3数学全国百强校扬州中学学年高二下学期期中考试数学理试题.docx
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3数学全国百强校扬州中学学年高二下学期期中考试数学理试题
高二(理科)数学试卷
2015.4
、填空题(本大题共14小题,每小题5分,
共70分.)
1•若复数zi(2z),则z=
23
2.用数学归纳法证明1+aaaL
n2
1a*
(a1,nN),在验证n=1成立
1a
时,等式左边是
4•已知三棱锥O-ABC,点G是厶ABC的重心。
设OAa,OBb,OCc,那么向量OG用
5•将3名男生和4名女生排成一行,甲、乙两人必须站在两头,则不同的排列方法共有
▲种。
(用数字作答)
6.某医院有内科医生5名,外科医生6名,现要派4名医生参加赈灾医疗队,如果要求内科医生和外科医生中都有人参加,则有▲种选法(用数字作答).
7•一种报警器的可靠性为
90%,那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到
10.边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为
14.设,是关于x的方程x22xm0(mR)的两个根,则||||的值为▲二、解答题(本大题共6道题,共计90分)
15.(本小题满分15分)
求证:
1-2+3-4+•••+(2n—1)—(2n)—n(2n+1)(n€N).
16.(本小题满分15分)
1
设z是虚数,z-是实数,且12.
z
(1)求|z|的值;
(2)求z的实部的取值范围.
17.(本小题满分15分)
如图,四边形ABCD是正方形,△PAB与厶PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点F是PB的中点,点E是边BC上的任意一点•
(1)求证:
AFEF;
(2)求二面角APCB的平面角的正弦值.
18.(本小题满分16分)
设函数f(x,n)1xn,nN
(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;
(2)若f(i,n)32i(i为虚数单位),求C:
C;C;C:
C.
19.(本小题满分16分)
电子蛙跳游戏是:
青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD
ABGD1顶点A起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点.
(1)直接写出跳两步跳到C的概率P;
(2)求跳三步跳到C1的概率R;
(3)青蛙跳五步,用X表示跳到过C1的次数,求随机变量X的概率分布.
20.(本小题满分16分)
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:
“①f(x)的定义域为R;②方程
f(x)x0有实数根;③函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1”.
xsinx
(1)判断函数f(x)是否是集合M中的元素,并说明理由;
24
(2)证明:
方程f(x)x0只有一个实数根;
(3)证明:
对于任意的x1,x2,x3,当|x2x1|1且|x3x1|1时,|f(X3)f(X2)|2.
IF
命题:
高一数学组
13.k1且d2或d0
江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理科)卷答案
1.1
i2.1aa23.0
4.!
a丄b1c
5.240
6.310
7.99%
333
.填空题:
8.2k
9.210.36
11.55
12.28
21m,(m0)
2,(0m1)
2m,(m1)
•解答题:
15.证明:
①门二1时,左边=1—2=—3,右边=一3,等式成立.6-
②假设疋时,等式咸立、f—2!
十才一孑b(21—1/—(2^)^=—Jt(ZZ-hl)
当刀=黑+1时.?
—4:
H(2^1^—(21+1):
—(2^-p2);——
kf汕+1)+佗弈十1)一一(2盒+2"1-丄一上(2止斗2"(4上+=—(2冷+5朮+3)=—(Jr+
1)[2.所以时.等式Ji咸■立.
由①边得,等式对任何虑»都咸丄i.
17.
(1)证明:
•••F是PB的中点,且PAAB,
AFPB.
△PAB与厶PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
PAAD,PAAB.
p7
ADIABA,AD平面ABCD,AB平面ABCD,
•PA
平面ABCD.
•/BC
平面ABCD,
•PA
BC.
•/四边形ABCD是正方形,
•BC
AB.
•••PAI
ABA,PA
平面PAB,
AB
;平面PAB,
•••BC
平面PAB.
•••AF
平面PAB,
•BC
AF.
•/PBI
BCB,PB
平面PBC,
•AF
平面PBC.
•••EF
平面PBC,
•AF
EF.
解法1:
作FHPC于
H,连接AH,
•••AF
丄平面PBC,PC平面PBC
•AF
PC.
•AFI
FHF,AF
平面AFH,
•PC丄平面AFH.
•-AH
平面AFH,
•PC
AH.
•••/AHF为二面角APC
B的平面角.
BC平面PBC,
(2)
FH平面AFH,
z
6'
设正方形ABCD的边长为2,
则PAAB2,AC22,
1
在Rt△PAB中,AFPB
2
在Rt△PAC中,PC.PA2AC2
23,AH
PAAC红6,在Rt△AFH
PC3
中,sinAHF
AF
AH2
.面角APCB的平面角的正弦值为
解法2:
以A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴,
PAC平面ABCD.
连接BD,贝UBDAC.
•••BD平面PAC.
1cos2
面角APC
B的平面角的正弦值为
18•解:
(1)展开式中系数最大的项是第4项=
c;
33
x20x3;
32,所以n10.
(2)由已知,(1+i)n32i,两边取模,得(、2)n
所以C:
C3C;ClCrf=Ci0
C10C10C10C10
LCwi9Cwi10
而(1+i)10Ci00CwiCioi2L
C10-Ci20Ci40—CioCi80—Cw
Cio—5+C10—C10C10i32i
所以C;CwCw
Ci70Ci90
32.
19.解:
将A标示为0,Ai、
B、D标示为
1,Bi、C、Di标示为2,Ci标示为3,从A跳到B
1
到0与从2到3的概率为,
从1
2
到2与从2到1的概率为三.
3
3
(1)
P=2;
•••4'
9
(2)
P=P(0123)
——
12
1——
2.
r
…10'
3
3
9
(3)
X=0,1,2.
P
(X——1)
——P
(010123)
+P(012123)+P
(012321)
彳1
2
1,彳
2
22
1_21
2
=11
+1
+11
3
3
3
3
33
333
3
记为01,从B跳到Bi再跳到
Ai记为121,其余类推.从0到1与从3到2的概率为1,从1
262116
=,P(X=2)=P(012323)=11=
8133381?
49
P(X=0)=1—P(X=1)—P(X=2)=—
81
或P(X=0)=P(010101)+P(010121)+P(012101)+P(012121)
X
0
1
2
P
49
26
6
81
81
81
16
妨设
f(x)1.••函数f(x)x为减函数,
f()>0(),矛盾.所以
-4'
0不
10
方程f(x)x0只有一个实数根
(3)不妨设X2X3,Tf(x)0,•••f(x)为增函数,•••f(X2)f(X3),又•••f(x)1
•••函数f(x)x为减函数,•f(X2)X2f(X3)X3,
•0f(X3)f(X2)X3X2,即|f(X3)f(X2)||X3X2|,
•If(X3)f(X2)11X3X211X3X!
(X2x1)11X3X!
I1X2捲I216