数列单元测试题1.docx
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数列单元测试题1
数列单元测试题
(1)
数列测试题答案 班次___ 学号____ 姓名___________________ 一、基础过关
(一)选择题 n 1.若数列{an}的通项公式是an=,则数列{an}是(B) n+1A.递减数列C.摆动数殓 2 B.递增数列D.常数列 2.数列{-n+11n-30}的最大项是(C)A.第5项 B.第6项 C.第5项和第6项D.第4项和第5项.3.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为(D)或7 或5 或-1 或-1.4.某工厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起五年内这个工厂的总产值(D) (-1)a% % B. (-1)a.% % 5.制造某种产品,计划经过两年后要使成本降低36%,则平均每年应降低成本(D)
(二)填空题 186.已知数列{an},a1=1,an=1+(n∈N,n≥2),则a5=_________.an-15d31599 7.已知数列{an}的通项公式为an=cn+,且a2=,a4=,则a10=______. n24108.写出下列数列的一个通项公式:
(1)3,8,15,24,35,……;246810
(2),-,,-,,……. 315356399
(1)an=n(n+2); 2n . (2n)2-1 9.已知等比数列(an)中,a3=1,a8=32,则a12=___512___.
(2)an=(-1) n+1 1 10.某种产品平均每三年降低价格的,目前售价为270元,9年前此产品的价格为__640__. 411.1·2+2·4+3·8+…+10·210=__18434_. 12.已知数列{an}中,an=2n+2n-1,则前n项和Sn=__n2+2n+1-2__. 二、技能提升
(一)选择题 13.三个从小到大的数构成公差为6的等差数列,且它们的和等于它们的积,则此三个数是(D)-6,3,3+6-6,3,3+6或-3-6,-3,-3+6C.-6,0,6; D.-6,0,6或3-6,3,3+6或-3-6,-3,-3+614.已知数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列,则数列①?
2a{an+an+1}中,等比数列的个数为(B). 提示:
②、③、④是等比数列,当q=-1时,⑤不是等比数列. 15.若某等比数列中,前7项的和为48,前14项的和为60,前21项的和为(D) 16.某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍,则该厂今年的月平均增长率是(B)+1-1 1211 n?
;②?
an2?
;③?
?
1?
;④{anan+1}:
⑤2?
?
an?
B.D. 11 m-1m-1. 13
(二)填空题 20052 17.数列{an}中,a1a2a3…an=n(n∈N),则a2005=_______. 200422 + 18.所在被3整除的两位数的个数是_30___,这些数的和是__1665___(n-2)(n+1) 19.已知数列{an},a1=-1,an+1=an+n(n∈N+),则数列的通项公式是an=___ 220.在等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则a42+a59=____39_____.21.已知等比数列(an)中,a3=1,a8=32,则a12=___512___. 22.在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a9-a10=___24___. 提示:
2a9=a8+a10 23.在2与7之间插入n个数,使得包括2和7在内的n+2个数组成以2为首的等差数列,如果这个等差数列的前16项的和为56,则n=_24_. 24.在等差数列{an}中,a1+a2+…+a50=200,a51+a52+…+a100=2700,则d=__1_,a1=_-_25.若等差数列共有2n+1(n∈N+)项,且奇数项的和为44,偶数项的和为33,则项数=__7___.S奇n+144 提示:
==,∴n=3 n33S偶 26.正项等比数列{an}中,a6a15+a9a12=30,则log15(a1a2a3…a20)=__10____. 提示:
a6a15=a9a12,得a9a12=15∴a1a2a3…a20=(a9a12)2=1510 5 27.如果将20,50,100各加上同一个数能组成一个等比数列,那么这个数列的公比为_____. 3a2-a1128.已知-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则=____.b22(三)解答题 29.求通项公式an=-2n2+11n+8所给定的数列{an}的最大项解法1:
an=-2n2+11n+811121 =-2(n-)2+8+ 48∵n∈N+∴n=3时,an取最大值为23 即数列中的最大项是an=23.解法2:
设数列中的最大项是an,则 ?
an?
an?
1?
a?
an?
1?
n ?
?
n2?
11n?
8?
?
2n2?
15n?
5?
22?
?
n?
11n?
8?
?
2n?
7n?
17913∴≤n≤ 44 又∵n∈N+ ∴n=3∴最大的项为a3=23. 30.已知等差数列{an}满足a3·a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式.解法1:
设公差为d,首项为a1,题设可知,(a1+2d)(a1+6d)=-12 ①(a1+3d)+(a1+5d)=-4 ②联立解①②得:
?
?
d?
2?
d?
?
2或?
a?
?
10a?
6?
1?
1an=2n-12或an=-2n+8.解法2:
∵{an}是等差数列, ∴a3+a7=a4+a6=-4 又∵a3·a7=-12 ∴a3和a7是方程x2+4x-12=0的两个根解方程,得:
x1=2,x2=-6 ①当a3=2,a7=-6时,得a1=6,d=-2∴an=8-2n ②当a3=-6,a7=2时,得a1=-10,d=2∴an=2n-12. 31.设{an.}为等差数列,Sn为等数列{an.}的前n项和,已知S7=7,S15=75,设Tn=为数列?
n项和,求Tn. 解:
已知知S7≠S15,∴数列{an.}的公差不为零,于是可知Sn是n的常数项为零的二次式,设Sn=2 An+Bn(A≠0),则 ?
Sn?
?
的前?
n?
?
A?
72?
B?
7?
7?
2?
A?
15?
B?
15?
7515 解之,得A=,B=- 22125Sn15 ∴Sn=n-n∴=n-, 22n22∴?
?
Sn?
1 ?
是以-2为首项,2为公差的等差数列.?
n?
n(n-1)1129 ∴Tn=n·(-2)+·=n-n. 2244 32.在等差数列{an}中,已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项的和最大,并求出最大值.17×169×8 解法1:
题意知17a1+·d=9a1+·d 22∵a1=25,∴d=-2 n(n-1)2 ∴Sn=25n+×(-2)=-n+26n 2=-(n-13)+169 ∴当n=13时,Sn取最大值为169.解法2:
同解法1,求出d=-2,an≥0,得n≤, 故当n≤错误!
未定义书签。
13时an>0,当n≥14时,an<0∴n=13时,Sn取最大值为169. 33.已知数列{an}为等比数列
(1)若a5=4,a7=16,求a12;
(2)若a4-a2=24,a2+a3=6,an=125,求n.a16 解:
(1)题意,得q2=7==4∴q=±2 a54当q=2时,a12=a7·q5=8·25=256 55 当q=-2时,a12=a7·q=8·(-2)=-256.
(2)题意,得:
1?
?
a1(q3?
q)?
24?
a1?
?
解之,得?
52a(q?
q)?
6?
1?
?
q?
52 1n-1n-2 ∴an=()·5=5=125 5解之,得:
n=5. 34.若数列(an)的前n项和SN=2an+1,证明数列{an}成等比数列,并求出an.证明:
当n=1时,Sn=2a1+1=2×(-1)+1=-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1) =2an-2an-1 ∴an=2an-1(n≥2)∴an=2an-1 ∴{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列∴an=(-1)·2n-1. 35.已知四个正数成等比数列,其积为16,中间两数之和为5,求这四个数及公比.解:
设这四个正数为:
a,aq,aq,aq,题设知它们的积aq=16,即aq·aq=4>0.又aq+aq2=5, ∴aq,aq是方程x-5x+4=0的两实根∴x=1或x=4,即?
?
aq?
1?
aq223462 22 ?
4或?
?
aq?
4?
aq2?
1 1?
?
a?
16?
a?
?
∴?
或1?
4q?
?
?
4?
q?
4?
11∴所求四个数为:
,1,4,16或16,4,1,. 44 36.已知等比数列{an}各项均为正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中最大项为54,求n. 解:
∵Sn=80,S2n=6560,∴q≠1,q>0.?
a1(1?
qn)?
80?
?
1?
q∴?
2n?
a1(1?
q)?
6560?
1?
q?
(1)
(2)
(2)÷
(1),得1+qn=82 ∴qn=81又q>0,∴q>1 ∴a1,a2,a3,…,an中,an最大.∴an=54=a1qn-1 ∴a1542 == (3)q813 a 又将qn=81代入
(1)得1=1 (4) q-1联立解(3)、(4)得a1=2,q=3,n=4. 37.某城市2003年底人口为500万,人均居住面积为20平方米,如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新住房面积100万平方米,到2008年底,该市人均住房面积是多少(精确到平方米)解:
设2003年底住房面积总数为a1,相应地2008年底住房面积总数为a6,则a1,a2,…,a6成等差数列,且a1=20×500万平方米,从而a6=a1+5d=10500万平方米. 另外,2003年底人口为b1,相应地,2008年底人口为b6,则b1,b1,…,b6成等比数列,且b1 a1 ·qn=54q
=300万平方米,从而b6=b1·q=500· 故,2008年底人均住房面积为 an1050010500==平方米.2≈bn500×× 38.
(1)从1月起,若每月初存入100元,月利率是‰并按单利计算,到第12月底本息和是多少?
(2)若一年定期的年利率为p,三年期年利率为q(均按单利计算),如果存一年定期的,一年后取出本息,再一起存入一年定期,这样三年后所取出的本息与直接存三年定期比较,还是直接存三年期的合算,请问p,q应怎样的关系?
解:
(1)第一个月存入银行100元,到期利息应为100×12׉,到期利息应为100×11׉,….∴共得本息和为100×12+100×(12+11+…+2+1)׉=元.
(2)设本金为A元,则直接存三年定期,到期本息和为A(1+3q);而一年后取出再转存的,三年后本息 3 和应为A(1+p). 题意应有:
A(1+3q)>A(1+p)3.(1+p)-1 解之,得:
q>. 3 3 55 三、智力挑战39.已知函数f(x)=x-2,且数列{an}满足a1=2,an+1=f(an