3数学全国百强校扬州中学学年高二下学期期中考试数学理试题.docx
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3数学全国百强校扬州中学学年高二下学期期中考试数学理试题
高二（理科）数学试卷
2015.4
、填空题（本大题共14小题，每小题5分,
共70分.）
1•若复数zi（2z），则z=
23
2.用数学归纳法证明1+aaaL
n2
1a*
（a1,nN），在验证n=1成立
1a
时，等式左边是
4•已知三棱锥O-ABC,点G是厶ABC的重心。
设OAa,OBb,OCc,那么向量OG用
5•将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有
▲种。
（用数字作答）
6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）.
7•一种报警器的可靠性为
90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到
10.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为
14.设,是关于x的方程x22xm0（mR）的两个根，则||||的值为▲二、解答题（本大题共6道题，共计90分）
15.（本小题满分15分）
求证：
1-2+3-4+•••+（2n—1）—（2n）—n（2n+1）（n€N）.
16.（本小题满分15分）
1
设z是虚数，z-是实数，且12.
z
（1）求|z|的值；
（2）求z的实部的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与厶PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点•
（1）求证：
AFEF;
（2）求二面角APCB的平面角的正弦值.
18.（本小题满分16分）
设函数f（x,n）1xn,nN
（1）求f（x,6）的展开式中系数最大的项;
（2）若f（i,n）32i（i为虚数单位），求C：
C；C；C：
C.
19.（本小题满分16分）
电子蛙跳游戏是：
青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD
ABGD1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.
（1）直接写出跳两步跳到C的概率P;
（2）求跳三步跳到C1的概率R；
（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布.
20.（本小题满分16分）
设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：
“①f（x）的定义域为R;②方程
f（x）x0有实数根；③函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1”.
xsinx
（1）判断函数f（x）是否是集合M中的元素，并说明理由；
24
（2）证明：
方程f（x）x0只有一个实数根；
（3）证明：
对于任意的x1,x2,x3，当|x2x1|1且|x3x1|1时,|f（X3）f（X2）|2.
IF
命题：
高一数学组
13.k1且d2或d0
江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理科）卷答案
1.1
i2.1aa23.0
4.!
a丄b1c
5.240
6.310
7.99%
333
.填空题:
8.2k
9.210.36
11.55
12.28
21m,（m0）
2,（0m1）
2m,（m1）
•解答题:
15.证明：
①门二1时，左边=1—2=—3,右边=一3，等式成立.6-
②假设疋时,等式咸立、f—2!
十才一孑b（21—1/—（2^）^=—Jt（ZZ-hl）
当刀=黑+1时.?
—4:
H（2^1^—（21+1）:
—（2^-p2）;——
kf汕+1）+佗弈十1）一一（2盒+2"1-丄一上（2止斗2"（4上+=—（2冷+5朮+3）=—（Jr+
1）[2.所以时.等式Ji咸■立.
由①边得，等式对任何虑»都咸丄i.
17.
（1）证明：
•••F是PB的中点，且PAAB,
AFPB.
△PAB与厶PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
PAAD，PAAB.
p7
ADIABA,AD平面ABCD,AB平面ABCD,
•PA
平面ABCD.
•/BC
平面ABCD,
•PA
BC.
•/四边形ABCD是正方形，
•BC
AB.
•••PAI
ABA,PA
平面PAB,
AB
；平面PAB,
•••BC
平面PAB.
•••AF
平面PAB,
•BC
AF.
•/PBI
BCB,PB
平面PBC,
•AF
平面PBC.
•••EF
平面PBC,
•AF
EF.
解法1：
作FHPC于
H，连接AH,
•••AF
丄平面PBC,PC平面PBC
•AF
PC.
•AFI
FHF,AF
平面AFH,
•PC丄平面AFH.
•-AH
平面AFH,
•PC
AH.
•••/AHF为二面角APC
B的平面角.
BC平面PBC,
（2）
FH平面AFH,
z
6'
设正方形ABCD的边长为2,
则PAAB2,AC22,
1
在Rt△PAB中，AFPB
2
在Rt△PAC中，PC.PA2AC2
23,AH
PAAC红6,在Rt△AFH
PC3
中，sinAHF
AF
AH2
.面角APCB的平面角的正弦值为
解法2：
以A为坐标原点，分别以AD,AB,AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
PAC平面ABCD.
连接BD，贝UBDAC.
•••BD平面PAC.
1cos2
面角APC
B的平面角的正弦值为
18•解：
（1）展开式中系数最大的项是第4项=
c；
33
x20x3；
32，所以n10.
（2）由已知，（1+i）n32i，两边取模，得（、2）n
所以C：
C3C；ClCrf=Ci0
C10C10C10C10
LCwi9Cwi10
而（1+i）10Ci00CwiCioi2L
C10-Ci20Ci40—CioCi80—Cw
Cio—5+C10—C10C10i32i
所以C；CwCw
Ci70Ci90
32.
19.解：
将A标示为0,Ai、
B、D标示为
1,Bi、C、Di标示为2,Ci标示为3，从A跳到B
1
到0与从2到3的概率为，
从1
2
到2与从2到1的概率为三.
3
3
（1）
P=2；
•••4'
9
（2）
P=P（0123）
——
12
1——
2.
r
…10'
3
3
9
（3）
X=0,1,2.
P
（X——1）
——P
（010123）
+P（012123）+P
（012321）
彳1
2
1,彳
2
22
1_21
2
=11
+1
+11
3
3
3
3
33
333
3
记为01,从B跳到Bi再跳到
Ai记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1
262116
=,P（X=2）=P（012323）=11=
8133381?
49
P（X=0）=1—P（X=1）—P（X=2）=—
81
或P（X=0）=P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121）
X
0
1
2
P
49
26
6
81
81
81
16
妨设
f（x）1.••函数f（x）x为减函数,
f（）>0（）,矛盾.所以
-4'
0不
10
方程f（x）x0只有一个实数根
（3）不妨设X2X3,Tf（x）0,•••f（x）为增函数，•••f（X2）f（X3），又•••f（x）1
•••函数f（x）x为减函数，•f（X2）X2f（X3）X3,
•0f（X3）f（X2）X3X2，即|f（X3）f（X2）||X3X2|,
•If（X3）f（X2）11X3X211X3X!
（X2x1）11X3X!
I1X2捲I216
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