《余角和补角》示范教学设计.docx
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《余角和补角》示范教学设计
第四章几何图形初步
4.3角
4.3.3余角和补角
一、教学目标
1.了解余角、补角的概念.
2.掌握余角和补角的性质,能运用余角与补角的性质解决一些简单的实际问题.
3.通过余角、补角性质的推导和应用,初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.
4.方位角的定义与应用.
二、教学重点与难点
重点:
互余、互补角的概念和性质;方位角的定义与应用.
难点:
互余、互补角的正确判断,以及用代数方法计算角的度数.
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片,三角板
五、教学过程
【问题情境】
如图所示,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.这个问题可以简单地表示为右图.其中∠EDC=90°,那么各个角与∠1有什么关系?
师生活动:
学生观察图片,思考、回答问题,教师关注学生是否回答正确.
小结:
有的角与∠1的和等于90°,例如:
∠ADC;
有的角与∠1的和等于180°,例如:
∠ADF.
设计意图:
通过图片的引入,引起学生的兴趣,进而引出本节课的内容,激发学生的思考和学习的热情.
【探究新知】
探究一:
互为余角、互为补角的定义:
活动1.在一副三角尺中,每块都有一个角是90°,而其他两个角的和是多少呢?
师生活动:
学生拿出一副三角尺观察、计算,然后回答问题,最后师生一起总结余角的定义,教师解释两个角互为余角简称为两个角互余.
小结:
30°+60°=90°,45°+45°=90°.
余角:
一般地,如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.
即:
若∠1+∠2=90°,那么∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
活动2.什么叫做互为补角?
师生活动:
让学生阅读教材137页第二自然段,由一名学生回答问题.教师边聆听边板演,并且解释两个角互为补角简称为两个角互补.
归纳:
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
即:
若∠3+∠4=180°,那么∠3是∠4的补角,∠4也是∠3的补角.
3.探究定义中“互为”的意义:
问题:
定义中的“互为”是什么意思?
师生活动:
让学生小组交流、讨论,教师强调定义中的“互为”即每一个角都是另一个角的余角(补角).
设计意图:
通过对余角与补角概念的探究,加深对互余、互补概念的理解,让学生带着问题开展讨论,在师生互动、合作交流的过程中,学生的思维得到自然发展,在不知不觉的学习中掌握了重点,化解了难点,还能培养学生的数学语言表达能力.
4.探究余角和补角的性质:
问题1:
(1)∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2和∠3的大小有什么关系?
(2)已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补.若∠1=∠3,那么∠2和∠4相等吗?
为什么?
师生活动:
学生分组讨论、交流,说出各自的理由,可由两个解题步骤,然后师生共同归纳余角和补角的性质.
小结:
(1)∠1与∠2,∠3都互为补角,那么∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1,所以∠2=∠3.
(2)由∠1与∠2互补,得∠1+∠2=180°,所以∠2=180°-∠1.
由∠3与∠4互补,得∠3+∠4=180°,所以∠4=180°-∠3.
又因为∠1=∠3,所以180°-∠1=180°-∠3,所以∠2=∠4.
即:
同角(等角)的补角相等.
问题2:
对于余角是否也有类似性质?
师生活动:
在探究补角的性质的基础上探究余角性质,让学生回答,教师板演.
归纳:
同角(等角)的余角相等.
设计意图:
学生对推理还不理解,但通过学生的探究与讨论,借助等式的性质可以得到上面的结论,教师通过重新规范学生板演出现的问题,使学生初步掌握几何证明的一般步骤.
探究二:
方位角
在航行、测绘等工作以及生活中,我们经常会碰到用方位角描述一个物体的方位,那么什么叫做方位角?
如何用方位角描述方向呢?
师生活动:
学生先自主探究讨论,教师用课件显示方位角的定义:
方位角是表示方向的角,以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向,如北偏西30°,南偏东25°.强调用方位角描述方向时,通常以正北或正南为角的始边,以对象所处的射线为终边,故描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.“北偏东45°”“北偏西45°”“南偏东45°”“南偏西45°”分别称为“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”.
活动1.海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只,你能确定缉私艇的航线吗?
画出示意图.
师生活动:
学生尝试画图,教师利用课件演示缉私艇的航线.用方位角的画法步骤:
①先找出中心点B,然后画出方向指标(如图);②把中心点B和目的地A用线连接起来;③度量向北的射线和视线AB(中心点和目的地的连线)的夹角.教师强调画图时中心点所在的地方就是方向指标所在的地方,不同的中心点就有不同的方向指标.
教师关注用量角器度量角度的要点:
(1)以O为顶点,和量角器顶点对齐;
(2)通常情况下,我们以正南、正北为基准,量角器的0°边对准,再用量角器去找角的另一边,读出夹角度数.
活动2.练一练:
如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法,画出客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
师生活动:
学生在教师指导下画出问题中的每一条射线.教师用多媒体演示课本图,讲解方位角和表示方位的射线,在学生完成题中的问题后操作多媒体演示画图过程.
注:
讲解时应讲清楚方位角是以正北或正南方向的射线为一个角的始边,而表示物体运动的方向的射线是角的另一边.
画法:
以O点为顶点,表示正北方向的射线为角的一边,画40°的角,使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°,即客轮B所在的方向.
以O点为顶点,表示正南方向的射线为角的一边,画10°的角,使它的另一边OC落在南与西之间.射线OC的方向就是南偏西10°,即货轮C所在的方向.
以O点为顶点,表示正北方向的射线为角的一边,画45°的角,使它的另一边OD落在西与北之间.射线OD的方向就是西北方向,即海岛D所在的方向.
如图所示:
设计意图:
认识方位角,在画方位角的过程中明确角的定义,以正北或正南方向的射线为角的起始边,正确表示方位角.
【典型例题】
例1.如图,A,O,B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?
师生活动:
学生交流讨论后,师生共同解答,注意做题步骤的规范.讲解过程中要注意引导学生找出所有互余的角,不漏掉任何一组,从而更好地理解互余的意义.
重点提醒:
(1)(如何表示一个角的余角和补角)∠
的余角是90°-∠
,∠
的补角是180°-∠
.
(2)互余和互补是两个角的数量关系,与它们的位置无关.
解:
因为A,O,B在同一直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC,∠BOC,
所以∠COD+∠COE=
∠AOC+
∠BOC
=
(∠AOC+∠BOC)
=90°.
所以,∠COD和∠COE互为余角.
同理,∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角.
设计意图:
通过例题,鼓励学生积极思考,多角度认识问题,解决问题,进一步巩固余角和补角的性质.
例2.图中给出的各角中,哪些互为余角?
哪些互为补角?
解:
10°与80°,30°与60°互为余角;10°与170°,30°与150°,60°与120°,80°与100°互为补角.
例3.一个角是70°39′,求它的余角和补角.
解:
它的余角是90°-70°39′=19°21′;
它的补角是180°-70°39′=109°21′.
例4.∠α的补角是它的3倍,∠α是多少度?
解:
由180°-∠α=3∠α,
解得∠α=45°.
例5.如果一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角.
解:
设这个角为x,则它的补角为180°-x,它的余角为90°-x,于是就有
180°-x=3(90°-x)解得:
x=45°
设计意图:
通过练习,进一步加深学生对余角和补角的理解与掌握,向学生渗透方程思想和数形结合的数学思想.
例6.
(1)如图,四条表示方向的射线中,表示北偏东30°的是().
答案:
D.
(2)如图所示,射线OA表示________方向,射线OB表示________方向.
答案:
北偏西70°;南偏东15°.
设计意图:
考查了对方位角的定义的理解与掌握.
【课堂练习】
1.已知∠α的补角是125°,则∠α的度数是().A
A.55°B.65°C.75°D.85°
2.下列说法:
①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等;④锐角和钝角互补.其中,正确的说法有().B
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.一个角为35°39′,则这个角的余角为________,补角为________.54°21′;144°21′.
4.一个角的补角加上24°,恰好等于这个角的5倍,求这个角的度数.
解:
设这个角的度数为x°,依题意,得:
180-x+24=5x.
解得:
x=34.
所以这个角的度数是34°.
5.如图,E,D,F在同一直线上,∠CDE=90°,∠1=∠2.
(1)∠ADC与∠BDC有什么关系?
为什么?
(2)∠ADF与∠BDE有什么关系?
为什么?
解:
(1)∠ADC=∠BDC.
理由:
因为∠CDF=∠EDF-∠CDF=180°-90°=90°,
所以∠2+∠BDC=∠CDF=90°.
又因为∠1+∠ADC=∠CDE=90°,
且∠1=∠2,
所以∠ADC=∠BDC.
(2)∠ADF=∠BDE.
理由:
因为∠ADF=180°-∠1,∠BDE=180°-∠2,
又因为∠1=∠2,
所以∠ADF=∠BDE.
设计意图:
考查了对余角和补角的定义的理解与应用.
6.如图,将一副三角尺按不同位置摆放,在哪种摆放方式中∠α与∠β互余?
在哪种摆放方式中∠α与∠β互补?
在哪种摆放方式中∠α与∠β相等?
7.
(1)互余且相等的两个角,各是多少度?
(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度?
8.如图,OA是表示北偏东30°方向的一条射线,仿照这条射线画出表示下列方向的射线:
(1)南偏东25°;
(2)北偏西60°.
解:
如图所示,OB表示南偏东25°,OC表示北偏西60°.
设计意图:
加深了对方位角的画法的掌握.
六、课堂小结
1.余角的定义:
一般地,如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角.
2.补角的定义:
如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.
3.余角与补角的性质:
同角(等角)的补角相等;
同角(等角)的余角相等.
设计意图:
通过小结,使学生把所学的知识进一步系统化,使学生逐步形成一个知识体系.
4.方位角
七、板书设计:
4.3.3余角和补角
一余角的定义及性质
二补角的定义及性质
三方向角