G005304华师一附中20XX届高三新课标第一轮复习教案第十六.docx
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G005304华师一附中20XX届高三新课标第一轮复习教案第十六
G0053--04--华师一附中20XX届高三（新课标）第一轮复习教案（第十六
高三第一轮复习教案 第十六章导数及其应用 华中师大一附中黄松生
第四讲定积分与微积分基本定理
教学目的：
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的
定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用
教学重点：
理解掌握定积分的几何意义；会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及
物理中的应用
教学难点：
会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用
【知识概要】
知识点1定积分的概念
一般地，设函数f（x）在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2xi1xixnb将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x，在每个小区间xi1,xi上取一点
ii1,2,,n，作和式：
Snnni1f（i）xi1banf（i）
如果x无限接近于0时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数记为：
Sf（x）在区间[a,b]上的定积分。
为积分区间，b积分上限，a积分下限。
指出：
定积分f（x）dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S称为abbabax叫做积分变量，其中f（x）成为被积函数，f（x）dx。
[a,b]f（x）dx。
而不是Sn．
用定义求定积分的一般方法是：
①分割：
n等分区间a,b； ②近似代替：
取点ixi1,xi；
n③求和：
i1banf（i）； ④取极限：
f（x）dxlimabnni1fiban
ba曲边图形面积：
Sbafxdx；变速运动路程St2t1v（t）dt；变力做功WF（r）dr
知识点2定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数连续且恒有f（x）0，那么定积分f（x）dx表示
ab直线xa,xb，y0和曲线yf（x）所围成的曲边梯形的面积。
指出：
一般情况下，定积分f（x）dx的几何意义是介于x轴、函数f（x）的
ab图形以及直线xa,xb之间各部分面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值。
在x轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数．
第四讲定积分与微积分基本定理
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知识点3定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1性质2性质3
bab1dxba
kf（x）dxkf（x）dx
ababab[f1（x）f2（x）]dxcbabf（x）dx1ba2x f（x）dbac）性质4
af（x）dxaf（x）dxc（f）x其dx（中b性质5若f（x）0,xa,b，则f（x）dx0
a推论1：
f（x）g（x），f（x）dxg（x）dxab
aabb推论2：
f（x）dxabbag（x）dx ab
性质6设M,m为f（x）在a,b上的最大值、最小值，则m（ba）babaf（x）dxM（ba）
性质7若f（x）a,b，则至少有一a,b，使f（x）dxf（ba）.
m证：
性质6知。
b1babaf（x）dxM，依介值定理，必有a,b，使
1babaf（x）dxf。
即f（x）dxf（ba）。
a指出：
①推广：
[f1（x）f2（x）fm（x）]dxabbaf1（x）dxf（x）dxbaf2（x）dxbafm（x）
②推广:
f（x）dxabc1af（x）dxc2c1f（x）dxbck
知识点4微积分基本定理
一般地，如果f（x）是在区间[a,b]上的连续函数，且F'（x）f（x）．则f（x）dxF（b）F（a）
ab证：
因为（x）=f（t）dt与F（x）都是f（x）的原函数，故F（x）-（x）=C
ax其中C为某一常数。
令xa得F（a）-（a）=C，且（a）=f（t）dt=0，即有C=F（a），故F（x）=（x）+F（a）
aa（x）=F（x）-F（a）=f（t）dt，令xb，有f（x）dxF（b）F（a）。
aaxb指出：
为了方便起见，还常用F（x）|a表示F（b）F（a），即f（x）dxF（x）|aF（b）F（a）
abbb一个函数的导数是惟一的，而其函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分
基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
第四讲定积分与微积分基本定理
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求定积分的方法：
利用定义求定积分。
利用微积分基本定理求定积分，步骤如下：
①求被积函数f（x）的一个原函数F（x）；②计算F（b）F（a）．利用定积分的几何意义求定积分：
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：
定积分单位圆面积的
14101xdx的几何意义是求
2，所以
11xdx24．
0
【基础题典例解析】
例1
求y2xx2,y0,0x2围成图形面积
解：
1.分割：
在区间0,2上等间隔地插入n1个点，将区间0,2等分成n个小区间：
2i12i2n1224,（i1,2,,n），其长度为,1.记第i个区间为，，…，0,nn,nnnnx2in2i1n2n.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分
n别记作：
S1，S2，…，Sn,显然，SSi1i.
2i12i,（i1,2,,n）上，近似代替：
∵y2xx2，当n很大，即x很小时，在区间nn可以认为函数y2xx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
222i1n处
2i12i2i12i1,上，用小矩形的面积Si近似的代替的函数值2，这样，在区间nnnn2i12i12Si，即在局部范围内“以直代取”，则有SiSi2x
nn2i12i1222 ①
nnn求和：
①，上图中阴影部分的面积Sn为
nniSnSi1i12i12i122ni1i122=41n
nnnnni1第四讲定积分与微积分基本定理
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n=
8n3i188222ni1i12=012n112n13n2n=
8nn1n228n3n1n2n16,从而得到S的近似值SSnn8nn1n228n3n1n2n16
8nn18n1n2n14取极限SlimSnlim23. nn2n6i1n3例2（x2x1）dx；
122
（sinxcosx）dx；
0（xx2）dx；
121x
（cosxex）dx
0（xx）dx；
012 2sin22x2dx； |32x|dx．
12sinxdx； 022sinxdx； 20sinxdx。
解：
（x2x1）dx1222xdx212x1dx112x32223x121x1194．
（sinxcosx）dxsinxdxcosxdx（cosx）0002sinx002．
（xx）dx121x2xdx12xdx2121xdxx2021x222130lnx113273ln2ln256．
（cosxe）dxcosxdx0x00edxsinxxex11e．
指出：
计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导公式找到一个相应的原函数；
利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算原始定积分的值．
计算f（x）dx的关键是找到满足F'（x）f（x）的函数F（x）．其中F（x）可将基本初等函数的导数公式逆
ab向使用得到．
（xx）dx（x012131213x）0216．
先对sin2x22进行变式；2sin2x2dx21cosx2dx20212dx02cosx2dx212x2212sinx20
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00第四讲定积分与微积分基本定理
高三第一轮复习教案 第十六章导数及其应用 华中师大一附中黄松生（20）（10）22．
2323|32x|dx23232去掉绝对值，分段积分．|32x|dx12|32x|dx12（32x）dx1（32x）dx
31（3xx）22（x3x）23212．
1因为（cosx）'sinx，所以sinxdx（cosx）|（cos）（cos0）2,002sinxdx（cosx）|（cos2）（cos）2，sinxdx（cosx）|0（cos2）（cos0）0.
2220指出：
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
当对应的曲边梯形位于x轴上方时且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
例3
计算两条抛物线y2x和yx2所围成的图形的面积.
解：
分析两条抛物线所围成的图形的面积，可以以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
yx、，x0及x1，所以两曲线的交点为2yxyx面积S=10xdx10323x1222xdx，所以S=（x-x）dxx=3。
033011指出：
求曲边梯形面积的方法与步骤：
①画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
②对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；③确定被积函数；
④求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
x型区域：
CODA
yx2B
①一条曲线yf（x）（其中f（x）0）与直线xa,xb（ab）以及x轴所围成的曲边梯形的面积：
S＝baf（x）dx）；
yyf（x）yayf（x）b②一条曲线与yf（x）（其中f（x）0）bxyyf（x）abxyg（x）b直线xa,xb（ab）以及x轴所围成的曲边梯形的面积：
S＝f（x）dx＝－f（x）dx）；
aaabx③两条曲线yf（x），yg（x）（其中f（x）g（x））与直线xa,xb（ab）所围成的曲边梯形的
第四讲定积分与微积分基本定理
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b面积：
S＝|f（x）－g（x）|dx）；
ay型区域：
①一条曲线yf（x）（其中x0）与直线ya,yb（ab）以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可yf（x）得xh（y），然后利用）；S＝h（y）dy求出
byyf（x）yf（x）yxbybbyf（x）xaayg（x）ax②一条曲线yf（x）（其中x0）a与直线ya,yb（ab）以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可yf（x）先求出xh（y），然后利用
S＝bah（y）dy＝－）；h（y）dy求出
ab③两条曲线yf（x），yg（x）与直线ya,yb（ab）所围成的曲边梯形的面积，可然后利用S＝yf（x），yg（x）先分别求出xh1（y），xh2（y）。
|h（y）－ha1b2（）；y）|dy求出
求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为yf（x）（axb），函数f（x）在区间[a,b]上可导，且
f（x）连续，则曲线AB的弧长为l'ba1[f（x）]dx.
'2求旋转体的体积和侧面积
曲线yf（x），直线xa,xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积为V[f（x）]dx.其侧面积为S侧2f（x）1[f（x）]dx.
aab2b'2例4计算直线yx4，曲线y2x以及x轴所围图形的面积S.
解：
分析：
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线yx4与曲线y的交点．
作出直线yx4，曲线yy2x,2x的交点的横坐标，直线yx4与x轴
所求面积为图1.7一2阴2x的草图，影部分的面积．解方程组yx4得直线yx4与曲线y2x的交点的坐标为第一轮复习教案 第十六章导数及其应用 华中师大一附中黄松生
例5求定积分32166xxdx
2计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积．解：
设y166xx2，即（x3）2y225（y0）．∵32166xxdx表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴
23166xxdx2254．
x0y32如图，设f（x）x3，g（x）x22x3，两函数图象的交点为A，B，x3y6yx3yx2x32得
或S，∴曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积
33[f（x）g（x）]dx030[（x3）（x2x3）]dx3232（x3x）dx（213x3x）02920．故曲线与直线所围图形的面积为
92．
指出：
用定积分的几何意义求定积分不仅简捷明了，而且充分体现了初等数学与高等数学之间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本部分的关键．
第题，还可以先算f（x）x3在[0,3]上的定积分，再减去函数g（x）x22x3在[0,3]上的定积分，这样显然不如直接计算f（x）g（x）在[0,3]上的定积分简便．故审题要注意选择好方法．
例6
一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．分析：
题意知，在t[0,10）和t[40,60）物体作匀变速直线运动，t[10,40）作匀速行动，∴v（t）应为分段函数，应分三段求积分．
3t,t[0,10）t[10,40）
解：
速度—时间曲线易知，v（t）30,变速直线运动的路程公式可得
s
90,t[40,60]
3tdt30dt010104060（90）dt321040t2030t10（3460t90t）402135040（m）\\
答：
此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m．
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。
譬如：
求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。
上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：
化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性
例7
一物体按规律xbt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速率的平方成正比，试求物体x0运动到xa时，阻力做的功．
第四讲定积分与微积分基本定理
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解：
物体的速度vx'（t）（bt3）'3bt2，媒质阻力f阻kv2k（3bt2）29kb2t4．（中k为比例常数，k0）
a1当x0时，t0，当xa时，tt13。
b∴阻力做的功是：
W阻a0f阻dxt1kvvdtk20t1vdtk30t1（3bt）dt22770kbt137277k3ab72277ka23ab2
例8
A、B两站相距，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为（m/s），到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为m/s，在B点恰好停车，试求
A、C间的距离； B、D间的距离； 电车从A站到B站所需的时间。
分析：
作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v（t）（v（t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分,即S＝v（t）dt
a20解：
设A到C的时间为t1则=24,t1=20（s）,则AC＝|0240（m）
020设D到B的时间为t21则=0,t21=20（s）,则DB＝dt|0240（m）
02020bCD=7200-2240=6720（m）,则从C到D的时间为280（s）,则所求时间为20+280+20=320
【综合题典例解析】
例1已知定义在R上的奇函数f（x）x3bx2cxd在x1处取得极值.求函数f（x）的解析式；
试证：
对于区间[1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f（x1）f（x2）|4成立；
若过点P（m,n）,（m、nR,且|m|2）可作曲线yf（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积.
'2''解：
题意f（0）0，∴d0，∴f（x）3x2bxc,又f
（1）f
（1）0。
32bc03,解得b0,c3.∴f（x）x3x 即。
32bc0
3'2'∵f（x）x3x，f（x）3x33（x1）（x1），当1x1时，f（x）0，故f（x）在区间[－1，1]上为减函数，∴fmax（x）f
（1）2,fmin（x）f
（1）2，对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1,x2，∴|f（x1）f（x2）|f
（1）f
（1）4
32设切点为M（x0,y0），则点M的坐标满足y0x03x0.因f（x0）3（x01），故切线l的方程
232为：
yy03（x01）（xx0），∵P（m,n）l，∴n（x03x0）3（x01）（mx0），整理得
第四讲定积分与微积分基本定理8
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2x03mx03mn0，∵若过点P（m,n）可作曲线yf（x）的三条切线，∴关于x0方程2x03mx03mn0有三个实根，设g（x0）2x03mx03mn，则
g（x0）6x06mx06x0（x0m），g（x0）0，得x00或x0m，对称性，先考虑m0
32∵g（x0）在（,0），（m,）上单调递增，在（0,m）上单调递减，∴函数g（x0）2x03mx03mn的'2'32323232极值点为x00,或x0m，∴关于x0方程2x03mx03mn0有三个实根的充要条件是
g（0）0，解得3mnm33m，故0m2时，点P对应平面区域的面积g（m）0S20（m3m）（3m）dm320mdm314m4|04,故|m|2时，所求点P对应平面区域的面积为
22S，即8.
例2已知二次函数f（x）ax2bxc,直线l1:
yt28t（其中0t为常数）；l2:
x2.若直线l1、l2与函数f的图象以及l1，y轴与函数f的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
求a、b、c的值；
求阴影面积S关于t的函数S的解析式；
若g（x）6lnxm,问是否存在实数m，使得y=f的图象与y=g的图象有且只有两个不同的交点？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理.
c0a12解：
图形知：
a8b8c0解之得：
b8，∴函数f的解析式为
c024acb16,4af（x）x8x
2yt8t2，得x8xt（t8）0,x1t,x28t,∵0≤t≤2∴直线l1与f的图
2yx8x2象的交点坐标为令（x）g（x）f（x）x8x6lnxm.因为x＞0，要使函数f与函数g有且仅
第四讲定积分与微积分基本定理
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有2个不同的交点，则函数（x）x28x6lnxm的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
6x2x8x6x2（x）2x8'2（x1）（x3）x'（x0），当x∈时，（x）0,（x）是
增函数；当x∈时，'（x）0,（x）是减函数；当x∈时，'（x）0,（x）是增函数当x=1或x=3时，'（x）0，∴（x）极大值为
（1）m7;（x）极小值为（3）m6ln315又因为当x→0时，（x），当x时，（x），所以，要使（x）0有且仅有两个不同
（1）0（3）0m70m6ln3150，即，∴m=7或或或（3）0
（1）0m6ln3150m70的正根，必须且只须m156ln3.∴当m=7或m156ln3.时，函数f与g的图象有且只有两个不同交点．
例3抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．
求A．b满足的关系；
求使S达到最大值的A．b值，并求S的最大值．
解：
依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以Sba0（ax2bx）dx16a2b①．又直线x＋y=4与抛物线y=ax＋bx相切，即它们有唯一的公共点。
32
xy422
方程组得ax＋（b＋1）x－4=0，其判别式必须为0，即（b＋1）＋16a=0．于是2yaxbxa116（b1）,代入①式得：
S（b）2128b346（b1）,（b0），S（b）128b（3b）3（b1）52．令S'（b）=0；在b＞0
时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0．故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且Smax1492．
例4已知函数f（x）x在x处的切线为l，函数g（x）kxm（m0）的图像与l平行．
当m94，求f（x）图像上的点到g（x）图像上的点的最短距离；
若不等式f（x）mg（x）f（x）对x[1,4]恒成立．求m的取值范围M；
对于上述的区间M，是否存在一个属于区间M的实数，使直线yx5（0）,直线
263yx6，以及f（x）x与x轴的负半轴共同围成的面积为？
若存在，求出这样的值.若不存
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第四讲定积分与微积分基本定理
高三第一轮复习教案 第十六章导数及其应用 华中师大一附中黄松生
在，说明理． 解：
因为f（x）x，所以f（x）111，则切线的斜率为kf1，切点T（,），所以切
4422x1线方程为xy14940．因为切线l与直线g（x）kxm（m0）平行，所以k1,g（x）xm．
94当m时，g（x）x，f（x）图象上的点到g（x）图象上点的最短距离为切线l：
92142．
xy140和直线xy940之间的距离，即dmin4因为f（x）mg（x）f（x），所以f（x）f（x）mg（x）f（x），即0mg（x）2f（x），所以0mxm2x．因为m0，故只须mxm2x，即mxm2x0对x1,4恒
222成立，设tx（1t2）．令k（t）mt22tm，则问题转化为k（t）0对任意t1,2恒成立．当
2k
（1）m2m20m0时，k（t）2t0；当m0时，所以k
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