五年级奥数.docx
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五年级奥数
一、消去问题
（一）
有些应用题里，给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知数的数量。
我们在解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。
这样的解题方法，我们通常把它叫做“消去法”。
例题与方法
在学习例题前，我们先进行一些基本数量关系的练习，为用消去法解题作好准备。
（1）买1个皮球和1个足球共用去40元，买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？
（2）3袋大米和3袋面粉共重225千克，1袋大米和1袋面粉共重多少千克？
（3）6行桃树和6行梨树一共120棵，照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？
（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯，一共用去172元，每个水瓶18元，每个茶杯多少元？
例题1:
学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯，共用去118元。
水瓶和茶杯的单价各是多少元？
例题2:
买3个篮球和5个足球共用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。
篮球和足球的单价各是多少元？
练习与思考
（第1～4题每题5分，其余每题10分，共100分）
１、1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克，同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（）千克。
２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元，买1条毛巾和1条枕巾要（）元。
３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元，买同样的9本字典和9本笔记本一共要（）元。
４、9筐苹果和9筐梨共重495千克，找这样计算，2筐苹果和2筐梨共重（ ）千克。
５、妈妈买了５米画布和３米白布，一共用去１０２元。
花布每米１５元，白布每米多少元？
６、果园里有１４行桃树和２０行梨树，桃树和梨树一共有４４０棵。
每行梨树１５棵，每行桃树多少棵？
７、买３千克茶叶和５千克糖，一共用去４２０元，买同样的３千克茶叶和３千克糖，一共用去８７４元。
每千克茶叶和每千克糖各多少元？
8、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉，一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉，一共重550千克。
每袋大米和每袋面粉各重多少千克？
9、3豹味精和7包糖共重3800克，同样的3包味精和14包糖共重7300克。
每包味精和每包糖各重多少克？
10、育新小学买了8个足球和12个篮球，一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和10个篮球，一共用去1240元。
每个足球和每个篮球各多少元？
11、买15张桌子和25把椅子共用去3050元；买同样的5张桌子和20张椅子，需要1600元。
买一张桌子和一把椅子需要多少元？
12、3头牛和6只羊一天共吃草93千克，6头牛和5只羊一天共吃草130千克。
每头牛每天比每只羊多吃多少千克
二、消去问题
（二）
例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克。
求每袋大米和每袋面粉的重量。
例2、甲买了8盒糖和5盒蛋糕共用去元；乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。
每盒糖和每盒蛋糕各多少元？
例3、三头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天吃青草165千克。
一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？
练习与思考
（第1～3题每空4分，其余每题10分，共100分。
）
1、3个皮球和5个足球共245元，同样的6个皮和10个足球共（）元。
2、2条床单和3条毛巾共280元。
一条床单和一条毛巾共（）元，2条床单和2条毛巾共（）元。
3、5盒铅笔和9盒钢笔共190支，同样的2盒铅笔和6盒钢笔共100支。
3盒铅笔和3盒钢笔共（）支，1盒铅笔和1支钢笔共（）支。
4、育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球，共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球，共用去180元。
每个篮球和每个排球各多少元？
5、3筐苹果和5筐梨共重138千克，5筐同样的苹果和3筐同样的共重134千克。
，每筐苹果和每筐梨各重多少千克？
6、某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重850千克。
一袋大米和一袋面粉各重多少千克？
7、3件上衣和7条裤子共430元，同样的7件上衣和3条裤子共470元。
每件上衣和每条棵子各多少元？
8、2千克水果糖和5千克饼干共64元，同样的3千克水果糖和4千克饼干共68元。
每千克水果糖和每千克饼干各多少元？
9、5包科技书和7包故事书共620本，6包科技书和3包故事书共420本。
每包科技书比每包故事书少多少本？
10、3个水瓶和8个茶杯共92元，5个水瓶和6个茶杯共102元。
每个水瓶和每个茶杯各多少元？
11、甲有5盒糖，乙有4盒糕共值44元。
如果甲、乙两人对换一盒，则每人所有物品的价值相等。
一盒糖、一盒糕各值多少元？
三、流水行船问题
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速
（1）逆水速度=船速-水速
（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速船速=顺水速度-水速
由公式
（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度船速=逆水速度+水速
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式
（1）和公式
（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速。
这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。
同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：
甲船顺水速度-乙船顺水速度
=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）
=甲船速-乙船速。
如果两船逆向追赶时，也有
甲船逆水速度-乙船逆水速度
=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）
=甲船速-乙船速。
这说明水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。
由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答。
例1、一艘每小时行驶30千米的客轮，在一河水中顺水航行165千米，水速每小时3千米。
问：
这艘客轮需要航行多少小时？
例2、一艘船顺水行320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米，这艘船逆水每小时行多少千米？
这艘船逆水行这段路程，需要多少小时？
例3、甲船逆水航行360千米需要18小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的一条水路需要15小时，返回原地需要多少小时？
例4、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?
练习与思考（每题10分）
1、一只小船以每小时30千米的速度在176千米长的河中逆水而行，用了11小时。
这只小船返回原处需要用多少小时？
2、船在静水中的速度是每小时25千米，河水流速为每小时5千米，一只船往返甲、乙两港共花了9小时，两港相距多少千米？
3、两地距280千米，一艘轮船在期间航行，顺流用去14小时，逆流用去20小时。
求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度。
4、一架飞机所带的燃料，最多可以用6小时，飞机去是顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米，就需要往回飞？
5、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时。
甲船顺水航行同一段水路，用了3小时。
甲船返回原地比去时多用多少小时？
6、甲乙两码头相距560千米,一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头,已知船在静水中每小时行驶24千米,问这船返回甲码头需几小时?
7、静水中,甲船速度是每小时22千米,乙船速度是每小时18千米,乙船先从某港开出顺水航行,2小时后甲船同方向开出,若水流速度为每小时4千米,求甲船几小时可以追上乙船?
8、一条轮船在两码头间航行,顺水航行需4小时,逆水航行需5小时,水速是2千米,求这轮船在静水中的速度.
9、甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港需要35小时,逆流航行比顺流航行多花5小时,另一机帆船每小时行12千米,这只机帆船往返两港需要多少小时?
10、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。
求水流的速度。
四、流水行船问题2
例1、一条大河，河中间（主航道）水速为每小时8千米，沿岸边水速为每小时6千米，一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米，求这条船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时？
例2、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
例3、甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？
如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
例4、甲、乙两船分别从A港逆水而上，静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，已离开A港多少千米？
例5、一艘轮船顺水行48千米需4小时，逆水行48千米需6小时，现在轮船以这样的速度从上游甲码头到下游乙码头，水路长72千米。
开船时正好掉下一块木板，顺水漂流，则轮船到乙码头时，木板还离乙码头多少千米？
巩固练习
1、某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
2、两个码头之间相距560千米，客船顺流而下行完全程需14小时，逆流而上行完全程需20小时。
求船速和水速。
3、A河是B河的支流，A河水的水速为每小时3千米，B河水的水速是每小时2千米。
一艘船沿A河顺水航行7小时，行了133千米到达B河，在B河还要逆水航行84千米，问这艘船还要航行几小时？
4、一摩托车顶风行40千米用了2小时，风速为每小时2千米，则这辆摩托车顺风行驶时每小时行多少千米？
5、甲、乙两船的速度分别是每小时24千米和每小时18千米，乙船先从某码头顺水航行，3小时后，甲船同方向开出。
若水速是每小时5千米，则甲船开出后几小时可以追上乙船？
6、客船和货船的速度分别中每小时20千米和16千米。
两船从某码头同向顺水而行，货船先行3小时，已知水流速度是每小时4千米，问几小时后客船可以追上货船？
7、甲、乙两船分别从A港逆水而上，静水中甲船每小时行15千米，乙船每小时行12千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，已离开A港多少千米？
8、已知一艘轮船顺水行48千米需4小时，逆水行48千米需6小时。
现在轮船从上游A城到下游B城，已知两城的水路长72千米，开船时一旅客从窗口投出一块木板，问船到B城时木板离B城还有多少千米？
9、小梅划一条小船向上游划去，将草帽放在了船尾，草帽被风吹进了河中，当他发现并调过船头时，草帽已与船相距1千米，若船是以每小时5千米的速度行驶，水流速度每小时2千米，那么，他追上草帽需要几小时？
10、王红的家离学校10千米，他每天早晨骑车上学都以每分钟250米的速度骑，正好能准时到校。
一天早晨，因为逆风，风速为每分钟50米，开始4千米，他仍以每分钟250米的速度骑，那么，剩下的6千米，他应以每分钟多少米的速度才能准时到校？
五、流水行船问题3
（1、2题每空3分，3--15题每题7分）
1、一只船在河中航行，水流速度为每小时3千米，船在静水中的速度为每小时8千米，则该船顺水航行的速度为每小时（），船逆水航行的速度为每小时（）。
2、一只船在河中顺水航行了4小时，航程为48千米，已知水速为每小时3千米，则该船在河中逆水航行时需要（）小时。
3、某船从A地航行到B地需5小时，返回时只需4小时。
已知A,B两地相距的120千米，则船的静水速度和水速分别是多少？
4、晓雪同学制作了一只船模在河边进行试航，它逆水11分钟航行的距离为88米，顺水11分钟航行了242米，若晓雪把航模放在静水中航行，2分钟能够航行多少米？
5、一学生顺风跑90米和逆风跑70米均用了10秒，求出在无风的情况下参加百米竞赛的成绩？
6、甲乙两船分别从A,B两地同时相向出发，甲船静水速度为30千米／小时，乙船静水速度为24千米／小时。
2小时后两船相遇，则A,B两地的距离是多少千米？
7、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?
8、船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?
9、已知一艘轮船顺水行48千米需4小时，逆水行48千米需6小时。
现在轮船从上游A城到下游B城，已知两城的水路长72千米，开船时一旅客从窗口投出一块木板，问船到B城时木板离B城还有多少千米？
10、A、B两个码头相距180千米。
甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。
甲船顺水行全程用10小时。
乙船顺水行全程用几小时？
11、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距4千米，假定小船的顺水速度是每小时9千米，水流速度是每小时4千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
12、静水中甲、乙两船的速度为22千米、18千米,两船先后自港口顺水开出,乙比甲早出发2小时,若水速是每小时4千米,问甲开出后几小时可追上乙?
13、已知从河中A地到海口60千米,如船顺流而下,4小时可到海口.已知水速为每小时6千米,船返回已航行4小时后,因河水涨潮,由海向河的水速为每小时3千米,此船回到原地,还需再行多少小时？
14、一只船在河里航行,顺流而下,每小时行18千米,船下行2小时与上行3小时的路程相等,那么船速和水速各是多少？
15、一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。
一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。
求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？
等差数列知识点
这一讲我们学习有关等差数列的知识。
（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…
（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…
（3）1，4，9，16，25，36，49，…
上面三组数都是数列。
1、数列：
按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：
一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
如等差数列：
4，7，10，13，16，19，22，25，28。
首项是4，末项是28，公差是3。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）
项数
2
项数=（末项-首项）
公差+1
末项=首项+公差
（项数-1）
首项=末项-公差
（项数-1）
公差=（末项-首项）
（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项
项数
六、等差数列
（一）
例题与方法
例1、在等差数列1，5，9，13，17，…，401中401是第几项？
例2、100个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。
已知小宏报的数是300，小明报的数是几？
例3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。
最下面一层有多少根？
例4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？
例5、求100以内所有除以5以后还余1的自然数的和。
例6、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。
小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？
练习与思考
1、数列4，7，10，……295，298中，198是第几项？
2、蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米？
3、在数列7，10，13，16，…中，907是第几个数？
第907个数是多少？
4、求自然数中所有三位数的和。
5、求所有除以4余1的两位数的和。
6、0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…0.99的和是多少？
7、梯子最高一级宽32厘米，最底一级宽110厘米，中间还有5级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米？
8、有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。
9、求下面数字方阵中所有数的和。
1，2，3，…，98，99，100
2，3，4，…99，100，101
3，4，5，…，100，101，102
……
100,101,102,…197,198,199
七、等差数列
（二）
解题方法
某些问题以转化为求若干个数的和，解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1、小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？
例2、建筑工地上堆着一些钢管（如图所示）,求这堆钢管一共有多少根。
例3、有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
例4、四
（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？
巩固练习：
1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
2、李师傅做一批零件，第一天做了25个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？
3、
一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？
用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
5、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
6、1把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部搞乱了，最多要试多少次才能将所有锁配上相应的钥匙？
7、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
8、在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
9、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。
如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？
八、长方体和正方体
（一）
专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
例题1一个零件形状大小如下图：
算一算，它的体积是多少立方厘米？
表面积是多少平方厘米？
（单位：
厘米）
练习一
1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3，有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
例题2有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？
（单位：
厘米）
练习二
1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：
厘米）。
2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
例题3一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？
练习三
1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
2，一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？
9、长方体和正方体
（二）
专题简析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1，将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例题1有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。
从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
练习一
1，有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问水
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