专题复习球与球体doc.docx

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专题复习球与球体doc

2016年高考专题复习--球与球体01.25

典型例题1——球的截面

例1球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中AB18，BC24、AC30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．

【练习】过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，求弦AB的长度．

典型例题2——球面距离

例2过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）．

A．有且只有一个B．一个或无穷多个

C．无数个D．以上均不正确

例3球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过3个点的小圆的周长为4，求这个球的半径．

6

例4A、B是半径为R的球O的球面上两点，它们的球面距离为R，求过A、B的平面中，与球心的最大距离是多少？

2

典型例题3——其它问题

例5．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦

MA,MB,MC，求MA2MB2MC2的值．

例6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

典型例题4——球与几何体的切、接问题

例7一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．

（1）求两球半径之和；

（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

作业1.正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

3在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为

49cm2和400cm2．求球的表面积．

【高考真题】

1.（2010四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面

，

垂足为B，BCD是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别

与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

（A）Rarccos

17

（B）Rarccos

18

w_w_w（C）1R

（D）4

R

25

25

3

15

2.（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最

上面的球，则球的半径是cm.

3.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积

等于__________________.

4.（2009陕西卷文）如图球O的半径为2，圆O1

是一小圆，

1

，A、B是圆O1上两点，若AO1B=，则A,B

O

OO2

2

1

.

两点间的球面距离为

A

B

5.（安徽卷理

16文16）已知A,B,C,D在同一个球面上,

O

AB平面BCD,BCCD,若AB6,AC

213,AD

8,则B,C两

点间的球面距离是

6.（江西卷文

15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为

4的

球的两条弦AB、CD的长度分别等于

2

7、4

3，每条弦的两端都在球

面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为

．

7.（辽宁卷理

14文14）在体积为4

3

的球的表面上有A，B，C三点，

AB=1，BC=

，A，C两点的球面距离为

3

，则球心到平面

的距

2

3

ABC

离为_________．

8.（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该

球的体积为4

3，则该正方体的表面积为

.

9.（浙江卷理

14文15）如图，已知球O点面上四点A、

D

3

，则球

B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=

O点体积等于___________。

A

2016年高考专题复习----

C

B

球与球

体

例1分析：

求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半

径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式r2R2d2求出球半径R．

解：

∵AB18，BC24，AC30，

∴AB2

BC2

AC2，ABC是以AC为斜边的直角三角形．

∴ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径r

15，

又球心到截面的距离为d

1R，∴R2

（1R）2

152，得R

103．

2

2

∴球的表面积为S4R2

4

（103）2

1200

说明：

涉及到球的截面的问题，总是使用关系式r

R2

d2解题，

我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．

【练习】由条件可抓住ABCD是正四面体，A、B、C、D为球上四点，则球心在正四面体中心，设ABa，则截面BCD与球心的距

离d

6a

R，过点B、C、D的截面圆半径r

3a，所以

3

3

（3a）2

R2

（6aR）2得a

26R．

3

3

3

例2分析：

对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B

例3分析：

利用球的概念性质和球面距离的知识求解．

设球的半径为R，小圆的半径为r，则2r4

，∴r2．

如图所示，设三点A、B、C，O为球心，

2

．又∵OAOB，∴AOB是等

AOBBOCCOA

6

3

边三角形，同样，BOC、COA都是等边三角形，得ABC为等边三角形，边长等于球半径R．r为ABC的外接圆半

径，r

3AB

3R，R

3r23．

3

3

3

说明：

本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．

例4

分析：

A、B是球面上两点，球面距离为

R，转化为球心角

2

AOB

，从而AB

2R，由关系式r2

R2

d2

，r越小，d越大，r是

2

过A、B的球的截面圆的半径，所以

AB为圆的直径，r最小．

解：

∵球面上A、B两点的球面的距离为

2

R．

∴AOB

，

2

∴AB

2R．当AB成为圆的直径时，r取最小值，此时r

1AB

2R，

2

2

d取最大值，dR2

r22R，

即球心与过A、B的截面圆距离

2

最大值为2R．

2

说明：

利用关系式r2R2d2不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r与球心到截面的距离d之间的变化规律．此外本题还

涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB有关，而球心角AOB又直接与AB长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．

例5．分析：

此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形

内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：

以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥

MABC补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

MA2MB2MC2=（2R）24R2．

说明：

此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例6．分析：

首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．

解：

设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V，

则由

4

r

3

V,r

3

3V

，r

3

3V

，由a

3

V,得a

3

V

．

4

4

3

S球4r2

4

（3

3V）2

3

4V2

．S正方体

6a2

6（3V）2

63V23216V2．

4

4

216

3

4V2

3

216V2，即S球

S正方体．

例7分析：

先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利

用铁球取出后，锥内下降部分（圆台）的体积等于球的体积，列式求解．解：

如图作轴截面，设球未取出时水面高PCh，球取出后，水

面高PH

x∵AC

3r

，PC

3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为

V圆锥

1

AC2PC

1

（

3r）23r

3r3

，球取出后水面下降到EF，水体

3

1

3

1

1

积为V水

EH2

PH

（PHtan30）2PH

x3．

3

V球，则1

3

4r3

9

又V水

V圆锥

x3

3r3

，

解得x

315r．

9

3

例8分析：

此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

解：

如图，正四面体ABCD的中心为O，BCD的中心为O1，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半

径为正四面体中心到顶点的距离．设OO1r,OAR，正四面

体的一个面的面积为S．依题意得VABCD

1S（R

r），

又

1

3

VABCD

R

r

4r即R

3r．

4VOBCD4rS

3

4

内切球的表面积

4

r2

1

内切球的体积

r

3

1

所以

3

．

外接球的表面积

4R2

9

．

4

27

外接球的体积

R

3

3

说明：

正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内

切球的半径r1h（h为正四面体的高），且外接球的半径R3r．

4

例9．分析：

关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

解：

四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的

高h

22

（2

3）2

26

3

3

.而第四个球的最高点到第四个球的球心距

离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为226．

3

例10．分析：

此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线

上，故仍需作正方体的对角面

，得如图2

的截面图，在图2中，观

察R与r

和棱长间的关系即可．

解：

如图2，球心O1和O2

在AC上，过O1，O2分别作

AD,BC的垂线交于E,F

．则由AB

1,AC

3得

AO1

3r,CO2

3R．

rR

3（rR）

3，

Rr

3

3

2

3．

（1）设两球体积之和为V，

3

1

图2

4

（R

3

3

）

4

（

）（

2

Rrr

2）

则V

r

3

rRR

3

=

4

3

3（R

r）2

3rR

4

3

3

（3

3）2

3R（3

3

R）

3

2

3

2

2

2

=4

3

3

3R2

3（3

2

3）R

（3

2

3）2

3

2

当R

3

3时，V有最小值．

当R

r

3

3时，体积之和有最小值．

4

4

作业

解：

如图，球O是正三棱锥P

ABC的内切球，O到正三棱锥四

个面的距离都是球的半径

R

．

PH

是正三棱锥的高，即

PH

．

1E

是BC边中点，H在AE上，

ABC的边长为2

6

，∴

HE

3

26

2．

∴PE

3

6

可以得到

SPABSPAC

SPBC

1BCPE3

2．

SABC

3（2

6）2

6

3

2

4

由等体积法，VPABC

VOPAB

VOPAC

VOPBC

VO

ABC

∴1

6311

32

R

31

63R

得：

R

2

23

3

62，

3

3

3

3

∴球

4

24（6

2）2

8（526）

．

∴

球

4

R

3

4

（62）

3

．

S

R

V

3

3

说明：

球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．

2.分析：

首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

解：

如图，等边SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1．设球的半径OO1R，则它的外

切圆柱的高为

2R，底面半径为R

；OB

O1Ocot30

3R，

SO

OBtan60

3R

33R

，

∴

V球4

R3

，

1

3

V柱

R22R2R3，

V锥

（3R）23R3R3，

3

∴V球∶V柱∶V锥4∶6∶9．

3.分析：

可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：

如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1//BO2，

且若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1

AO1，

OO2

BO2．设球的半径为R．∵

O2B2

49

，∴O2B

7（cm）

同理

O1A2

400，∴O1A

20（cm）

设OO1

xcm，则

OO2

（x

9）cm．在RtOO1A中，R2

x2

202；在Rt

OO2B中，

R2

（x9）2

72，∴x2

2072

（x9）2，解得x15，∴

R2

x2

202

252，∴R

25∴S球

4R2

2500（cm2）．∴球的表面积为

2500

cm2．

【高考真题】1.解析：

由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝1

2

cos∠BAC＝2

5连结OM，则△OAM为等腰三角形

5

AM＝2AOcos∠BAC＝45

R，同理

＝

45

R，且

∥

而

AC

5

AN

5

MNCDw_w_w.

A

＝5R,CD＝R故MN：

CD＝AN:

ACw_

MN＝4R，

5

连结OM、ON，有OM＝ON＝R

O

N

MD

B

C

于是cos∠MON＝OM2

ON2

MN2

17

2OMgON

25

17

答案：

所以M、N两点间的球面距离是Rarccos

A

25

w_w_w.

2.【答案】4

【解析】设球半径为

r，则由3V球

V水

V柱可得3

3

2

2

解得r=4.

4r

r8

r6r

3

3.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。

解：

设球半径为R，圆M的半径为r

，则r2

3

，即r2

3由题得

R2

（R）2

3，所以R2

4

4R2

16。

2

4.

答案

:

2

解析

由

1

2

OA

OB

=2

由勾股定理在圆

O1

中

3

:

OO

则有O1A

O1B

2,

又AO1B=

则AB

2所以在AOB中，

2

OAOB

AB2

，则AOB为等边三角形

，那么AOB

60.

2.

由弧长公式l

r

（r为半径）得A,B两点间的球面距离lAB

r

2

3

3

5.解：

如图，易得BC

（2

13）2

62

4

，BD

82

62

27，∴CD

12，

则此球内接长方体三条棱长为

AB、BC、CD（CD的对边与CD等

长），从而球外接圆的直径为

2R

62

42

（12）2

8，R=4则BC

与球心构成的大圆如图，因为△

OBC为正三角形，则

B，C两

点间的球面距离是4

。