版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案文新人教A版.docx

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版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案文新人教A版

第1讲　集合的概念与运算

一、知识梳理

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

[注意]　N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.

2．集合间的基本关系

　表示

关系　

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中元素相同

A＝B

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形语言

符号语言

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

常用结论

（1）A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅.

（3）A∪A＝A，A∪∅＝A.

（4）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

二、习题改编

1．（必修1P12A组T5改编）若集合P＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则（　　）

A．a∈P　　　　　　　B．{a}∈P

C．{a}⊆PD．a∉P

解析：

选D.因为a＝2

不是自然数，而集合P是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.

2．（必修1P12B组T1改编）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．

解析：

由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64（个）．

答案：

64

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．（　　）

（2）若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.（　　）

（3）若AB，则A⊆B且A≠B.（　　）

（4）N*NZ.（　　）

（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）×

二、易错纠偏

（1）忽视集合的互异性致错；

（2）集合运算中端点取值致错；

（3）忘记空集的情况导致出错．

1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．

解析：

因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．

答案：

{－1}

2．已知集合A＝{x|（x－1）（x－3）<0}，B＝{x|2

解析：

由已知得A＝{x|12}．

答案：

（2，3）　（1，4）　（－∞，1]∪（2，＋∞）

3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

解析：

易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.

答案：

0或1或－1

　　　　　　集合的基本概念（师生共研）

（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3　　　B．6　　　　

C．8　　　　D．10

（2）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

【解析】　

（1）由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（3，2），（4，2），（5，2），（4，3），（5，3），（5，4）}，所以集合B中有10个元素．

（2）因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意．所以m＝－

.

【答案】　

（1）D　

（2）－

与集合中元素有关问题的求解策略

1．已知集合A＝{x|x∈Z，且

∈Z}，则集合A中的元素个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析：

选C.因为

∈Z，

所以2－x的取值有－3，－1，1，3，

又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.

2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

解析：

选C.因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，所以a＋b＝0，则

＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

3．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A.若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；

当－1∈B时，1－（－1）＝2∈A；

当－2∈B时，1－（－2）＝3∈A；

当－3∈B时，1－（－3）＝4∉A，

所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

　　　　　　集合间的基本关系（师生共研）

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2

C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m

【解析】　

（1）由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．

（2）当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1

当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，

所以

所以0

综上所述，m的取值范围为（－∞，1]．

【答案】　

（1）D　

（2）（－∞，1]

[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．

1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

解析：

选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－

}＝R.故选B.

2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（　　）

A．7B．8

C．15D．16

解析：

选A.法一：

A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：

∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．

法二：

因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7（个）．

3．设集合A＝{x|1

A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}

C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}

解析：

选D.由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1

　　　　　　集合的基本运算（多维探究）

角度一　集合的运算

（1）（2019·高考全国卷Ⅰ）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝（　　）

A．{1，6}B．{1，7}

C．{6，7}D．{1，6，7}

（2）（2020·郑州市第一次质量预测）设全集U＝R，集合A＝{x|－3

A．{x|x≤－3或x≥1}B．{x|x<－1或x≥3}

C．{x|x≤3}D．{x|x≤－3}

【解析】　

（1）依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．故选C.

（2）因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3－3}，所以∁U（A∪B）＝{x|x≤－3}．故选D.

【答案】　

（1）C　

（2）D

集合基本运算的求解策略

角度二　利用集合的运算求参数

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

【解析】　

（1）因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.

【答案】　

（1）D　

（2）D

根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法

（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

（2）将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解．

（3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围．

1．（2019·高考天津卷）设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则（A∩C）∪B＝（　　）

A．{2}　　　　　　　B．{2，3}

C．{－1，2，3}D．{1，2，3，4}

解析：

选D.通解：

因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以（A∩C）∪B＝{1，2，3，4}．故选D.

优解：

因为B＝{2，3，4}，所以（A∩C）∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.

2．（2020·宁夏石嘴山三中一模）已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{－1}B．{0}

C．{－1，0}D．{－1，0，1}

解析：

选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－1

3．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）B．[2，＋∞）

C．[－2，2]D．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

解析：

选D.因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.

4．已知全集U＝R，函数y＝ln（1－x）的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是（　　）

A．M∩N＝NB．M∩（∁UN）＝∅

C．M∪N＝UD．M⊆（∁UN）

解析：

选A.由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0

核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

定义集合的商集运算为

＝{x|x＝

，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝

－1，k∈A}，则集合

∪B中的元素个数为（　　）

A．6　　　　　　　　　　　B．7

C．8D．9

【解析】　由题意知，B＝{0，1，2}，

＝{0，

，

，

，1，

}，则

∪B＝{0，

，

，

，1，

，2}，共有7个元素，故选B.

【答案】　B

解决集合创新型问题的方法

（1）要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．

（2）要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法（如特值法、排除法、数形结合法等），将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．

1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．

解析：

由题意可知－2x＝x2＋x，

所以x＝0或x＝－3.

而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．

当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，

所以A∩B＝{0，6}．

答案：

{0，6}

2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0

解析：

由已知A＝{x|0

又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，

结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞）．

答案：

{0}∪[2，＋∞）

[基础题组练]

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁UA＝（　　）

A．（－∞，－1）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1]∪[1，＋∞）

C．（－1，1）D．[－1，1]

解析：

选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤1}，故选D.

2．（2020·辽宁辽阳期末）设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选C.因为B＝{x|－10

3．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为（　　）

A．1B．2

C．4D．8

解析：

选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.

4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（　　）

A．（－2，1）

B．[－1，0]∪[1，2）

C．（－2，－1）∪[0，1]

D．[0，1]

解析：

选C.因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1]，A∩B＝[－1，0），所以阴影部分表示的集合为∁A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪[0，1]，故选C.

5．（2020·江苏南京联合调研改编）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，∁UA＝______．

解析：

因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则∁UA＝{2，5}．

答案：

{3}　{2，5}

6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝________．

解析：

由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U（A∪B）＝{x|0

答案：

{x|0

7．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝（－∞，5]，则a的值是________．

解析：

因为集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝（－∞，5]，所以a＝5.

答案：

5

8．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．

（1）当m＝1时，求A∪B；

（2）当B⊆∁RA时，求实数m的取值范围．

解：

（1）因为m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，

所以A∪B＝{x|－1

（2）∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．

当B＝∅时，即m≥1＋3m，解得m≤－

；

当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，

则

或

解得m>3.

综上可知，实数m的取值范围是

∪（3，＋∞）．

[综合题组练]

1．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝

，则下列选项正确的是（　　）

A．M＝NB．N⊆M

C．M＝∁RND．∁RN⃘M

解析：

选C.由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，所以∁RN＝{y|y≤0}，M＝∁RN.故C正确，A，B，D错误．

2．（创新型）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝（　　）

A．{x|0

C．{x|x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x>2}

解析：

选D.因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝（1，＋∞），所以A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝（1，2]，由题图知A⊗B＝[0，1]∪（2，＋∞），故选D.

3．（2020·济南外国语学校月考）集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩（∁UN）＝∅，则a的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）B．[1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，1]

解析：

选B.由集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，可得M＝

，∁UN＝

.要使M∩（∁UN）＝∅，则－

≤－

，解得a≥1，故选B.

4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．

解析：

集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，

因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，

即实数a－b的取值范围是（－∞，－2]．

答案：

（－∞，－2]