系统时域与频域分析与验证课程设计.docx
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系统时域与频域分析与验证课程设计
目录
一、设计内容摘要-----------------------------------1
二、设计原理-----------------------------------------2
1连续时间系统描述--------------------------------2
2离散时间系统描述--------------------------------6
3系统的稳定性分析--------------------------------8
三、设计过程-----------------------------------------9
1程序源代码------------------------------------------9
2稳定与不稳定系统响应曲线分析与比较------12
3结果分析，并与理论曲线进行比较-----------16
4主要函数介绍--------------------------------------18
四、设计心得-----------------------------------------18
五、参考文献-----------------------------------------19
一、设计内容摘要
设计课题：
系统时域与频域分析与验证
设计任务：
设计一个信号处理系统（差分方程或系统函数形式）。
利用Matlab软件分析系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应，幅频特性和相频特性，并与理论曲线进行比较。
设计思想：
利用Matlab软件的impz单位脉冲响应函数，dstep单位阶跃响应函数，abs幅频响应函数，angle相频响应函数对离散信号进行单位脉冲响应，单位阶跃响应，幅频特性和相频特性各曲线的输出。
输出稳定与不稳定时的四种曲线，观察不同之处。
并在程序中设计极值点分析图以便于分析其稳定性。
由取样定理知，其输出曲线与实际值必然存在一定的误差，所以本次课设在做系统时域与频域分析时进行与理论曲线比较。
二、设计原理
1连续时间系统描述
在信号处理中，广泛应用的连续时间系统是线性时不变系统（Lineartimeinvariant,LTI）。
线性时不变系统是线性系统和时不变系统复合而成的概念。
如果对于一个系统，输入a1*x1（t）时，输出为a1*y1（t），输入a2*x2（t）时，输出为a2*y2（t）；若输入为x1（t）+x2（t）时，输出为y1（t）+y2（t），则我们称这样的系统为线性系统。
这就是说，线性系统满足叠加原理。
如果系统输入x（t）时输出为y（t），若输入延迟t0的时间延迟（即:
x（t-t0））,输出也延迟t0（即：
y（t-t0）），则这种系统为时不变系统。
将线性系统和时不变系统结合起来，就组成线性时不变系统。
1.1线性连续时间系统描述
作为连续线性系统的一个例子，这里研究我们所熟悉的地震观测系统（即地震仪）的数学表示形式，以此为基础认识线性连续时间系统的描述。
地震仪最核心的部件为摆，地震仪的摆的运动方程可用下面形式的微分方程来表示：
（1-1）
式中，x为输入信号，y为摆的振动，即输出信号；
、
和
为常数，
和
表示对输出信号y和输入信号x的二阶导数，
为对输出信号的一阶导数。
我们可以将该微分方程看成下列一般方程的一种特殊形式：
（1-2）
式中，y（t）和x（t）为系统的输入和输出；y（i）,i=1,2,…,na是系统输出量的i阶导数；x（i）,i=1,2,…,nb是系统输入量的i阶导数；a
（1）,…,a（na+1）,b
（1）,…,b（nb+1）为常系数。
对于我们上面所讲的地震仪观测系统，其运动方程规范成上面的形式为：
（1-3）
式中，a
（1）=1;a
（2）=2
;a（3）=
;b
（1）=-
。
可以看出，任何连续时间系统均可以统一为（1-2）式的一般形式。
即连续时间系统可以用一个微分方程来描述。
对（1-2）式两边进行Laplace变换可得*
（1-4）
H（s）称为连续时间系统传递函数（或称系统函数）。
由此可见，传递函数描述只与系统本身有关的特性，与输入信号和输出信号无关，为输出信号和输入信号Laplace变换的比值。
如果将这种系统看成放大器，则系统的传递函数相当于放大倍数。
因此我们可以将系统的传递函数看作是给定频率处对信号的放大倍数，如果在给定频率处给出的放大倍数为1，相当于该频率信号可以通过，如果在该频率处放大倍数为零，则该频率的信号不能通过该系统。
1.2脉冲响应及其表示的系统输出
在系统中，通常将输入信号为
的系统输出称为脉冲响应，通常用h（t）表示。
根据时不变系统的定义可知，该系统输入
时，系统输出为h（t-t0）。
根据线性系统的定义，该系统输入系统输出为ah（t-t0）。
图1 输入信号的分解。
如图1所示，把系统输入信号分解为由许多x（ti）△ti窄条叠加而成，其中△ti=t-ti，i=1,…,n。
即x（t）表示为:
x（t）=
（1-5）
我们将求和号内的每个量看成是脉冲的强度，即第i个分量
，通过系统的输出可写成
，由于线性连续时间系统满足叠加原理，系统输入x（t）的输出y（t）可表示为：
y（t）=
（1-6）
当△ti→0，系统的输出可表示为积分形式：
（1-7）
这正是我们在高等数学中所学的卷积（或褶积），因此上式还可以写成：
（1-8）
用语言表述为：
系统的输出为系统的输入与系统脉冲响应函数的卷积。
1.3系统的频率响应
在数学课程中我们学过两个函数卷积的Laplace变换等价于这两个函数Laplace变换的乘积。
因此（1-8）式在Laplace域中可表示为：
Y（s）=X（s）H（s） （1-9）
其中Y（s）、X（s）和H（s）分别为x（t）,y（t）和h（t）的Laplace变换。
根据第二章中
函数的描述，其Laplace变换为1。
因此若系统输入为
函数时，系统输出的Laplace变换为H（s）。
这就是说，系统的脉冲响应h（t）与系统传递函数互为Laplace变换对。
根据Fourier变换的卷积定理，（1-8）式在频率域中可表示为
Y（jω）=X（jω）H（jω） （1-10）
式中，H（jω）是h（t）的Fourier变换，H（jω）一般是一个复数，则
H（jω）=
（1-11）
其中Y（jω）、X（jω）和H（jω）分别为x（t）,y（t）和h（t）的Fourier变换。
H（jω）称为系统的频率响应，它是系统在频域内对信号传递特性的描述。
可以看到，输入信号的各频率成分通过系统的加工处理，输出信号出现新的特征。
若系统输入为
函数时，系统输出的Fourier变换为H（jω）。
这就是说，系统的脉冲响应h（t）与系统频率响应函数互为Fourier变换对。
系统的频率响应H（jω）是一个复数，它可写成如下形式
H（jω）=Re（H（jω））+jIm（H（jω）） （1-12）
式中，Re（H（jω））为H（jω）的实部，Im（H（jω））为H（jω）的虚部。
也可以将系统的频率响应表示为：
H（jω）=|H（jω）|exp（jarg[H（jω）]） （1-13）
式中，|H（jω）|为幅频响应，arg[H（jω）]为求取H（jω）的相位角，称之为相频响应。
在系统的幅频响应描述中，通常采用分贝为单位，此时Y应按20Lg|H（jω）|换算。
2离散时间系统描述
2.1线性离散时间系统描述
将方程（1-2）式离散化为差分方程，则y（na）在差分方程中相当于延迟na个单位，y（na-1）在差分方程中相当于延迟na-1个单位，以此类推。
这样微分方程就离散化为下式的差分方程：
（4-14）此（4-14）式中,y（n）,x（n）分别是系统的输出和输入，y（n）延迟阶数为na,x（n）延迟阶数为nb,a
（1）,a
（2）,…,a（na+1）;b
（1）,b
（2）,…,b（nb+1）为常系数。
对应于（4-1）式的微分方程可以离散化为：
（1-15）
若我们把上式中的延迟一个单位时间用z-1表示，延迟两个单位时间用z-2表示，以此类推。
并且把输入信号x（n）写成X（z）；输出信号y（n）写成Y（z）；这种形式的变换我们称之为z变换，经过z变换，关于离散信号的差分方程化作关于z的代数方程。
对（1-14）式作z变换可以得到
（1-16）
H（z）称为系统传递函数。
可以看到，传递函数与输入和输出信号的特征无关，它描述了系统的一种特性。
如果系统是一个放大器，则对应于放大器的放大倍数，跟输入信号的特征无关。
2.2脉冲响应及其表示的系统输出
在系统中，通常将输入信号为脉冲序列的离散系统的输出称为脉冲响应序列，通常用h（n）表示。
根据时不变系统的定义可知，该系统输入
时，系统输出为h（n-n0）。
根据线性时不变系统的定义，该系统输入a
时，系统输出为ah（n-n0）。
任意序列x（n）均可以表示为：
（1-17）
若将每一个离散值看成脉冲函数在此处的强度，即第k个值看作为
，其输出为
，根据线性叠加原理，系统输入为x（n）时的输出可表示为：
（1-18）
这就是卷积定理的离散形式。
可以表示为：
（1-19）
2.3系统的频率响应
根据卷积定理，（1-19）式在z域（参看其他信号处理教材的z变换部分）中可表示为：
Y（z）=X（z）H（z） （1-20）
其中Y（z）、X（z）和H（z）分别为x（n）,y（n）和h（n）的z变换。
由于
函数的z变换为1，因此系统输入
函数时，系统输出的z变换为H（z）。
这就是说，系统脉冲响应h（n）与系统传递函数互为z变换对。
任何离散系统可以由z传递函数来描述。
（1-21）
这里，num（z）和den（z）代表（1-16）式右边的分子和分母。
令
可得：
右边的
（1-22）
式中，
为离散时间系统的频率响应，若已知离散系统的传递函数，求系统频率特性，可利用下式求得：
（1-23）
式中，k=0,1,…,N-1，k分布在0~2
。
系统的频率响应
为数字角频率的函数，而且是以
为周期的周期函数。
与连续线性时间系统一样，离散线性时间系统也可以得出其幅频响应和相频响应，其形式与连续线性时间系统一样。
3系统稳定性分析
3.1频域充要条件
频域指复频域即s域。
从频域考虑，线性控制系统的稳定充要条件是H（s）的所有极点，即系统的特征方程根都具有负实部，或者说都位于s的左半平面。
如果特征方程根中任一根为正，即位于s的右半平面，它所对应的指数项将随时间而单调增长，整个系统因此而不稳定。
同样，具有正实部的共轭复根所对应的瞬态响应是发散的正弦振荡。
如果共轭复根位于s平面的虚轴上，则对应的瞬态响应为等幅正弦振荡。
应当说明，等幅振荡的线性系统实际上是不存在的，而发散过程的系统，也并不意味着输出量会无限增大。
实际控制系统的输出量只能增大到一定的范围，超出此范围或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，或者其运动形态超出线性理论所研究的范围而进入非线性工作状态，以致产生等幅振荡。
3.2时域充要条件
从时域考虑，稳定系统的另一种定义方式是：
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统，也称之为有界输入和有界输出（BIBO）稳定系统。
系统稳定性的判断
根据H（s）在s平面的极点分布来判断
该方法属于频域判断法。
对于因果系统，观察在时间t→∞时，h（t）是增长，还是趋于有限值或者消失，既可确定系统的稳定性。
研究H（s）在s平面中的极点分布位置，可方便地给出有关稳定性的结论。
按H（s）在s平面中的极点分布位置，因果系统可划分为稳定系统、不稳定系统、临界稳定系统3种情况。
（1）稳定系统若H（s）的全部极点均落于s的左半平面（不含虚轴），则可满足lim[h（t）]=0，此时系统是稳定的。
（2）不稳定系统若H（s）的极点落于s的右半平面或在虚轴上具有二阶以上极点，经足够长时间后h（t）仍在继续增长，系统是不稳定的。
（3）临界情况若H（s）的极点落于s的平面虚轴上．且只有一阶，则经足够长时间后，h（t）趋于一个非零的数值或等幅振荡，而处于上述两种类型的临界情况，与
（2）一起列为不稳定系统。
三、设计过程
3.1程序源代码
不稳定的程序
Clear
clc
den=[1-14.7554.6];
num=[0.4460];
%系统单位阶跃响应
figure;
subplot（121）;dstep（num,den）
title（'系统单位阶跃响应'）
%系统单位脉冲响应
subplot（122）;impz（num,den）
title（'系统单位脉冲响应'）
%%这是个对于极点的分析，分析系统的稳定性
figure;
zplane（num,den）;
n=roots（num）;
d=roots（den）;
da=abs（d）
%离散系统频域分析
[H,w]=freqz（num,den）;
Hf=abs（H）;
Hx=angle（H）;
figure;
subplot（121）;plot（w,Hf）
title（'离散系统幅频特性曲线'）
subplot（122）;plot（w,Hx）
title（'离散系统相频特性曲线'）
稳定的程序
clear
clc
den=[1-0.270.183];
num=[0.00810];
%系统单位阶跃响应
figure;
subplot（121）;dstep（num,den）
title（'系统单位阶跃响应'）
%系统单位脉冲响应
subplot（122）;impz（num,den）
title（'系统单位脉冲响应'）
%%这是个对于极点的分析，分析系统的稳定性
figure;
zplane（num,den）;
n=roots（num）;
d=roots（den）;
da=abs（d）
%离散系统频域分析
[H,w]=freqz（num,den）;
Hf=abs（H）;
Hx=angle（H）;
figure;
subplot（121）;plot（w,Hf）
title（'离散系统幅频特性曲线'）
subplot（122）;plot（w,Hx）
title（'离散系统相频特性曲线'）
3.2稳定与不稳定系统响应曲线分析与比较
不稳定系统的图
特征方程根中任一根为正，即位于s的右半平面，它所对应的指数项将随时间而单调增长，从时域考虑，系统对任意的有界输入，其零状态响应也是无界，整个系统因此而不稳定。
从极点图看出在极点不在单位圆内，所以不稳定。
稳定系统的曲线
从频域考虑，线性控制系统的稳定充要条件是H（s）的所有极点，即系统的特征方程根都具有负实部，或者说都位于s的左半平面。
从时域考虑，系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界，整个系统因此而稳定。
从极点图看出在极点在单位圆内，所以稳定。
3.3结果分析并与理论曲线进行比较
传递函数的Z换函数为：
H（z）=
传递函数的拉氏变换函数为：
H（s）=
把H（s）变换为标准型H（s）=
以下程序为H（s）=
的输出连续单位阶跃曲线
即这个连续曲线只能作为图形参考，其Y轴变量应乘以系数
输出连续单位阶跃曲线的程序
w=2:
2:
12;
kosai=0.5;
figure
（1）
holdon
Wn=4
num=Wn.^2;
den=[1,2*kosai*Wn,Wn.^2];
step（num,den）;
holdoff
以下两图为图形比较
由以上两图知，由于采样定理的零阶保持所以离散信号有误差，MATLAB仿真系统是存在一定误差的。
3.4主要函数介绍
幅频特性:
abs,相频特性:
angle
zplane（）,画出零极点分布图.调用格式为:
zplane（b,a）其中a为H（z）分母的系数矩阵,b为H（z）分子的系数矩阵.
dstep离散系统的阶跃响应
Step连续系统的阶跃响应
系统单位脉冲响应impz（num,den）
离散系统频域响应freqz（num,den）;
四、设计心得
这次的信号处理课设对于我来说是一个很大的挑战。
首先是因为我们从来没接触过MATLAB，在短时间内初步掌握一门陌生的计算机语言是具有一定难度的。
其次，这次课设综合了数字信号处理及控制理论等多门学科的知识，可以说综合性相对很强，所以要想做好这次课设就得涉猎广泛的知识，此为难点二。
但是我知道只有面对才能很好的完成任务，所以我针对我的课设题目《系统时域与频域分析与验证》积极利用图书馆的图书资源，利用网络资源，查找有关MATLAB的相关知识。
争取达到老师的要求——利用matlab软件分析系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应，幅频特性和相频特性并与理论曲线进行比较，有关稳定性的分析。
虽然刚开始的时候很不顺利，而且编的程序也运行不出来，但在老师的帮助下我渐渐明白了课设的目的以及运用MATLAB的方法。
课程设计使我们能自主学习，并在对陌生知识的学习过程中提高自身能力。
课程设计中，通过理论推导得出相应结论，并利用MATLAB作为编程工具进行计算机实现，从而复习巩固了课堂所学的理论知识，提高了对所学知识的综合应用能力，并从实践上初步实现了对数字信号的处理。
这次课设使我收益良多。
我知道了做事情千万不能懒惰，如果懒得写程序，调试程序，就永远无法提高。
也许凡事往往经过痛苦折磨后，才会让你印象深刻，收益更大。
而且团队精神是非常重要的，一个人的力量永远是单薄的，俗话说众人划桨开大船就是这个道理。
我更深深明白，做事情时对自己要有正确的估计。
一个人既不能对自己的能力判断过高，也不能轻易低估自己的潜能。
对自己判断过高的人往往容易浮躁、冒进，不善于和他人合作；低估了自己的能力的人，则会畏首畏尾、踟蹰不前，没有承担责任和肩负重担的勇气，也没有主动请缨的积极性。
对自己有正确认识的人才能表示出自己虚心同时不失自信，赢得他人的青睐。
而且我也非常感谢我的指导教师和我的同伴，他们给了我很大的支持，我很感谢他们。
五、参考文献
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