中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题.docx
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中考数学专题复习四边形中的折叠剪切旋转与动点最值问题
中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题
一、折叠、剪切类问题
1、折叠后求度数
(1)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为()
A.600B.750C.900D.950
(2)如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )
A.50°B.55° C.60°D.65°
图②
(3)用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图①所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=____________度.
图①
2、折叠后求长度
(1)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,AB=
,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则BC的长为().
A、
B、2C、3D、
(2)如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且
,则CE的长是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D
落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
(4)如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米,EF=4厘米,则边AD的长是___________厘米.
(5)如图,是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=
(6)如图
(1),把一个长为
、宽为
的长方形(
(1)
)沿虚线剪开,拼接成图
(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为()
A.
B.
C.
D.
3、折叠后求面积
(1)如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为( )
A.4B.6C.8D.10
(2)如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是( )
A.2B.4C.8D.10
(3)如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm。
操作:
①将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;②将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c。
则△GFC的面积是()
A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2
(4)点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上,将这张纸条沿着直线EF对折后如图,BF与DE交于点G,如果∠BGD=30°,长方形纸条的宽AB=2cm,那么这张纸条对折后的重叠部分△GEF的面积=______cm2
(5)如图,红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为
的红丝带交叉成60°角重叠在一起,则重叠四边形的面积为_______
(6)如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN、EF分成四个部分,分别种上红、黄、紫、白四种花卉,种植面积依次是S1、S2、S3、S4,若MN∥AB∥DC、EF∥DA∥CB,请你写出一个关于S1、S2、S3、S4的等量关系________________________________.
4、折叠、剪切后得图形
(1)将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是()
A.矩形B.三角形C.梯形D.菱形
(2)在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是()
A.B.C.D.
(3)小强拿了张正方形的纸如图
(1),沿虚线对折一次如图
(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是()
(4)将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是()
(5)如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是()
(6)如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC.将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
(7)如图7所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是()
D.
5、折叠后得结论
(1)亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:
“三角形的三个内角和等于_______°.”
(2)
(2)从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是()
A.a2–b2=(a+b)(a-b)B.(a–b)2=a2–2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)
(3)如图,一张矩形报纸ABCD的长AB=acm,宽BC=bcm,E、F分别是AB、CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a∶b等于( ).
A.
B.
C.
D.
6、折叠和剪切的应用
A
(1)如图,有一个边长为5的正方形纸片
,要将其剪拼成边长分别为
的两个小正方形,使得
.①
的值可以是________(写出一组即可);②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性:
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
(2)如图,已四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线最多有两条,能否做到:
__________(用“能”或“不能”填空)。
若填“能”,请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;若填“不能”,请简要说明理由。
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
(3)如图,已知五边形ABCDE中,AB//ED,∠A=∠B=90°,
则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线
有__________条,满足条件的直线可以这样趋确定:
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
(4)如图,有一个边长为a的正六边形纸片ABCDEF.①六边形ABCDEF的外接圆半径与内切圆半径之比为_____________;②请你设计一种用剪刀只剪两刀将其拼为一个矩形(在图中画出裁剪线),叙述裁剪过程并简要说明得到的矩形是否是正方形:
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
(5)如图,有一个长:
宽=2:
1的长方形纸片ABCD.①含有30°、60°的直角三角形最短边与最长边之比为___________;②请你设计一种折叠一次使这张纸片出现30°和60°(在图中画出折叠线和折叠后图线),叙述折叠过程并简要说明理由:
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
(6)如图,有一个长方体的底面边长分别是1cm和3cm,高为6cm.①现用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么细线最短需要________cm;②若从点A经过开始经过3个侧面缠绕n圈到达点B,此时细线最短需要____________________cm.③若有一个长方体的边长为a的正方形,高为b,那么细线从点A到点C的最短距离:
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________.
(7)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N=;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(
且n为整数),则A′N=(用含有n的式子表示)
(8)如图,现有两个边长之比为1:
2的正方形ABCD与A′B′C′D′,点B、C、B′、C′在同一直线上,且点C与点B′重合,能否利用这两个正方形,通过裁割、平移、旋转的方法,拼出两个相似比为1:
3的三角形?
(填能或否),若你认为能,请在原图上画出裁剪线和拼接线说明你的操作方法:
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________.
(9)用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
①用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
②若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程
的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
(10)在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较甲同学和乙同学的折法中,哪种菱形面积较大?
(11)有一张矩形形状的纸ABCD如图所示,只用折叠的方法将直角三等分,步骤如下:
E
C
B
B
C
H
N
M
D
D
A
A
第一步:
先把矩形对折,设折痕为MN;
第二步:
再把点B折叠到折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH折叠.
此时,AE、AH是否就是直角BAD的三等分线?
并说明理由.
(12)如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的
,请说明理由(写出证明及计算过程).
二、旋转类问题
(1)如图,由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是().
图A.B.C.D.
E
(2)如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转
,则这两个正方形重叠部分的面积是.
(3)
P
D
A
如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°能
与△CBP'重合,若PB=3,则PP'=________________.
C
B
P'
(4)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,DE=1,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°得△ABE',连接EE',则EE'=________________.
(5)已知在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或延长线)于点M,N.
(Ⅰ)如图①所示,当∠MAN绕点A旋转到BM
DN时,求证:
BM+DN=MN.
D
A
思路点拨:
考虑证明BM+DN=MN需将线段BM、DN转化到同一条直线上,再证明BM+DN=MN.可将△ADM顺时针旋转90°
请你完成证明过程:
N
C
M
B
D
A
(Ⅱ)当∠MAN绕点A旋转到如图②所示时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
C
B
M
N
(6)在图1至图2中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.
(Ⅰ)如图1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:
FM=MH,FM⊥MH;
(Ⅱ)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:
△FMH是等腰直角三角形;
三、动点类问题
1、动点距离和最小值问题
(1)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,
P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是 .
M
D
A
(2)如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,M、N分别为AD、
BC中点,P为MN上一动点,那么PC+PD的最小值为_________________.
P
N
C
B
C
D
(3)
F
P
如图,正方形ABCD的边长为8,AE=3,CF=1,点P是对角线AC
上一动点,则PE+PF的最小值________.
E
B
A
(4)在平面直角坐标系中,矩形
的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在
轴、
轴的正半轴上,
,
,D为边OB的中点.
温馨提示:
如图,可以作点D关于
轴的对称点
,连接
与
轴交于点E,此时△
的周长是最小的.这样,你只需求出
的长,就可以确定点
的坐标了.
(Ⅰ)若
为边
上的一个动点,当△
的周长最小时,求点
的坐标;
x
(Ⅱ)若
、
为边
上的两个动点,且
,当四边形
的周长最小时,求点
、
的坐标.
2、动点运动问题
(1)如图,在矩形ABCD中,AB﹦16㎝,AD﹦6㎝,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以每秒3㎝的速度向B移动,一直达到B止,点Q以每秒2㎝的速度向D移动.⑴P、Q两点出发后多少秒时,为四边形PBCQ的面积为36㎝
?
⑵是否存在某一时刻,使PBCQ为正方形,若存在,求出该时刻,若不存在说明理由.
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,并提供一个与计算结果有关的结论.
C
D
Q
B
P
A
(3)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=14㎝,AD=15㎝,BC=21㎝.点M从A点开始,沿AD边向D运动,速度为1㎝/s,点N从点C开始沿CB边向点B运动,速度为2㎝/s.如果点M、N分别从A,C同时出发,设时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?
(2)当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?
M
D
A
N
C
B
(4)如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:
OE=OF;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论;
(3)在
(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
请你说明你的理由.
A
O
F
E
N
M
D
C
B