第77求圆锥曲线的离心率.docx
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第77求圆锥曲线的离心率
77课时求圆锥曲线的离心率
一.【三维目标】
1.知识与技能：
求圆锥曲线的离心率
2.过程与方法：
探究合作式学习
二【.重难点】：
1.重点：
求圆锥曲线的离心率
2.难点：
圆锥曲线中量的寻找
三．【小测试】：
1.写出在解决焦点三角形时的常用的一些方法
2.写出椭圆，双曲线，抛物线的离心率及范围
四．【问题导学】：
五．【例题探究】：
题型三：
有关圆锥曲线相关的离心率问题
（一）求离心率
例1.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
，求C的离心率
例2.设直线
过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，
与C交于A，B两点，
为C的实轴长的2倍，求C的离心率
（二）求离心率的取值范围
例1.已知
是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，
，求离心率的范围
例2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若双曲线存在一点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，求该双曲线的离心率的取值范围
例3..已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，求双曲线离心率的取值范围
六．【作业】：
1.已知椭圆C：
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为（ ）
A.35B.57C.45D.67
2．设a＞1，则双曲线x2a2－y2（a＋1）2＝1的离心率e的取值范围是（ ）
A．（2，2）B．（2，5）C．（2，5）D．（2，5）
3.设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D．3
4.已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（1，2）C．（1，1＋2）D．（2，1＋2）
5.过点M（1，1）作斜率为－12的直线与椭圆C：
x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
6.椭圆x2a2＋y25＝1（a为定值，且a＞5）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
7.设直线x－3y＋m＝0（m≠0）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
8.已知F1（－c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且
·
＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
9.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝12，则
·
的取值范围是________．
10.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），它的离心率是
11.双曲线
的两个焦点为
，若P为其上一点，且
，离心率的取值范围是
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（413），且|BF2|＝2，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
77课时求圆锥曲线的离心率
一.【三维目标】
1.知识与技能：
求圆锥曲线的离心率
2.过程与方法：
探究合作式学习
3.情感态度价值观：
解决圆锥曲线的几何性质
二【.重难点】：
1.重点：
求圆锥曲线的离心率
2.难点：
圆锥曲线中量的寻找
三．【小测试】：
1.写出在解决焦点三角形时的常用的一些方法
2.写出椭圆，双曲线，抛物线的离心率及范围
四．【问题导学】：
五．【例题探究】：
题型三：
有关圆锥曲线相关的离心率问题
（三）求离心率
例3.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
，求C的离心率
例4.设直线
过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，
与C交于A，B两点，
为C的实轴长的2倍，求C的离心率
（四）求离心率的取值范围
例1.已知
是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，
，求离心率的范围
例2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若双曲线存在一点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析 在△PF1F2中，由正弦定理知
|PF2|sin∠PF1F2＝|PF1|sin∠PF2F1，又sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，
∴|PF2||PF1|＝ac，
所以P在双曲线右支上，
设P（x0，y0），如图，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a2c－a.
由双曲线几何性质知|PF2|＞c－a，
则2a2c－a＞c－a，即e2－2e－1＜0，
∴1＜e＜1＋2.
答案 （1，1＋2）
11.已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析 如图所示，过点F2（c，0）且与渐近线y＝bax平行的直线为y＝ba（x－c），与另一条渐近线y＝－bax，
联立得y＝\f（baba）x，解得x＝\f（c2bc2a），即点M\a\vs4\al\co1（\f（cbc2a）.
∴|OM|＝\rc\2）＋\b\lc\（\rc\2＝c2
.
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞c，
即c2
＞c，得\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（ba）2））＞2.
∴双曲线率心率e＝ca＝
＞2.
故双曲线离心率的取值范围是（2，＋∞）．
答案 （2，＋∞）
六．【作业】：
1.已知椭圆C：
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为（ ）
A.35B.57C.45D.67
解析 如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝82＋102－x22×8×10＝45.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝10，∴ca＝57.
答案 B
2．设a＞1，则双曲线x2a2－y2（a＋1）2＝1的离心率e的取值范围是（ ）
A．（2，2）B．（2，5）C．（2，5）D．（2，5）
解析 e＝ca＝b2＋a2a2）＝
＝
，∵a＞1，∴0＜1a＜1，
∴1＜1＋1a＜2，∴2＜e＜5.
答案 B
3.设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为（ ）
A.43B.53C.94D．3
解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以（|PF1|＋|PF2|）2－（|PF1|－|PF2|）2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，
又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9\a\vs4\al\co1（\f（ba））2－9ba－4＝0，则\a\vs4\al\co1（\f（3ba）＋1）\a\vs4\al\co1（\f（3ba）－4）＝0，
解得ba＝43\a\vs4\al\co1（\f（b13）舍去，则双曲线的离心率e＝
＝53.
4.已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（1，2）C．（1，1＋2）D．（2，1＋2）
解析 由题意易知点F的坐标为（－c，0），A（－c，b2a），B（－c，－b2a），E（a，0），因为△ABE是锐角三角形，所以
·
>0，即
·
＝（－c－a，b2a）·
（－c－a，－b2a）>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e（e3－3e－3＋1）<0，
∴e（e＋1）2（e－2）<0，解得e∈（0，2），又e>1，
∴e∈（1，2），故选B.
答案 B
5.过点M（1，1）作斜率为－12的直线与椭圆C：
x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），且A，B在椭圆上，
21212222\f（xyb2xyb2）＝1，则有2122x－xa2＋2122y－yb2＝0，
∴（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0，
由题意知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
y1－y2x1－x2＝－12，
所以2a2＋12b2＝0，
∴a2＝2b2，∴e＝2）2.
6.椭圆x2a2＋y25＝1（a为定值，且a＞5）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，
所以c＝2，所以e＝ca＝23.
答案 23
7.设直线x－3y＋m＝0（m≠0）与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
（2）由x－3y＋m＝0，ba）x，得点A的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（ambm3b－a），
由x－3y＋m＝0，ba）x，得点B的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（－ambm3b＋a），
则AB的中点C的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（a2m3b2m9b2－a2），
∵kAB＝13，
∴kCP＝3b2m9b2－a2a2m9b2－a2＝－3，化简得\a\vs4\al\co1（\f（ba））2＝14，
所以双曲线的离心率e＝
＝14）＝5）2.
8.已知F1（－c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且
·
＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P（x，y），则
·
＝（－c－x，－y）·（c－x，－y）＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得
x2＝（2c2－b2）a2c2＝（3c2－a2）a2c2，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝ca∈\f（\r（3\r（22）.
答案 \f（\r（3\r（22）
9.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝12，则
·
的取值范围是________．
解：
因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.因为离心率e＝12，所以c＝1，b＝a2－c2＝3，则椭圆方程为x24＋y23＝1，所以A点的坐标为（－2，0），F点的坐标为（－1，0）．设P（x，y），则
·
＝（x＋2，y）·（x＋1，y）＝x2＋3x＋2＋y2.由椭圆方程得y2＝3－34x2，所以
·
＝x2＋3x－34x2＋5＝14（x＋6）2－4，因为x∈[－2，2]，所以
·
∈[0，12]．
答案
（1）2）2
（2）[0，12]
规律方法
（1）求椭圆的离心率的方法：
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
（2）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
10.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），它的离心率是
11.双曲线
的两个焦点为
，若P为其上一点，且
，离心率的取值范围是
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（413），且|BF2|＝2，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1（－c，0），F2（c，0）．
（1）因为B（0，b），所以|BF2|＝b2＋c2＝a.
又|BF2|＝2，故a＝2.
因为点C\a\vs4\al\co1（\f（413）在椭圆上，
所以169a2＋19b2＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.
（2）因为B（0，b），F2（c，0）在直线AB上，
所以直线AB的方程为xc＋yb＝1.
解方程组\f（xybx2y2b2）＝1，得x1＝\f（2a2ca2＋c2b（c2－a2）a2＋c2），x2＝0，y2＝b.）
所以点A的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（2a2cb（c2－a2）a2＋c2）.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为\a\vs4\al\co1（\f（2a2cb（a2－c2）a2＋c2）.
因为直线F1C的斜率为b（a2－c2）a2＋c22a2ca2＋c2＝b（a2－c2）3a2c＋c3，
直线AB的斜率为－bc，且F1C⊥AB，
所以b（a2－c2）3a2c＋c3·\a\vs4\al\co1（－\f（bc））＝－1.又b2＝a2－c2，
整理得a2＝5c2.
故e2＝15，因此e＝5）5.
（7）（8）作为例题，（12）（9）作为作业
求离心率取值范围：
（1）锐角数量积小于0
（2）定义结合余弦定理，基本不等式
（3）椭圆本身标准方程就可以写成平方和进行重要不等式放缩
（4）向量转化成坐标，表示成喊一个未知量的式子，再用x自带的范围引入不等式
（5）两边之和大于第三边，两边之和小于第三边
求离心率：
（1）线段之比转化到三角形相似
（2）垂直能用斜率乘积为-1尽量用
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