观察操作 合作交流 促学生思维发展高二数学教案.docx
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观察操作合作交流促学生思维发展高二数学教案
观察操作合作交流促学生思维发展_高二数学教案
----《轴对称图形》教学设计
教材简析：
《轴对称图形》是六年《数学》中继“认识圆的特征”，“计算圆的周长和面积”之后的一个学习内容。
在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用。
把它放在圆的后面，一方面可以更好地说明轴对称图形的特点，另一方面可以对所学的各种平面图形中轴对称的情况作全面的了解。
从而更好地发展学生的空间观念。
教学重点：
掌握轴对称图形的概念。
教学难点：
能找出轴对称图形的对称轴。
学生分析：
学生已学过简单平面图形，对平面图形已有一定的认识，且初步了解研究平面图形的方式方法。
高年级的学生具有好胜，好强的特点，班级中已初步形成合作交流，敢于探索与实践的良好学风，学生间相互讨论的气氛较浓。
设计理念：
根据基础教育课程改革的具体目标以及鼓励学生在具体、直观操作中发现知识是《数学课程标准》的一个特点。
改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和经验，实施开放式教学，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化。
教学目标：
1、通过教学向学生渗透事物的特殊性存在于普遍性之中，体会对称美。
2、通过操作活动培养学生观察能力，概括能力。
3、使学生直观的认识轴对称图形，在操作中理解掌握轴对称的概念，并能找出轴对称图形的对称轴。
教学流程：
--、创设问题情境，导入课题。
1、（屏幕出示相关图片）观察下面的图形，（折一折，看一看）这些图形有什么特点？
2、指出：
像前三个这样的图形，我们把它叫轴对称图形。
3、引入课题：
轴对称图形
二、学生通过直观感知，操作确认等实践活动，加强对图形的认知和感受。
【实施动手操作，合作交流方式教学，让学生主动参与学习活动，经历和体验检验轴对称图形的方法。
引导学生在课堂教学活动中感悟知识的生成、发展与变化。
】
1、揭示轴对称图形的概念。
思考：
现在你能用什么方法来检验一下这几个图形是轴对称图形。
a、学生试说轴对称图形的概念。
b、教师板书：
轴对称图形的概念（完全重合重点强调）
c、让学生谈谈你是如何理解轴对称图形的。
（以小组为单位，用手中图形举例说明）
【让学生自由组合成小组进行操作活动，让学生从操作中得出结论，从而更牢固的掌握了新知，尤其是让每一个学生都能亲自实验，培养了学生的操作能力和探索精神。
】
d、教师结合图形说明对称轴的概念。
2、完成做一做。
（让学生来汇报，同时电脑演示。
）
3、我们已经学过不少平面图形，现在你动手折一折、看一看哪些图形是轴对称图形，对称轴各有几条，请你画出来。
（汇报从杂乱----有规律）
【这一环节体现了教师注重学法指导，并能鼓励学生运用科学的方法学习。
学生在教师自然而巧妙的引导下，运用多种器官参与观察活动，发展了学生的辨析概括能力，促进学生的思维向纵向发展。
】
4、完成做一做1（口答，屏幕演示）
5、完成做一做2（口答，屏幕演示）
教师小结：
这节课我们学习了轴对称图形，知道如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
并且知道折痕所在的这条直线叫做对称轴，我们还通过动手操作知道我们学过的平面图形中哪些是轴对称图形以及各有几条对称轴。
【教师作为学习过程的组织者、参与者、指导者，与学生共同探索、剖析、整理，层次分明，思维清晰。
起到画龙点睛的作用。
】
6、质疑。
巩固练习：
1、数书P1021（口答）（屏幕）
2、数书P1024（口答）（屏幕）
3、画出每组图形的对称轴。
【让学生不仅能做出正确判断，且能准确画出，进一步发展学生的空间观念，培养学生主动探索，勇于实践的科学精神。
】
4、在自然界和日常生活中具有轴对称性质的事物有很多，你能不能举例说明？
5、欣赏具有轴对称性质的事物。
【突出数学知识与日常生活的紧密联系，从而培养学生自觉的把数学应用于实际的意识和态度，进而培养学生的应用意识。
】
6、判断：
所有的平行四边形都不是轴对称图形（）
所有的平行四边形都是对称图形（）
【在运用中练习，在练习中提高，练习具有目的性、针对性、层次性和趣味性，使学生既巩固了知识又培养了能力。
】
三、小结：
通过这节课的学习你有哪些收获？
【通过这种方式引导学生小结本节课主要知识及学习活动，养成学习----总结----学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力。
】
第二课时教学目标
1．理解同向不等式，异向不等式概念；
2．掌握并会证明定理1，2，3；
3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；
4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.
教学重点：
定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程
教学难点：
理解证明不等式的逻辑推理方法
教学方法：
引导式
教学过程（）
一、复习回顾
上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：
这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.
二、讲授新课
在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念.
1．同向不等式：
两个不等号方向相同的不等式，例如：
是同向不等式.
异向不等式：
两个不等号方向相反的不等式.例如：
是异向不等式.
2．不等式的性质：
定理1：
若，则
定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.
证明：
∵，
∴
由正数的相反数是负数，得
说明：
定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.
定理2：
若，且，则.
证明：
∵
∴
根据两个正数的和仍是正数，得
∴说明：
此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.
定理3：
若，则
定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
证明：
∵
∴
说明：
（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；
（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：
根据定理3可得出：
若，则即.
定理3推论：
若.
证明:
∵,
∴ ①
∵
∴ ②
由①、②得
说明：
（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；
（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：
两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；
（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）
三、课堂练习
1．证明定理1后半部分；
2．证明定理3的逆定理.
说明：
本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.
课堂小结
通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.
课后作业
1．求证：
若
2．证明：
若
板书设计
§6.1.2 不等式的性质
1．同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
异向不等式 证明 证明 推论
2．定理1证明 说明 说明 证明
第三课时
教学目标
1．熟练掌握定理1，2，3的应用；
2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；
3．掌握反证法证明定理5.
教学重点：
定理4，5的证明.
教学难点：
定理4的应用.
教学方法：
引导式
教学过程（）：
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.
（学生回答）
好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.
二、讲授新课
定理4：
若
若
证明：
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得
当
说明：
（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；
（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.
推论1：
若
证明：
①
又
∴ ②
由①、②可得.
说明：
（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；
（2）所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.
（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.
推论2：
若
说明：
（1）推论2是推论1的特殊情形；
（2）应强调学生注意n∈N的条件.
定理5：
若
我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即，所以不能仅仅否定了，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.
说明：
假定不大于，这有两种情况：
或者，或者.
由推论2和定理1，当时，有；
当时，显然有
这些都同已知条件矛盾
所以.
接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.
例2 已知
证明：
由
例3 已知
证明：
∵
两边同乘以正数
说明：
通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.
三、课堂练习
课本P7练习1，2，3.
课堂小结
通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.
课后作业
课本习题6.14，5.
板书设计
§6.1.3 不等式的性质
定理4 推论1 定理5 例3 学生
内容 内容
证明 推论2 证明 例4 练习
执教：
夏青峰（全国小学数学赛课一等奖获得者，江苏省特级教师，江苏省无锡市江阴华士实验学校小学部校长）
记录/评析：
张金龙（江苏省吴江市实验小学）一、课前交流——“引领”师：
同学们，下面老师要和大家要一起度过美好的40分钟，大家欢迎吗？
真欢迎还是假欢迎？
那作为小主人你想说什么？
（教师亲切的话语，顿时勾起学生学习的浓厚兴趣。
）生：
欢迎客人老师来到我们江苏扬州宝应县。
我们的大门永远敞开欢迎您。
（掌声。
）师：
（屏幕出示一张青蛙素描图。
）你看见了什么？
学生：
蟾蜍。
师：
是青蛙啊，（众笑）哦，我画的是青蛙，你说的是蟾蜍啊。
（又笑）那么我倒过来放，你又看到了什么？
生：
我看到了一个码头。
师：
看来不同的角度可以看出不同的事物。
再出示一张图。
师：
看见了什么？
生：
一个人在吹喇叭。
生：
一个大鼻子的人在抽烟。
（此处，教师应适时进行健康教育，吸烟有害健康！
让学生从小知道这一点，非常重要，不可小视、更不可忽视！
虽然此处看似与数学教学关系不大。
）师：
有没有看到漂亮女孩的脸？
生：
没有。
生：
我看到了。
不同的角度可以看到不同的东西。
师：
我再问大家一个非常简单而又非常难答的问题，1加1等于几？
生：
等于2。
师：
错了。
等于1。
你们老师教“错”了。
（众笑，激趣。
）师：
比如，一团橡皮泥加一团橡皮泥等于——一团橡皮泥。
师：
7加8等于？
（1！
）不同的视角看1，看到的不同。
（再如，2+5≠7，2+5=1，即：
2天+5天=1周。
）评析：
借班上课，师生课前交谈，看似简单、平淡、多余，实属不可或缺的必要环节之一，尤其是像“第三届新教育实验研讨会”等全国性的重大教研活动。
夏青峰老师作为远道而来的客人教师，利用课前短暂的两三分钟组织教学，激趣引领，从而一定程度上缩短师生心理距离，营造了宽松和谐、自由活跃的课堂氛围，制造了必需的学生心理磁场；千方百计力求让课堂成为学生数学思维的运动场！
二、唤起经验——“起跑”师：
今天我们学习的内容是五年级学生学习的，你们刚刚三年级结束，有信心学好吗？
有了信心还要有好的学习方法。
（跳一跳，摘果子！
）师：
今天我们学的内容是“分数的意义”。
（教师随即板书课题。
）师：
关于分数，我们已经知道了什么？
（教师借用电脑PowerPoint演讲稿形式，实物投影，呈现问题。
）生1：
分子、分母和分数线。
师：
你能举个例子吗？
（教师设问，引出话题。
）生：
把一个苹果分成2份，取其中的1份就是1/2。
（该生说到第3遍，才悟出是“平均分”，教师没有急于求成，而是让学生自我纠正。
从而突出概念的关键词“平均分”。
这样的学习应该是刻骨铭心的！
）生2：
我还知道了分数的大小。
比如：
4/5>2/5。
生3：
我还知道分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。
……师：
老师也想说我自己知道的一些知识。
投影出示4副图：
虽然都表示1/4，但是可以看到古希腊人、古中国、古印度人、阿拉伯人用了不同的表示方法。
三千多年前，用嘴巴的形状代表分数，后来逐渐演变到现在的1/4，（教师依次向学生介绍分数的历史渊源）……评析：
《小学数学新课程标准》指出：
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
夏老师在教学《分数的意义》这一概念时，就是从学生学情出发，简短的一句“你已经知道了什么”唤起了学生已有的知识经验，找到了新知与旧知的链接点，改变了传统的概念教学“复习——引新——练习——巩固”的程式化、僵化的四环节教学。
教师借助现代教育媒体手段向学生介绍分数的由来，适时渗透了数学文化思想。
导入部分，教师对于知识结构的变革，缘于教师全新的课程理念，使学生的思维开始了有效的“起跑”。
三、文本阅读-----“加速”师：
你还有什么问题吗？
你还想知道什么？
（教师借用电脑PowerPoint演讲稿形式，实物投影，再次呈现问题。
）生1：
最大的分数是什么？
生2：
分数能乘除吗？
生3：
分数可以做应用题吗？
生4：
为什么会有分数？
……（学生头脑里装载着一系列数学问题，学生的思维是期待点燃的火种！
绝非数学知识的简单容器！
）师：
这些问题，相信大家可以通过看书，也可以上网查资料等方法自己去解决。
师：
现在就请大家看书，哪些已经明白？
哪些还不太明白，通过看书哪些可以自己解决，哪些还解决不了？
我们就一起来解决。
学生看书。
师：
好，通过自学课本，你又知道了什么？
生1：
如果把一个东西平均分成若干分，其中有几分就可以用分数表示。
生2：
分数是怎么产生的？
我知道了分数产生的原因。
生3：
如果把许多物体合在一起，就可以用自然数表示……师：
还有什么看不懂的地方？
生4：
一个数字，为什么称它为自然数？
师：
板书：
1与“单位1”。
（教师及时纠正这里的“1”是指单位“1”，与自然数的1是有区别的。
学生问题动态生成，教师说理就地取材，“随意”列举：
像现在的一个班级，一个大会场所有的人，都可以看作单位“1”。
）生5：
为什么不能说二分之一是一半呢？
（能的。
）生6：
为什么不规则的图形可以看成一个整体？
（教师“信手”板书板画一个个不规则图形，引导学生可以将它看成一个整体。
）评析：
建构主义教学论认为：
学生的知识建构不是教师传授与输出的结果，而是通过亲历，通过与学习环境间的交互作用来实现的。
如果说以往的概念教学，教师侧重于直观演示、通过举例让学生来理解定义，那么，新课程中，课堂活动发生了变化，教师的课堂角色也发生了变化。
课本是知识的载体，是教师的教和学生学的中介物，它对教学起着指导作用。
阅读文本，使学生真正走近（进）了“分数”的世界，《分数的意义》一课中，学生对于单位“1”的理解是一个难点，夏老师大胆放手让学生提出问题，辨析问题，真正体现了学生是学习的主体，帮助学生实现思维的“加速”。
四、操作实验——“冲刺”师：
我们要学会自己出题考自己。
现在来进行“闯三关”游戏。
【第一关】：
试试你的眼力。
1、出示一个长方形，标出其中的一部分，让学生目测是其中的几分之几？
（1/3。
）为什么看出三分之一？
把一个长方形平均分成三份，表示这样的一份。
学生回答后，教师板书：
1/3是把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。
2、出示一个圆，阴影部分可用什么分数表示？
（学生猜测是1/3、1/2、3/8……实际上是一个圆的八分之三）教师板书：
3/8是把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数。
3、教师出示的部分是整个图形的四分之一。
（露出的是一个小三角形），你能根据老师画的，画出下面的图形吗？
老师告诉你，答案可能不止是一种。
学生操作，接着上台展示自己的画。
师问：
关键看什么？
生：
看露出一份。
（学生展示的作品多姿多彩，生生互动，充分体现学生富于个性的思维以及每个人的主观能动性。
）老师也出示多种情况的图。
（说明有很多可能性，展示思维的多角度。
）【第二关】：
快速抢答。
1、铅笔实验：
师：
把6枝铅笔平均分给3人，每人几枝？
（2枝）师：
把8枝铅笔平均分给4人，每人几枝？
（2枝）师：
把一盒铅笔平均分给2人，每人得多少？
（1/2）师：
把一盒铅笔平均分给6人，每人得多少？
（1/6）生：
把6枝铅笔平均分给3人，每人得其中的1/2。
师：
为什么把6枝铅笔平均分给3人，每人得2枝，还可以用1/2表示呢？
把8枝铅笔平均分给4人，每人2枝，可以用1/2表示吗？
假如把100枝铅笔平均分成2份，每一份也可以用1/2表示吗？
（这一环节主要让学生弄清楚一些铅笔所表示的一个整体，平均分成2份后，都可以用1/2来表示。
）2、画图实验：
师：
出示6枝铅笔，我要拿走它的2/3，请问拿走几枝？
生：
4枝。
为什么？
提问后板书：
2/3是把一盒铅笔平均分成3份，表示这样2份的数。
师：
出示1根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？
（5根）师：
出示2根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？
（10根）师：
出示2根小棒，我拿走了它的1/5，请问一共有几根小棒？
（15根）教师出示了三幅用不同的铅笔数表示相同的五分之一的画，让学生画出遮盖的部分。
学生操作后，展示学生作品。
小结后板书：
1/5是把（）平均分成（）份，表示这样（）份的数。
（【第三关】可能由于时间关系没有完成，估计是“动手摆小棒”之类的学生操作性游戏。
）师：
（进行课堂小结，形成完整的课堂板书，将分数的意义逐层抽象、概括、提升。
）师：
师生对照着板书，进行课堂小结，教师质疑问难。
评析：
数学概念是“生活的具像”，又是具体形象事物的抽象与“升华”，针对小学生以形象思维为主的特点，夏老师没有直接奉献真理——把书本上现成的分数的意义告诉学生，这一环节的教学，当学生产生了强烈的探索欲望后，教师就及时设计了一系列的操作活动，调动了学生的多种感官来参与概念学习，引导学生猜一猜，想一想，动手画一画，亲身体验，合作交流，向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握“分数的意义”，“让学生在做中学”。
教师主要抓住了不同物体所表示的整体平均分成2份后，其中的一份都可以用1/2表示；反过来，同样是1/5，由于单位“1“不同，实际上表示的铅笔的枝数却不同。
整个新课的学习，教师看似淡化了定义概念的教学，实际上引在核心处，拨在关键处，强化了定义概念，教师成了真正意义上的学习组织者、引导者与合作者，借助于课堂这个思维“运动场”，不着痕迹地引导学生理解了分数的真正含义。
数学教学也真正体现了数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
整堂课，学生兴趣盎然，就在不经意间，学生建立了数感，理解了“分数的意义”，这充分说明夏老师的数学课堂是一个充满灵性、动态生成的课堂，从引导学生“起跑“到“加速”，最后“冲刺”，水道渠成，他使每个学生获得了成功的体验。
这节轻松、活泼、实在的数学课，无疑为我们打开了一扇“概念教学”的新“天窗”！
★{争鸣与商榷·相关链接1}“可以对学生说‘不’？
！
”☆[李镇西老师的点评]：
我特别欣赏夏青峰老师的数学课，这是我迄今为止听课的最好的一堂数学课（我迄今为止只听过一趟小学数学课）。
夏老师的成功，在于他真正把教的过程转化成了学的过程，一切服务于学生的学习！
整堂课，学生活跃，夏老师的引导都非常巧妙，不是让学生配合夏老师，而是夏老师去“迎合”学生心灵的需要。
非常精彩！
在听夏老师课的时候，我不止一次地想：
如果我小学时候的数学老师是夏老师，那我现在可能是一名数学教师呢！
当然，如果硬要挑刺的话，我也可以挑一个刺。
先说一个笑话，现在不是时兴鼓励学生吗？
！
在一堂课上，有个学生发言，把本来应该是“6”的正确答案，说成“7”了，老师却表扬他说：
“很好，你的答案基本上接近正确答案了！
”（下面的老师大笑。
）很遗憾呀，今天我们的夏老师不幸也犯了这样的“错误”——当学生把八分之三说成三分之一的时候，夏老师是这样表扬的：
“很好，差不多！
”我在思考：
我们的老师为什么不可以在课堂上对孩子说“不”呢？
……★{争鸣与商榷·相关链接2}注重细节，追求完美——与夏老师商榷☆[蒋文利老师的点评]：
在《教育在线》第三届新教育实验会议上，“理想的课堂”环节中，听取了特级教师夏青峰老师一节数学课，感触很深。
夏老师由浅入深，由易到难，循序展现，把一个大问题分化成若干个小问题，分散难点，各个突破，化难为易，步步相扣，遵循知识的内在规律，让学生了解了“分数”定义的来龙去脉。
学生在夏老师的牵引下，一步步地走进了快乐的数学殿堂。
一堂课，老师思维敏捷，学生积极主动，师生互动明显，配合默契。
但我认为夏老师对于课堂环节的完整性的注重远远超过了课堂即时生成的本身，以至于本课还有几点值得认真商榷的地方。
第一、没把学生的想象力引向深入。
夏老师在“闯三关”时，出示例题：
“露出的部分是整个图形的四分之一，请想象一下整个图形”，选题好，手段妙，能力培养目标十分明确。
不过，我认为夏老师点拨不到位，出示图形急于求成，一古脑儿的把全部答案展示了出来，这样一来，虽不能说是完全扼杀学生的想象力，但是至少不能把学生的想象力引向深入，不能像李镇西老师说的那样思维“继续碰撞”。
想象力是人创造的源泉，没有想象就没有创造发明，特别小学生更需要想象力。
假如夏老师在学生回答完此题之后，继续启发追问，还有其他情况吗？
再给出一点时间让学生互相交流探讨一下，我想，学生也许会找出我们教师所想不到的结果呢？
比如：
空间立体图（正四面体），如果学生想不到，老师可以用实物图展示，还可以让学生把正四面体涂色展开，然后再讨论比较交流，既培养了学生的动手动脑能
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