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°

2．求证：

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．

互逆命题

3．有下列这些命题：

①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．

（1）③和⑤是互逆命题吗？

（2）你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？

（3）请指出哪几个命题是互逆命题．

互逆定理

4．下列三个定理中，存在逆定理的有（　　）个．

①有两个角相等的三角形是等腰三角形；

②全等三角形的周长相等；

③同位角相等，两直线平行．

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

5．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）等角的补角相等．

六个性质

全等三角形的性质

6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．

（第6题）

等腰三角形的性质

7．【2017·绍兴】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.

（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.

②求α，β之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？

若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，请说明理由．

（第7题）

等边三角形的性质

8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：

BD＋CD＝AD.

（第8题）

直角三角形的性质

9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．

（第9题）

线段垂直平分线的性质

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：

CM＝2BM.

（第10题）

角平分线的性质

11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：

BC＝2AB.

（第11题）

四个判定

三角形全等的判定

12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥DE.

（第12题）

等腰（边）三角形的判定

13．【2017·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC，求证：

△BDE是等腰三角形．

（第13题）

直角三角形的判定

14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．

（第14题）

线段的垂直平分线与角平分线的判定

15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．

（1）求证：

点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

（第15题）

四个技巧

构造全等三角形

16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：

AB＝CD.

（第16题）

构造等腰三角形的“三线合一”

17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．

（第17题）

构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段

18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：

DF＝DC.

（第18题）

构造角平分线上的点到角两边的垂线段

19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：

DE平分∠ADC.

（第19题）

一个应用——最短路线的应用

20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．

（第20题）

答案

1．D

2．证明：

假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．

3．解：

（1）由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．

（2）③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.

（3）①与④、②与⑥分别是互逆命题．

4．C

5．解：

（1）逆命题：

三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理．

（2）逆命题：

如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角，原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．

6．解：

∵∠D＝25°，∠AED＝105°，

∴∠DAE＝50°.

又∵△ABC≌△ADE，

∴∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠BAC＝∠DAE＝50°.

∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.

∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，

∴∠DFB＝∠BAD＝60°.

7．解：

（1）①20°；10°

②设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y.

在△DEC中，y＝β＋x，

在△ABD中，α＋x＝y＋β，

∴α＝2β.

（2）存在．如图，当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，

（第7题）

设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，

在△ABD中，x＋α＝β－y，

在△DEC中，x＋y＋β＝180°，

∴α＝2β－180°.

8．证明：

∵△ABC，△BDE均为等边三角形，

∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.

∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.

即∠ABE＝∠CBD.

在△ABE与△CBD中，

∴△ABE≌△CBD（SAS）．

∴AE＝CD.

又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，

∴BD＋CD＝AD.

点拨：

利用等边三角形的性质证明线段间的和差关系问题时，往往结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证．

9．解：

∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，　

∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°.

10．证明：

如图，连接AM.

∵MN是AB的垂直平分线，

∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.

又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°.

∴∠MAB＝30°.

∴∠MAC＝90°.

∵∠C＝30°，∴CM＝2AM.

∴CM＝2BM.

（第10题）

11．证明：

因为DE是BC的垂直平分线，

所以BE＝EC，DE⊥BC.

因为∠A＝90°，所以DA⊥AB.

又BD是∠ABC的平分线，

所以DA＝DE.

又BD＝BD，

所以Rt△ABD≌Rt△EBD.

所以AB＝BE.所以BC＝2AB.

12．证明：

（1）∵AC⊥BC，DF⊥EF，

∴∠ACB＝∠DFE＝90°.

∵BC＝EF，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴∠B＝∠DEF.

∴AB∥DE.

13．证明：

如图，∵DE∥AC，

∴∠1＝∠3.

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2.

∴∠2＝∠3.

∵AD⊥BD，

∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.

∴∠B＝∠BDE.

∴△BDE是等腰三角形．

（第13题）

14．解：

（1）AP＝CQ.

证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝CB，∠ABC＝60°.

∵∠PBQ＝60°，

∴∠ABC＝∠PBQ.

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.

即∠ABP＝∠CBQ.

又BP＝BQ，

∴△ABP≌△CBQ.

∴AP＝CQ.

（2）△PQC是直角三角形．

理由如下：

由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，

可设PA＝3a（a>0），

则PB＝4a，PC＝5a.

在△PBQ中，

∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，

∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.

又由

（1）知CQ＝PA.

∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.

∴△PQC是直角三角形．

15．

（1）证明：

如图，过点O作OM⊥AB于点M.

∵四边形OECF是正方形，

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.

∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.

∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，

∴点O在∠BAC的平分线上．

（第15题）

（2）解：

∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.

设OE＝x.

易得AF＝AM＝5－x，

BE＝BM＝12－x.

∵BM＋AM＝AB＝13，

∴12－x＋5－x＝13.

解得x＝2.∴OE＝2.

16．证明：

方法一：

如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.

∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，

EF＝DE，

∴△BEF≌△CED（SAS）．

∴BF＝CD，∠F＝∠CDE.

又∵∠BAE＝∠CDE，

∴∠F＝∠BAE.

∴BF＝AB.∴AB＝CD.

（第16题）

方法二：

如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，CG⊥AE，交AE于点G.

∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，

∴△BEF≌△CEG（AAS）．

∴BF＝CG.

又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，　

∴△ABF≌△DCG（AAS）．

∴AB＝CD.

方法三：

如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则∠BAE＝∠F.

∵∠BEA＝∠CEF，BE＝CE，

∴△BEA≌△CEF（AAS）．

∴AB＝FC.

又∵∠D＝∠BAE，∴∠F＝∠D.

∴FC＝CD.∴AB＝CD.

17．解：

AB＝AC.理由：

因为AD＝AE，所以△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线，又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.

又因为BD＝CE，所以BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.

所以AF是线段BC的垂直平分线．

所以AB＝AC.

18．证明：

如图，连接AP.

∵PQ是线段AB的垂直平分线，

∴PA＝PB.∴∠B＝∠PAB＝22.5°.

∴∠APC＝45°.

∴△ADP为等腰直角三角形．

∴DP＝AD.

又∠FPD＋∠PFD＝90°，∠AFE＋∠DAC＝90°，∠PFD＝∠AFE，

∴∠FPD＝∠CAD.

又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，

∴△PDF≌△ADC.

∴DF＝DC.

（第18题）

19．证明：

如图，过点E作EF⊥AD于点F.

∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，

∴BE＝FE.

∵E为BC的中点，

∴BE＝CE.

∴FE＝CE.

又∵EF⊥AD，EC⊥DC，

∴DE平分∠ADC.

（第19题）

点拨：

构造辅助线的方法：

当根据题意可直接或间接地说明有角平分线时，常过角平分线上的某点向角的一边（两边）引垂线段，利用角平分线的性质和判定进行证明．

20．解：

如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．理由如下：

在直线l上任找一点C′（异于点C），连接CA，C′A，C′A′，C′B.

因为点A，A′关于直线l对称，所以直线l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′.所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B

（第20题）