映射函数定义域值域解题办法归纳.docx
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映射函数定义域值域解题办法归纳
一种特殊的对应：
映射
（1）
（2）（3）（4）
1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：
一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：
强调：
两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：
f：
AB集合A到集合B的映射。
6．讲解：
象与原象定义。
再举例：
1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则：
乘2加1是映射
2A=N+B={0,1}法则：
B中的元素x除以2得的余数是映射
3A=ZB=N*法则：
求绝对值不是映射（A中没有象）
4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则：
f：
ab=（a1）2是映射
一一映射
观察上面的例图
（2）得出两个特点：
1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）
即集合B中的每一个元素都有原象。
从映射的观点定义函数（近代定义）：
1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：
AB这里A,B非空。
2A：
定义域，原象的集合
B：
值域，象的集合（C）其中CB
f：
对应法则xAyB
3函数符号：
y=f（x）——y是x的函数，简记f（x）
函数的三要素：
对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例：
判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？
为什么？
1．
解：
不是同一函数，定义域不同
2。
解：
不是同一函数，定义域不同
3。
解：
不是同一函数，值域不同
4．
解：
是同一函数
5．
解：
不是同一函数，定义域、值域都不同
关于复合函数
设f（x）=2x3g（x）=x2+2则称f[g（x）]（或g[f（x）]）为复合函数。
f[g（x）]=2（x2+2）3=2x2+1
g[f（x）]=（2x3）2+2=4x212x+11
例：
已知：
f（x）=x2x+3求：
f（
）f（x+1）
解：
f（
）=（
）2
+3f（x+1）=（x+1）2（x+1）+3=x2+x+3
1.函数定义域的求法
●分式中的分母不为零；
●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
●指数式的底数大于零且不等于一；
●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数
●余切函数
●反三角函数的定义域（有些地方不考反三角,可以不理）
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是
，
函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，
函数y＝arctgx的定义域是R，值域是
，
函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.
注意，
1.复合函数的定义域。
如：
已知函数
的定义域为（1，3），则函数
的定义域。
2.函数
的定义域为
函数
的定义域为
则函数
的定义域为
，解不等式，最后结果才是
3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数
的定义域为（1,3）,求函数
的定义域；或者说，已知函数
的定义域为（3,4）,
则函数
的定义域为______?
2.函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
（1）、直接观察法
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例求函数
的值域
（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数
的值域。
（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:
4、反函数法（原函数的值域是它的反函数的定义域）
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数
值域。
分母不等于0,即
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数
，
，
的值域。
10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数
的值域
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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