新课程中的函数与函数教学.docx
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新课程中的函数与函数教学
新课程中的函数与函数教学
北京教育学院数学系顿继安
本讲说明
函数是一个大家都熟悉的概念，一直以来也都是高中数学教学的重要内容，本讲主要通过江课程标准与原大纲中函数内容和目标的对比，结合课程标准中对函数内容教学要求的新特点，与大家共同探讨新课程的函数教学问题。
标准与原大纲中部分函数内容及目标表述比较
内容
课程标准目标表述
原大纲目标表述
函
数
通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；
在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（最小）值及其几何意义；结合具体的函数，了解奇偶性的含义；
学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。
了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断函数的单调性和和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求简单函数的反函数。
指
数
函
数
通过具体实例（如细胞的分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化），了解指数函数模型的实际意义；
理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象、探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
对
数
函
数
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；
通过阅读材料，了解对数的发现历史以及简化运算的作用；
通过具体实例，直观了解对数函数模型素刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。
理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
幂
函
数
通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况。
无
函
数
与
方
程
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；
无
函数模型及其应用
利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长的含义。
收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用；
能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决简单的实际问题。
实习作业
根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重要作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级上进行交流。
实习作业以函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。
一．关于函数概念
1．大量函数的实例
《标准》把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，这是新课程注重数学的应用性的重要表现之一，实际上也是期望学生对函数概念的真正理解而非形式化的记住函数概念的定义。
实际上，函数概念的出现，要比正式定义早得多，也自然得多，学生在日常生活中能够而且也经常运用实际中出现的函数概念，比如：
火车票的票价随里程数而变化，汽车走过的路程是时间的函数，汽车的速度是时间的函数，加油站的储油罐中的油量是油面高度的函数，重量是体积的函数，卫星离地面的距离随时间而变化，家庭的电费随该家庭的用电量而变化，在改革开放的国策下，我国居民的平均收入随时间在不断的增加，我国国土的绿化面积随时间在不断增加……等等。
这一类运动变化的关系有一个共同点，这就是：
变量之间有一种相互依赖的关系，可以从某一事物的变化信息推知另一事物的变化信息，这种认识事物的思想方法在我们周围、在各学科中随处可见。
数学上用函数来描述这种运动变化关系。
在教学中不一定先去定义函数，而是在学生接触了许多函数，已经能自己找到并表示生活中的函数、构造一般的函数后，再让它们归结出什莫是函数，并引导学生用集合与对应的语言来刻画函数，这种处理方式具有如下几点意义：
（1）提高学生的数学思维能力
训练思维是教育的基本目的之一，而培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径。
人们经常说“数学是思维的体操”，通过学习它能够发展学习者的逻辑思维．数学作为思维训练的基本课程，不是偶然的．数学的研究对象比实际的自然现象、社会现象要简单得多，是经过大大简化的，从这个意义上说考虑问题比较容易，看得出前后的联系．数学形成的系统比较实际系统简单，更容易被年轻人接受．数学中对错是分明的，容易训练人判别是非、严格明确的能力．因此，数学课程应提高学生的思维水平，使他们了解数学解决科学和社会问题的基本思维方法，如分析、归纳、抽象、论证、判断等等．
但是，只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的,甚至会发生负作用,即有时会形成思想呆板的习惯．事实上,人们在真正学懂数学的过程中,除了经常用到逻辑思维以外,重要的还有从具体现象到数学的一般抽象,以及将一般结论应用到具体情况的思维过程．虽然数学的概念、模型、结论以至证明过程都是脱离物质形式的．但是从整个研究过程看,这种脱离又不是绝对的,都是以某种实际为背景的．例如基本概念和模型常常是以具有典型性而且有深刻内涵的例子为基础,加以归纳和抽象出来的；而且在抽象的过程中需要有一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程．人们对这些概念和模型的理解一方面要从文字的涵义角度去准确理解,但是绝不能只停留在字面的理解上,而是应该结合一些典型的实例理解它的本质涵义,而且后者是更重要的、更实质性的要求．又如结论的证明是逻辑演译的,但是结论以及证明的方法是如何形成的,研究者通常有某种“直观”的想法为背景,就是说,可能是对某些例子的观察和试探而得来的,也可能是基于研究者过去在别的问题上的经验的升华．还有一个很重要的方面是:
当结论成立以后,需要分析理解它的本质,它的变形和发展,它与其他问题（实际的或理论的）的联系．所以上面所说的抽象过程,可以说是归纳方法与严密思考的结合,直观与抽象的结合．这是一种不同于逻辑思维但是更重要的数学思维方式，也不同于现在通常所谓的“科学的”定性概括，它在概括的基础上必须用逻辑演绎证明结论才能肯定概括的正确性.在数学教学中能够而且应该十分重视培养这种数学思维能力．因为在培养这种数学思维能力的同时,一方面会使得学生更深入和扎实地掌握数学；另一方面,这种思维能力在学生处理日常生活以至将来工作或进行研究时,会大大地提高他们的工作水平，使他们既不会在思维方式上犯浮夸和刻板的毛病，又能准确地抓住事物的本质,得出符合实际的有创见的看法．
只有学生经验中的思维因素被充分利用，才能指望和确保以后发展出优良的思维品质。
以映射为基础的函数的定义形式简洁，但是形势比较枯燥，给人一种冰冷的感觉，但是函数概念形成的思考过程却是火热的、生动活泼的，通过对大量的实例的认识，结合初中学过的函数概念的反思会促使学生思考数学概念的产生过程，通过将原有的认识用更简洁而精确的集合语言表达出来的过程，促使学生形成细心考察事物的习惯，形成数学特有的确定的思维和表达习惯。
（2）发展学生的数学应用意识
数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，数学的发展经常与探索自然现象、社会现象的基本规律联系在一起，这一点是不能忽略的．数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效．
发展学生数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断，是“标准”对应用意识和创新意识的具体化和明确化。
作为数学中最重要的概念之一，函数具有非常广泛的应用性，因此，必须结合实际问题，使学生感受再一次学习函数概念的必要性，以及函数与实际生活的联系，从情感上激活学习的欲望，同时感受函数的广泛应用；对于函数的三种表示法的教学，重点应是从实际问题的背景中，让学生选择恰当的表示方法，体会不同方法在具体问题中的应用；还要通过对函数模型的具体应用问题，进一步体验函数的广泛应用。
（3）促进学生对函数概念的真正理解
帮助学生构成真正的概念是教育中非常重要的问题，但是真正的理解是学以致用，而非记住形式化的函数定义。
实际上，变量说是函数思想的根本，数学家和科学工作者主要是从事物运动中把握变量之间的依赖关系，对应说不便于对运动事物的考察。
函数概念是抽象的，但是对于抽象概念的理解离不开典型而具体的案例作支撑，所以只有通过丰富的实例引入相应的概念、结论，引导学生应用数学知识去解决问题，并且尽可能让学生在经历探索、解决问题的过程中去体会数学的应用价值，让学生认识到数学与我有关，与实际生活有关，产生“我要用数学、我能用数学”的积极情感，逐步形成用数学的意识，并在运用中孕育创新意识。
才能真正使得学生认识函数这一数学概念的数学本质。
2．函数性质的重点
我们经常研究一个函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，如果回顾一下，我们也很少思考这些性质对与函数来说的重要程度，比如我们经常花费大量时间让学生解决一些与定义域有关的题目，但实际上求定义域的问题与函数得本质有何关系呢？
课程标准特别突出了对函数的单调性的研究，对于三角函数则突出了它是刻画周期现象的数学模型，淡化了定义域这一与函数的本质并无多大关联的性质的要求。
基本初等函数是刻画事物变化规律的几种典型的数学模型，标准专门强调了对指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型的研究；利用信息技术探索和了解指数函数、对数函数的变化规律和性质；实际上我们在解决实际问题时，一般是要经历一个搜集数据——描点左图——选择函数类——确定拟合函数的大致过程，其中函数类的选择就是根据我们经验中对各种基本初等函数的变化规律的理解做出的。
重温最小二乘法
原理：
对于一组给定数据（xi，yi）（i＝0，1，2，…，m），如果选定某个函数类中的一个函数P（x）作为拟合函数，各点的数据偏差ri＝P（xi）－yi。
我们用r12＋r22＋…＋rm2来刻画所有点偏差，则在取定的函数类中，求使得r12＋r22＋…＋rm2的值最小的方法，就称为曲线拟合的最小二乘法。
线性最小二乘拟合：
对于给定的数据（xi，yi）（i＝0，1，2，…，m），求一次函数
P（x）＝ax＋b，
使得关于ａ．ｂ的二元函数
Ｆ（ａ，ｂ）＝（ax0＋b－y0）2＋（ax1＋b－y1）2＋……＋（axm＋b－ym）2
的值最小。
结论：
a＝
，b＝
可化为线性拟合问题的其他常见函数类型：
拟合函数类型
变量代换
化成的拟合函数
y=ae-x
y1=lny
y1=a1+bx（a1=lna）
y=1/（a+be-x）
x1=e-x,y1=1/y
y1=a+bx1
y=1/（ax+b）
y1=1/y
y1=b+ax
……
……
……
3.函数概念的发展史
运动与变化是普遍的现象，“世界上唯一不变的只有变化”，因此，对运动与变化的研究自古以来就是数学家研究的对象。
但是数学的函数概念的定义确实在18世纪随着微分学的发展才开始出现的，最早提出函数一词的是莱布尼兹，但当时的含义与现在相去甚远，下面是历史上的几个函数概念的定义：
约翰.伯努力（1718）：
我称一个由任何方式从变量和从常数所构成的量为这个变量的函数。
欧拉（1748）：
一个变量的函数是一个分析表达式，它按任何方式由变量、数和常量构成。
欧拉（1755）：
一个变量的函数是用任何方式有这个变量和数字或常量所构成的一个解析表达。
拉克鲁瓦（1810）：
如果一个量的值依赖于一个或多个量，则称他为后者的函数，不管人们是否知道要使用什莫运算来从后者达到前者。
付里叶（1822）：
一般地，函数f（x）代表了一系列的值或坐标，它们的每一个都是任意的，在给出横坐标x的无穷多个值的同时，存在同等数量的纵坐标f（x），所有这些都有实际的数值，，或者为正，或者为负，或者为0，我们并不假定这些纵坐标遵从于一个公共的法则，它们以任何一种随意的方式相互连接，给出它们中每一个就好像它是单个的量一样。
海涅（1872）：
一个变量x的单值函数是一个表达式，它由x的每个单个的有理或无理数值唯一确定。
戴德金（1888）：
集合S上的一个函数f是一个法则，按此法则，对S中每个确定的元素s有所属于的一个确定东西，称它为s的变换，并以f（s）表示。
到２０世纪中，人们又提出了函数是一种特殊的变换，而现在，几乎都认为函数”和变换是同义词。
下面简单介绍欧拉关于函数的工作：
一个变量的函数是用任何方式有这个变量和数字或常量所构成的一个解析表达。
这个定义的中心词是“解析表达”，即一个公式，在其后的讨论中，欧拉指出这个公式是由变量和常数通过加减乘除乘幂开根号以及一个方程的解组成，还可以通过指数、对数以及三角函数而定义。
欧拉讨论函数的一个重要工具就是幂级数，他深信，除了在孤立点上，任何函数都可以用幂级数来表示，他通过大量具体的袋鼠函数以及不同的超越函数展成幂级数来确认这一点，但是并没有给出证明。
现在关于指数函数、对数函数和三角函数的处理，可说都来自于欧拉，他象幂级数一样定义指数函数，在其中指数是变化的，然后由第一个一指数函数来定义对数函数，从而将对数函数的性质转化为指数函数来讨论。
在函数概念的发展过程中，法国数学家Dirichlet定义了一个“奇怪的函数”：
这个函数后来被称为Dirichlet函数，很明显，它无法用解析式表达，但是它完全满足一直以来人们心中函数的概念。
Dirichlet函数的出现促使数学家们重新思考函数的本质和概念表述，该函数本身以及与之相关的变形函数在函数理论建立和应用中发挥了重要的作用。
通过这些特殊的函数，人们渐渐地形成了目前这种以对应关系为核心的函数观，在此基础上发展出函数的多种表示方法，如：
列表法、图象法等。
二．几个具体的函数
1.数列
数列是一种特殊的函数，也是日常经济生活中应用最广泛地函数，实际上，日常经济活动的基本问题，如利率，贷款，保险，打折、折旧问题等，都是以等差、等比数列为模型的，所以数列的学习，能解决日常生活中的许多问题。
另外，作为特殊的函数，数列又有其特殊的研究内容，如求数列的和，但必须明确的是，数列的和并不是与一般函数割裂开的，实际上，求数列的和就是求函数的定积分，希望能够借助几何图形，以便于与选修1，2中微积分的学习形成呼应。
2.三角函数
（1）数学模型
三角函数是刻画现实世界的重要数学模型。
实际生活中大量的周期变化现象，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些都是三角函数的实际背景，又可以用三角函数加以刻画和描述。
并不是只有三角函数才是周期函数，三角函数只是刻画了一类最简单的周期现象，应该帮助学生认识这一点。
在三角函数的教学中，教师应关注以下两点：
第一，根据学生的生活经验，创设丰富的情境。
例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二，注重三角函数模型的运用。
即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题。
这也是《标准》中在三角函数内容处理上的一个突出特点。
例１：
地球围着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？
如果是，函数y=f（t）是不是周期函数？
例２（《标准》第34页）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。
下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0:
00
5.0
9:
00
2.5
18:
00
5.0
3:
00
7.5
12:
00
5.0
21:
00
2.5
6:
00
5.0
15:
00
7.5
24:
00
5.0
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系。
给出整点时的水深的近似数值。
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？
在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
对于此问题，可以先根据上述时间与水深的关系表，描出水深随时间变化的草图（如下图所示）。
例３：
在不同地区，同一天的日出和日落时间不尽相同；对一个地区而言，日出日落时间又是随日期的变化而变化的。
北京的天安门广场上的国旗每天伴着太阳升起、伴着太阳降落，下表给出了是天安门广场2003年部分日期的升、降旗时刻表：
日期
升/降时刻
日期
升/降时刻
日期
升/降时刻
1月1日
7:
36/16:
59
5月16日
4:
59/19:
23
9月20日
5:
59/18:
15
1月21日
7:
31/17:
20
6月3日
4:
47/19:
38
10月8日
6:
17/17:
46
2月10日
7:
14/17:
43
6月22日
4:
46/19:
46
10月26日
6:
36/17:
20
3月2日
6:
47/18:
06
7月9日
4:
53/19:
45
11月13日
6:
56/17:
00
3月22日
6:
15/18:
27
7月27日
5:
07/19:
33
12月1日
7:
16/16:
50
4月9日
5:
46/18:
46
8月14日
5:
24/19:
13
12月20日
7:
31/16:
51
4月28日
5:
19/19:
05
9月2日
5:
42/18:
45
试根据上表提供的数据，分析升、降旗时间变化的大致规律；建立日出时间和日落时间关于日期的近似函数模型；
例４：
游乐场的摩天轮，如图摩天轮顶点离地面40．5米，直径40米，你在摩天轮最低点登上摩天轮，摩天轮匀速地旋转，你与地面的距离随时间的变化而变化，5分钟后到达最高点。
如果以登上摩天轮的时间计为零分开始计时，你能求出这个距离y与时间t的函数解析式吗?
例５ 下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：
如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点：
你能写出ｙ关于ｘ的函数关系式吗？
（２）关于弧度制
为什么要引入弧度值呢？
实际上三角函数如y＝sinx是一种数学模型，x有时不是角度，可能是时间，如物理学中的交流电模型。
最早引入弧度制的是欧拉，他是通过考虑以半径为１的圆的方式定义的一单圆弧ｚ的正弦和余弦，因此弧度作为度量单位实际上是将长度单位统一起来，将sinx与x的单位统一使得它能够解决更大范围内的问题。
建立弧度是为了度量，同一个对象常常有不同的度量的方法，角度是一种度量角的方法，容易理解，是拿角度量角，而理解弧度值的难点就在于它是用比值来度量角度，用建构主义的观点来说，这是一个，不自然；随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。
三．贯穿于高中数学课程的始终的函数思想
高中数学的各个部分有着各自独立的知识内容和体系，但不同的知识之间蕴涵着一些普遍适用的对于数学发展起着非常重要作用的数学思想，这些思想建立起不同数学内容之间的实质性联系，反映了数学的本质，体现了数学的整体性。
函数思想则是高中数学中最重要的思想之一。
1．函数与方程、不等式
实际上，20世纪以前的中学代数的主要内容是“数、式、方程”，其中方程占据着中心的位置，例如：
一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组等。
20世纪初，在英国数学家贝利（J.Perry）和德国数学家克莱因（F.Klein）等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学，这不仅是中学数学教育改革的一件大事，也是整个数学教育改革的一个里程碑。
作为哥根廷大学首席教授的克莱茵，在二十世纪初提出了以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：
“我确信，几何形式的函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它的周围，进行充分的综合。
”他主张用近代数学的新观点改革传统的中学数学教学内容，例如，用几何变换的观点改革传统的几何内容，把解析几何纳入中学数学等等。
他的这些数学教育思想在数学教育历史上占有重要的地位。
后来在1908年的第四届数学家大会上克莱因当选为第一届国际数学教育委员会主席。
函数替代方程，也就意味着变量的数学替代了常量的数学，用函数的观点看带方程也带来了一个非常深刻的变化——改变了对方程解的看法，不是非要用系数表达，而是可以寻求近似解。
重温“二分法”
定理函数y＝f（x）是[a,b]上的连续函数，f（a）f（b）<0，则f（x）=0在区间[a.b]内必有根。
例求方程2x3+3x−3=0的一个近似实数解，误差不超过0.01。
解考察函数f（x）=2x3+3x−3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间。
经试算，f（0）=−3＜0，f
（2）=19＞0，所以函数f（x）=2x3+3x−3在（0,2）内存在零点，即方程2x3+3x−3=0在（0,2）内有解。
取（0,2）的中点1，经计算，f
（1）=2＞0，又f（0）＜0，所以方程2x3+3x−3=0在（0,1）内有解。
如此下去，得到方程2x3+3x−3=0实数解所在区间的表
左端点
右端点
第1次
0
2
第2次
0
1
第3次
0.5
1
第4次
0.5
0.75
第5次
0.625
0.75
第6次
0.6875
0.75
第7次
0.71875
0.75
第8次
0.734375
0.75
第9次
0.7421875
0.75
0.74是方程2x3+3x−3=0的误差不超过0.01的实根。
2．函数与解析几何
以函数的观点来研究解析几何问题有很大帮助，如求曲线的切线方程。
注意标准中三角函数内容安排在解析几何种直线的后面，所以对直线斜率如何让学生认识直线的斜率，可能在不同的教科书上有不同的处理方式，这里需要补充的一点是，我们可以用变化率得观点来帮助学生认识直线的斜率，自变量每增加一个单位函数值的增加值可以定义为直线的斜率。
3．函数与算法
算法就是通性通法，也就是找出解决问题的步骤地一般规律非常重要，特别是算法中赋值的语句，学习的关键在于变量的选择，因此变量和函数在算法的构建中起着非常重要和基本的作用，它们会使算法的表述变得非常简洁、清楚。
例：
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