五年级奥数上册.docx
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五年级奥数上册
巧算
（一）
德国大教育家高斯（1777-1855）读小学的时候，有一天，老师出了这样一道题：
1+2+3+…+99+100的和是多少？
老师刚把这道题说完，小高斯已迅速、准确地说出了答案5050，这令班上的同学吃惊不已。
原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。
后来人们称这种计算方法为“高斯原理”。
同学们一定想提高自己的计算能力，使自己计算时算得又快又巧。
这一讲，我们学习整数的巧算，也就是根据数的点，数的排列规律，巧妙地运用运算定律或性质，使计算简便。
例题与方法
例1．计算（1+3+5+…+1999）-（2+4+6+…+1998）
例2．计算99999×77778+33333×66666
例3．计算
654321×123456-654322×123455=654321*123456-654321*123455-123455
例4．计算1234562-1234552
例5．9=3×3，16=4×4，这里“9”和“16”都叫做“完全平方数”。
在前300个自然数中，“完全平方数”的和是多少？
练习与思考
1．计算1+2+3+…+199+200
2．计算100+99-98+97-96+…3-2+1
3．计算1961+1971+1981+1991+2001
4．计算1990-1985+1980-1975+…+20-15+10-5
5．计算999+99+9+9999+99999
6．计算33333×66666
7．计算9999×2222+3333×3334
8．计算1989×1999-1988×2000
9．计算1999+999×999
10．计算3333332
11．已知数列1，4，7，10，…
（1）这列数的第21项是多少？
（2）118是这列数中的第几个数？
12．在前200个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？
13．计算2974×3026
14．计算202-192+182-172+…+22-12
15．计算1997×19981998-1998×19971997
巧算
（二）
上一讲我们学习了整数的巧算，这一讲我们学习小数的巧算。
例1．计算578.47-4.62-78.47-3.38
例2．计算0.9999×1.3-0.1111×2.7
例3．计算3.6×31.4+43.9×6.4
例4．7.37×12.5×0.15×16
例5．计算0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99
例6．计算（44332-443.32）÷（88664-886.64）
练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1．15.4-2.17-3.83+4.6
2.25.6-（0.23+5.6）-51.7
3.146.95-48.3-6.95-51.7
4.12.5×0.64×2.5
5.36.3×4.5+6.37×45
6.1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5
7.0.876+0.765+0.654+0.543+0.432
8.36×2.54+1.8×49.2
9.5.76×1.1+57.7×0.89
10.（22944-22.944）÷（45888-45.888）
11.16.15÷1.8+1.85÷1.8
12.（4.8+3.6+2.4+1.2）÷1.8
13.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.1
14.0.7777×0.7+0.1111×2
15.（1+1.2）+（2+1.2×2）+（3+1.2×3）+…+（99+1.2×99）+（100+1.2×100）
平面图形的计算
（一）
在这两讲，我们主要讨论这样的问题：
根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间的关系，应用公式或其他数量关系，计算出该图形（或其中某个部分）的面积或图形中有关线段的长度。
到目前为止，我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五咱简单图形，它们的概念、性质（特征）与它们的周长、面积的意义的计算公式，课本上都作了介绍。
这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。
例题与方法
例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
例2．计算右图的面积。
（单位：
厘米）
例3．如图，已知四条线段的长分别是：
AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积。
例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：
分米）
例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？
（单位：
米）
练习与思考
1．求图中阴影部分的面积。
2．求图中阴影部分的面积。
3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。
4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。
5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？
6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。
7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。
8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。
9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。
平面图形的计算
（二）
例1．一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，所成的正方形比原来正方形的面积多95平方厘米。
原来的正方形的面积是多少平方厘米？
例2．右图中由9个小长方形组成的一个大长方形。
按图中的编号，1号、2号、3号、4号、5号长方形的面积依次为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米、4平方厘米、5平方厘米。
求6号长方形的面积。
1
3
2
4
5
6
例3．右图中三角形ABC为等边三角形，D为AB边上的中点。
已知三角形BDE的面积为5平方厘米。
求等边三角形ABC的面积。
例4．右图中长方形的长为12厘米，宽为6厘米。
把它的长3等分，宽2等分，然后在长方形内任取一点，把这一点与分点及顶点连结（如图）。
求图中阴影部分的面积。
例5．把一块边长为9.5分米的正方形钢板切割成两条直角边分别为4.5分米的直角三角形小钢板，最多可以切割成多少块？
练习与思考
1．有四个完全一样的直角三角形，它们的两条直角边分别是7厘米、5厘米。
把它们拼成下左图图的正方形，求大、小两个正方形的面积。
2．上右图中，大、小两个正方形对应边的距离均为1厘米。
已知两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，求小正方形的面积。
3．求下左图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
4．上右图中，长方形的周长是多少厘米？
（单位：
厘米）
5．下左图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
（单位：
厘米）
6．求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
7．如图，在腰长为10厘米，面积为34平方厘米的等腰三角形的底边上任意取一点，设这个点到两腰的垂线段分别长a厘米和b厘米，那么，a+b的长度是多少厘米？
8．一个正方形，面积为18.75平方厘米。
在正方形内有两条平行于对角的线段把正方形分成3等份（如图）。
图中线段AB、CD各长多少厘米？
9．如图，在梯形ABCD中，BO的长度等于DO长度的2倍，阴影部分的面积是4平方分米。
求梯形ABCD的面积。
10．在等腰三角形ABC中，AB的长度是AC的2倍，如果这个等腰三角形中的周长是200厘米，那么，BC长多少厘米？
11．一个梯形，它的下底是上底的2倍。
如果上底延长7厘米，就形成一个面积是42平方厘米的平行四边形。
这个梯形的面积是多少平方厘米？
12．一个直角梯形的周长是48厘米，两底之和是两腰之和的4倍，一条腰的长度是另一条腰的1.5倍。
还应这个梯形的面积。
13．一个长方形，如果长增加2厘米，宽增加5厘米，那么，面积增加60平方厘米，这时恰好成为一个正方形。
原来长方形的面积是多少平方厘米？
列方程解应用题
（一）
列方程解应用题是小学数学的一项重要内容，是一种不同于算术解法的新的解题方法。
传统的算术方法，要求用应用题里给出的已知条件，通过四则运算，逐步求出未知量。
而列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系，列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数的值。
它的优点在于可以使未知数直接参加运算。
列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程。
而找出等量关系，又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。
掌握了这两点，就能正确地列出方程。
列方程解应用题的一般步骤是：
1．弄清题材意，找出未知数，并用x表示；
2．找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；
3．解方程；
4．检验，写出答案。
例题与方法
例1．一个数的5倍加上10等于它的7倍减去6，求这个数。
例2．两块地一共100公顷，第一块地的4们比第二块地的3倍多120公顷。
这两块地各有多少公顷？
例3．琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班，一班人数是三班人数的1.12倍，二班比三班少3人，三个班共有153人。
三个班各有多少人？
例4．被除数与除数的和是98，如果被除数与除数都减去9，那么，被除数是除数的4倍。
求原来的被除数和除数。
练习与思考
1．列方程解应用题，有时要求的未知数有两个或两个以上，我们必须视具体情况，设对解题有利的未知数为x，根据数量关系用含有x的式子来表示另一个未知数。
2．篮球、足球、排球各1个，平均每个36元。
篮球比排球贵10元，足球比排球贵8元。
每个排球多少元？
3.一次数学竞赛有10道题，评分规定对一道题得10分，错一题倒扣2分。
小明回答了全部10道题，结果只得了76分，他答对了几道题？
.
5．拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层，一共有245本书。
上层每天借出15本，下层每天借出10本，3天后，上、下两层剩下图书的本数一样多。
上、下两层原来各有图书多少本？
6．甲、乙、丙三个数的和是166，已知甲数除以乙数，乙数除以丙数都是商3余2，甲、乙、丙三个数各是多少？
7．玲玲今年11岁，爷爷今年74岁。
再过几年，爷爷的年龄是玲玲年龄的4倍？
8.甲、乙两个养鸡专业户，一共养鸡3000只。
乙养鸡专业户卖掉800只鸡后，甲养鸡专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的3倍。
甲、乙两个养鸡专业户原来各养鸡多少只？
列方程解应用题
（二）
这一讲我们继续学习列方程解应用题。
列方程解应用题，关键是掌握分析问题的方法，对应用题中数量关系分析得越深刻，所列的方程就越优化，解答起来就越方便。
例题与方法
例1．六
（1）班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。
如果每人出6元，则多48元；如果每人出4.5元，则少27元。
求六
（1）班学生人数。
例2．五老村小学体育器材室里的足球个数是排球的2倍。
体育活动课上，每班借7个足球，5个排球，排球借完时，还有足球72个。
体育器材室里原有足球、排球各多少个？
例3．甲、乙、丙、丁四人共做零件325个。
如果甲多做10个，乙少做5个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以3，那么，四个人做的零件数恰好相等。
问：
丁做了多少个？
.
练习与思考
1．妈妈买回一箱库尔勒香梨，按计划天数，如果每天吃4个，则多出24个香梨；如果每天吃6个，则又少4个香梨。
问：
计划吃多少天？
妈妈买回香梨多少个？
2．一架飞机所带的燃料最多可以用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可以飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米，就需要往回飞？
3．某商店库存的花布比白布的2倍多20米每天卖出30米白布和40米花布，几天以后，白布全部卖完，而花布还剩下140米。
原来库存这两种布共多少米？
4．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半。
这条大鲨鱼全长是多少米？
5．甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，途中丙与乙相遇2分后又遇到甲。
如果每分甲行50米，乙行60米，丙行70米，问：
乙比甲早多少分到西镇？
6．供销社张叔叔买回一批酒精，放在甲、乙两个桶里，两个桶都未装满。
如果把甲酒精倒入乙桶，乙桶装满后，甲桶还剩下10升；如果把乙桶酒精全部倒入甲桶，甲桶还能再盛20升。
已知甲桶容量是乙桶的2.5倍，张叔叔一共买回多少升酒精？
7．一个两位数十位止的数字比个位上的数字扩大4倍，个位上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58。
求原来的两位数。
8．如右图，正方形ABCD的边长是8厘米，三角形ADF的面积比三角形CEF的面积小6平方厘米。
求CE的长。
植树问题
四
（1）班同学每年都要开展一次植树活动，去年为一条长100米的马路一边植树（如图1），今年为一个周长80米的正方形花园四周植树（如图2），每次都是每隔5米植一棵，问四
（1）班这次分别种了多少棵？
同学们，你会做这道题吗？
像这一类研究植树棵树，每棵距离与总长度之间数量关系的应用问题叫做植树问题。
它的数量关系式分两种情况：
第一种情况：
在不封闭线路中的植树问题，它可以分为以下三类：
1、如果两端都植树：
植树棵树=总长度÷每棵距离+1
2、如果一端植树另一端不植树：
植树棵数=总长度÷每棵距离
3、如果两端都不植树：
植树棵数=总长度÷每棵距离-1
第二种情况：
在一个封闭图形四周植树：
植树棵数=总长度÷每棵距离。
例题1、中心小学在一条道路一边种树18棵，每隔6米种一棵，道路两端各栽一棵。
问这条道路长多少米？
试一试1、在一条马路的一边植树30棵，两端都栽，每相邻两棵树之间相隔8米，这条马路长多少米？
例题2、在一座400米的大桥两旁悬挂彩灯，每两盏灯之间相隔5米，连两头在内共需悬挂多少盏彩灯？
试一试2、在一条长2400米的公路两旁插彩旗，相邻两面彩旗相距30米，在这条公路上共插彩旗多少面？
例题3、一块三角形地，三角边分别长156米、234米、186米，在这三条边长上植树，株距6米，共植树多少棵？
试一试3、小朋友做游戏，围成一个长8米，宽6米的长方形，每2个小朋友之间相距2米。
问共有多少个小朋友在做这个游戏？
例题4、时钟4点钟敲4下，6秒钟敲完。
那么10点钟敲10下，几秒钟敲完？
试一试4、玲从一层走到三层用32秒，以同样的速度从三层走到十三层又需多少秒？
例题5、市第一中学有一个大三角形花坛，如图，它是由四个大小一样的小三角形组成的，已知每个小三角形的每条边上种花8朵，而且每个角上都种1棵，那么一共种花多少棵？
试一试5、四
（2）班同学编排舞蹈，队形如右图，每个小三角形的每条边等距离的排5人，每个顶点上都安排1人，问这个舞蹈共有多少人参加？
例题6、有一个圆形花园长120米。
若沿这个花园每隔6米栽一株丁香花，再在相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，丁香和月季共栽了多少株？
每两株相邻花之间的距离是多少米？
试一试6、有一个圆形大花坛，周长是180米，每隔18米栽一棵杨树，每两棵杨树之间等距离地栽了2棵银杏树。
问花坛周围共栽树多少棵？
每两棵相邻的树之间相距多少米？
例题7、一国际大厦共有35层，每层楼梯都是20阶。
有一天，大厦停电，有一位在16层的旅客只好步行上楼，他要走多少阶楼梯才能到达自己住的那层楼，另一位旅客实在无奈，只好边走边数当他数到第380阶时，抬头一看正是他住的那层楼，你知道他住第几层吗？
试一试7、金桥大厦共22层，每层楼梯都是18阶。
有一天，大厦停电，有一位住在顶层的旅客只好步行上楼，他要走多少阶楼梯才能到达自己住的那层楼？
另一旅客走了252阶楼梯到了他住的那层楼，那么这位旅客住第几层楼？
综练：
1、“六一”儿童节，在教室黑板上挂了8朵彩花，两端都挂每2朵彩花之间相隔5分米，那么黑板长多少分米？
2、在展览厅的一面长150米的墙上挂画（两端不挂），每隔3米挂一幅，上下平行挂两排，这面墙上可挂多少幅画？
3、一个边长为60米的游泳池，沿池的周围每隔6米摆放一个小箱子，共需摆多少个箱子？
4、小华和小峰比赛爬楼梯，小华从一楼到四楼用了150秒，小峰从三楼爬到八楼用了200秒，谁爬得快？
5、有一个正六边形花坛，在这个花坛里的每条边上种玫瑰（如图），若每个小三角形每边种7棵，则这个花坛里一共种多少棵玫瑰？
6、有一条公路长450米，每隔18米栽一棵柳树，两端都栽，在柳树之间以相等的距离栽3棵槐树，问共栽树多少棵？
7、植树节那天，同学们在街道的一旁种树，计划每6棵树之间的距离是15米，照这样计算，种15棵树的距离是多少米？
如果在计划栽15棵树的这段距离上，改成每隔2米栽一棵，可以栽多少棵树？
8、在1200米的道路上，最少种多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于15米？
考练：
1、庆元旦，道路两旁插红旗，红旗已经插了16面，两头都插，每两面红旗中间摆2盆花，一共摆多少盆花？
2、一个长为200米，宽为120米长方形植物园，在这个植物园四周每隔16米竖立一块“爱护花草树木”的标语牌，一共需木牌多少块？
3、一个排列整齐的小区，从前往后，第一幢楼房与第三幢楼房之间相距18米，问第一幢与第十五幢之间相距多少米？
4、如下图：
这是一个大型广场的灯光造型，每个交叉点上有一盏灯，每个小三角形的每条边有4盏灯。
问摆成这样一个造型共需多少盏灯？
5、一个湖泊周长1800米，沿湖泊周围每隔12米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵桃树和一棵杏树，湖周围每相邻两棵树之间的距离是多少米？
6、四年级学生参加广播操比赛，排成5路纵队，队伍长20米，每路纵队中的前后两人相距1米，问四年级共有学生多少人？
7、高新开发区的马路边均匀地栽着一行槐树，林林从第1棵槐树走到第19棵槐树用了9分钟，林林又往前走了几棵树后就往回走。
当他回到第5棵树时共用了36分钟，林林走到第几棵槐树开始往回走？
8、某市有1000人参加游行庆祝活动，将1000人平均分成5个列队，每个列队又以20人为一排，排与排之间相隔1米。
列队与列队之间相隔8米，这支游行队伍全长多少米？
长方形、正方形的周长
第3周长方形、正方形的周长
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
例1有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
思路与导航根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
练习一
1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
2，下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
3，有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
例2一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
练习二
1，有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
2，有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
3，有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？
例3已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？
思路导航从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
练习三
1，有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
2，一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图
（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。
3，求下面图形（图2）的周长（单位：
厘米）。
图
（1）图
（2）
例4下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
思路导航我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4厘米。
再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。
因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。
练习四
1，求下面图形的周长（单位：
厘米）。
2，在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的周长（）乙的周长
3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。
例5如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
分析根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。
因为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。
因此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。
练习五
1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？
（单位：
厘米）
2，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。
这个零件的周长是多少厘米？
3，有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。
第4周长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。
这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、
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