解析:
由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3.
答案:
D
5.(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.
解析:
设男生抽取x人,则有
=
,解得x=25.
答案:
25
两条规律
1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体容量为N,每个个体被抽到的概率是
.
2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.
三个范围
1.简单随机抽样:
总体容量较少,尤其是样本容量较少.
2.系统抽样:
适用于元素个数很多且均衡的总体.
3.分层抽样:
适用于总体由差异明显的几部分组成的情形.
三点注意
1.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取,是不放回抽样.
2.系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当
不是整数时,注意剔除,剔除的个体是随机的.
3.分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2015·四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )
A.抽签法 B.系统抽样法
C.分层抽样法D.随机数法
解析:
根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.
答案:
C
2.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
解析:
由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
=
=12(人).
答案:
B
3.某工厂甲,乙,丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9B.10C.12D.13
解析:
依题意得
=
,故n=13.
答案:
D
4.(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )
A.93B.123C.137D.167
解析:
初中部的女教师人数为110×70%=77,高中部的教师人数为150×(1-60%)=60,
该校女教师的人数为77+60=137.
答案:
C
5.(2017·青岛二模)某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中女生比男生少6人,则该校共有女生( )
A.1030人B.97人C.950人D.970人
解析:
由题意可知抽样比为
=
,
设样本中女生有x人,则x+(x+6)=200,
所以x=97,该校共有女生
=970(人).
答案:
D
6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7B.9C.10D.15
解析:
由系统抽样的特点知:
抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
答案:
C
二、填空题
7.(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析:
根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为
×300=60.
答案:
60
8.网络上流行一种“QQ农场游戏”,这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程.为了了解本班学生对此游戏的态度,高三(6)班计划在全班60人中展开调查,根据调查结果,班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈,为此先对60名学生进行编号为:
01,02,03,…,60,已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09,则抽取的学生中最大的编号为________.
解析:
由最小的两个编号为03,09可知,抽取人数的比例为
,即抽取10名同学,其编号构成首项为3,公差为6的等差数列,故最大编号为3+9×6=57.
答案:
57
9.(2014·广东卷改编)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中学学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_________,_______.
解析:
易知,样本容量为(3500+4500+2000)×2%=200.
又样本中高中学生共有2000×2%=40(人).
利用图②知,高中学生的近视率为50%.
因此所抽样本中高中学生的近视人数为40×50%=20(人).
答案:
20020
三、解答题
10.某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?
解:
(1)∵
=0.19.∴x=380.
(2)初三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:
×500=12(名).
B级 能力提升
1.(2016·青岛模拟)将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8 B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析:
由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).
令3+12(k-1)≤300得k≤
,因此在第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<3+12(k-1)≤495得
因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17,第Ⅲ营区抽50-25-17=8(人).
答案:
B
2.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号,…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人.
解析:
由分组可知,抽号的间隔为5,
又因为第5组抽出的号码为22,
所以第6组抽出的号码为27,第7组抽出的号码为32,
第8组抽出的号码为37.
40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100,
则应抽取的人数为
×100=20(人).
答案:
37 20
3.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为
,求x,y的值.
解:
(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,
∴
=
,解得m=3.
抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7人:
(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).
∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为
.
(2)由题意,得
=
,解得N=78.
∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
∴
=
=
,
解得x=40,y=5.
即x,y的值分别为40,5.