《余角和补角》示范教学设计.docx

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《余角和补角》示范教学设计

第四章几何图形初步

4.3角

4.3.3余角和补角

一、教学目标

1.了解余角、补角的概念．

2.掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决一些简单的实际问题．

3.通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化．

4.方位角的定义与应用．

二、教学重点与难点

重点：

互余、互补角的概念和性质；方位角的定义与应用．

难点：

互余、互补角的正确判断，以及用代数方法计算角的度数．

三、教学准备

多媒体课件

四、相关资源

相关图片，三角板

五、教学过程

【问题情境】

如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2．这个问题可以简单地表示为右图．其中∠EDC＝90°，那么各个角与∠1有什么关系？

师生活动：

学生观察图片，思考、回答问题，教师关注学生是否回答正确．

小结：

有的角与∠1的和等于90°，例如：

∠ADC；

有的角与∠1的和等于180°，例如：

∠ADF．

设计意图：

通过图片的引入，引起学生的兴趣，进而引出本节课的内容，激发学生的思考和学习的热情．

【探究新知】

探究一：

互为余角、互为补角的定义：

活动1.在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是多少呢？

师生活动：

学生拿出一副三角尺观察、计算，然后回答问题，最后师生一起总结余角的定义，教师解释两个角互为余角简称为两个角互余．

小结：

30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°．

余角：

一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．

即：

若∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．

活动2．什么叫做互为补角？

师生活动：

让学生阅读教材137页第二自然段，由一名学生回答问题．教师边聆听边板演，并且解释两个角互为补角简称为两个角互补．

归纳：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

即：

若∠3＋∠4＝180°，那么∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角．

3．探究定义中“互为”的意义：

问题：

定义中的“互为”是什么意思？

师生活动：

让学生小组交流、讨论，教师强调定义中的“互为”即每一个角都是另一个角的余角（补角）．

设计意图：

通过对余角与补角概念的探究，加深对互余、互补概念的理解，让学生带着问题开展讨论，在师生互动、合作交流的过程中，学生的思维得到自然发展，在不知不觉的学习中掌握了重点，化解了难点，还能培养学生的数学语言表达能力．

4．探究余角和补角的性质：

问题1：

（1）∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有什么关系？

（2）已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等吗？

为什么？

师生活动：

学生分组讨论、交流，说出各自的理由，可由两个解题步骤，然后师生共同归纳余角和补角的性质．

小结：

（1）∠1与∠2，∠3都互为补角，那么∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3．

（2）由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1．

由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180°，所以∠4＝180°－∠3．

又因为∠1＝∠3，所以180°－∠1＝180°－∠3，所以∠2＝∠4．

即：

同角（等角）的补角相等．

问题2：

对于余角是否也有类似性质？

师生活动：

在探究补角的性质的基础上探究余角性质，让学生回答，教师板演．

归纳：

同角（等角）的余角相等．

设计意图：

学生对推理还不理解，但通过学生的探究与讨论，借助等式的性质可以得到上面的结论，教师通过重新规范学生板演出现的问题，使学生初步掌握几何证明的一般步骤．

探究二：

方位角

在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到用方位角描述一个物体的方位，那么什么叫做方位角？

如何用方位角描述方向呢？

师生活动：

学生先自主探究讨论，教师用课件显示方位角的定义：

方位角是表示方向的角，以正北、正南方向为基准来描述物体所处的方向，如北偏西30°，南偏东25°．强调用方位角描述方向时，通常以正北或正南为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．“北偏东45°”“北偏西45°”“南偏东45°”“南偏西45°”分别称为“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”．

活动1.海上缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只，你能确定缉私艇的航线吗？

画出示意图.

师生活动：

学生尝试画图，教师利用课件演示缉私艇的航线．用方位角的画法步骤：

①先找出中心点B，然后画出方向指标（如图）；②把中心点B和目的地A用线连接起来；③度量向北的射线和视线AB（中心点和目的地的连线）的夹角．教师强调画图时中心点所在的地方就是方向指标所在的地方，不同的中心点就有不同的方向指标．

教师关注用量角器度量角度的要点：

（1）以O为顶点，和量角器顶点对齐；

（2）通常情况下，我们以正南、正北为基准，量角器的0°边对准，再用量角器去找角的另一边，读出夹角度数．

活动2.练一练：

如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B，货轮C和海岛D方向的射线．

师生活动：

学生在教师指导下画出问题中的每一条射线．教师用多媒体演示课本图，讲解方位角和表示方位的射线，在学生完成题中的问题后操作多媒体演示画图过程．

注：

讲解时应讲清楚方位角是以正北或正南方向的射线为一个角的始边，而表示物体运动的方向的射线是角的另一边．

画法：

以O点为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间．射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向．

以O点为顶点，表示正南方向的射线为角的一边，画10°的角，使它的另一边OC落在南与西之间．射线OC的方向就是南偏西10°，即货轮C所在的方向．

以O点为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的另一边OD落在西与北之间．射线OD的方向就是西北方向，即海岛D所在的方向．

如图所示：

设计意图：

认识方位角，在画方位角的过程中明确角的定义，以正北或正南方向的射线为角的起始边，正确表示方位角.

【典型例题】

例1.如图，A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？

师生活动：

学生交流讨论后，师生共同解答，注意做题步骤的规范．讲解过程中要注意引导学生找出所有互余的角，不漏掉任何一组，从而更好地理解互余的意义．

重点提醒：

（1）（如何表示一个角的余角和补角）∠

的余角是90°－∠

，∠

的补角是180°－∠

．

（2）互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关．

解：

因为A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角．

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC，∠BOC，

所以∠COD＋∠COE＝

∠AOC＋

∠BOC

＝

（∠AOC＋∠BOC）

＝90°．

所以，∠COD和∠COE互为余角．

同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角．

设计意图：

通过例题，鼓励学生积极思考，多角度认识问题，解决问题，进一步巩固余角和补角的性质．

例2.图中给出的各角中，哪些互为余角？

哪些互为补角？

解：

10°与80°，30°与60°互为余角；10°与170°，30°与150°，60°与120°，80°与100°互为补角．

例3．一个角是70°39′，求它的余角和补角．

解：

它的余角是90°－70°39′＝19°21′；

它的补角是180°－70°39′＝109°21′．

例4．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？

解：

由180°－∠α＝3∠α，

解得∠α＝45°．

例5．如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．

解：

设这个角为x，则它的补角为180°－x，它的余角为90°－x，于是就有

180°－x＝3（90°－x）解得：

x＝45°

设计意图：

通过练习，进一步加深学生对余角和补角的理解与掌握，向学生渗透方程思想和数形结合的数学思想．

例6.

（1）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（）．

答案：

D．

（2）如图所示，射线OA表示________方向，射线OB表示________方向．

答案：

北偏西70°；南偏东15°．

设计意图：

考查了对方位角的定义的理解与掌握．

【课堂练习】

1．已知∠α的补角是125°，则∠α的度数是（）．A

A．55°B．65°C．75°D．85°

2．下列说法：

①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．其中，正确的说法有（）．B

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．一个角为35°39′，则这个角的余角为________，补角为________．54°21′；144°21′．

4．一个角的补角加上24°，恰好等于这个角的5倍，求这个角的度数．

解：

设这个角的度数为x°，依题意，得：

180－x＋24＝5x．

解得：

x＝34．

所以这个角的度数是34°．

5．如图，E，D，F在同一直线上，∠CDE＝90°，∠1＝∠2．

（1）∠ADC与∠BDC有什么关系？

为什么？

（2）∠ADF与∠BDE有什么关系？

为什么？

解：

（1）∠ADC＝∠BDC．

理由：

因为∠CDF＝∠EDF－∠CDF＝180°－90°＝90°，

所以∠2＋∠BDC＝∠CDF＝90°．

又因为∠1＋∠ADC＝∠CDE＝90°，

且∠1＝∠2，

所以∠ADC＝∠BDC．

（2）∠ADF＝∠BDE．

理由：

因为∠ADF＝180°－∠1，∠BDE＝180°－∠2，

又因为∠1＝∠2，

所以∠ADF＝∠BDE．

设计意图：

考查了对余角和补角的定义的理解与应用．

6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？

在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？

在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？

7．

（1）互余且相等的两个角，各是多少度？

（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？

8．如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：

（1）南偏东25°；

（2）北偏西60°．

解：

如图所示，OB表示南偏东25°，OC表示北偏西60°．

设计意图：

加深了对方位角的画法的掌握．

六、课堂小结

1．余角的定义：

一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．

2．补角的定义：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．

3．余角与补角的性质：

同角（等角）的补角相等；

同角（等角）的余角相等．

设计意图：

通过小结，使学生把所学的知识进一步系统化，使学生逐步形成一个知识体系．

4.方位角

七、板书设计：

4.3.3余角和补角

一余角的定义及性质

二补角的定义及性质

三方向角