数学校本课程.docx
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数学校本课程
数学校本课程
赵晓玲
数学故事
奇特的墓志铭在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形:
一个圆球镶嵌在一个圆柱内。
相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。
在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位数值。
这个数值被叫做。
”鲁道夫数”。
它是鲁道夫毕生心血的结晶。
大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。
因为他是在完成了正17边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的。
不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。
他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题:
“过路人，这座石墓里安葬着丢番图。
他生命的1,6是幸福的童年，生命的1,12是青少年时期。
又过了生命的1,7他才结婚。
婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。
孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。
过路人，你知道丢番图的年纪吗,”丢番图的年纪究竟有多大呢,
设他活了X岁，依题意可列出方程。
这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。
这段墓志铭写得太妙了。
谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程;而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。
在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜欢
1
用代数的方法来解决问题。
现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。
他尤其擅长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。
丢番图也是古希腊最后一个大数学家。
遗憾的是，关于他的生平。
后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。
幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享有
84岁的高龄。
设计花坛
有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计,活动过程1（学生以小组为单位，分小组讨论（2（学生分小组汇报（3（全班共同评选最佳设计（
参考答案
2
镜子改变了什么
一次晚会上，主持人出了一道题目:
“如何把2+3=8变成一个真正的等式”，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这道题，你知道为什么吗,问题的提出:
“小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“”的样子，请你判断这个英文单词是什么,假若不能利用手中的小镜子，只利用小卡片，如何把镜中的字母还原,分组讨论，比一比那一组的结论最好,与同伴交流，一个汽车车牌在水中的倒影是“”，你能确定该车的车牌号码吗,（利用手中的小卡片，并说出倒影与车牌的位置关系）小结:
当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向，所以可以把影象写在卡片上，向上翻转九十度背面所看到的就是本题的答案。
【试一试】:
取一枚图章，在纸上改一个清晰的印记，分析印章上的图案有什么异同，你能利用萝卜块或橡皮刻字，使其印在纸上的图案是你的姓名。
总结:
当正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向;当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向;如果是轴对称图形，当对称轴于镜面平行时，其镜中影象与原图一样。
3
对称——自然美的基础
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。
它们引起人们的注意，令人赏心悦目。
每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷;蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。
仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。
花朵具有旋转对称的性征。
花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。
旋转时达到自相重合的最小角称为元角。
不同的花这个角不一样。
例如梅花为72?
，水仙花为60?
。
“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。
我国最早记载了雪花是六角星形。
其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。
既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。
例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。
这种有趣的现象叫叶序。
向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。
无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。
在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。
4
有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础（它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算（不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性（
例1:
计算下式的值:
211×555+445×789+555×789+211×445（
分析:
直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单（本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算（
解原式=（211×555+211×445）+（445×789+555×789）
=211×（555+445）+（445+555）×789
=211×1000+1000×789
=1000×（211+789）
=1000000
说明:
加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧（
例2:
在数1，2，3，„，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少,
分析:
与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以
5
在1，2，3，„，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性（在1，2，3，„，1998中有1998?
2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1（
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0（这启发我们将1，2，3，„，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+
„+（1993-1994-1995+1996）-1997+1998=1，所以，所求最小非负数是1（
说明:
本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化（观察算式找规律
例3:
某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分（87，91，94，
88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88（
分析:
与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算（所以总分为
90×20+（-3）+1+4+（-2）+3+1+（-1）+（-3）+2+（-4）+0+2+（-2）+0+1+（-4）+（-1）
+2+5+（-2）
=1800-1=1799。
6
几何就在你的身边
初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂;有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!
其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。
当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢?
因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进;自行车的轮于有大有小，可供人们选择;两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。
这说明:
物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。
当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗?
几何中叫“比较线段的大小;把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”;长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。
7
蜂房中的数学
蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的，它们会分工合作，还会用舞蹈的形式告诉同伴;哪里有花源,数量怎么样。
实际上,不仅如此，蜜蜂还是出色的建筑师。
它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。
蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。
达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术，说它是:
天才的工程师。
法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构,在1712年，他写出了一篇关于蜂房结构的论文。
他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是0。
25立方厘米。
底部菱形的锐角是70度32分，钝角是109度28分，蜜蜂的工作竟然是这样的精细。
物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题，它想蜂房中的数学蜜蜂是勤劳的，它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的，它们会分工合作，还会用舞蹈的形式告诉同伴;哪里有花源,数量怎么样。
实际上,不仅如此，蜜蜂还是出色的建筑师。
它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。
蜂房是正六棱柱的形状，它的底是由三个全等的菱形组成的。
达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术,说它是:
天才的工程师。
法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构，在1712年,他写出了一篇关于蜂房结构的论文。
他测量后发现，每个蜂房的体积几乎都是0。
25立方厘米。
底部菱形的锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是这样的精细。
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公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:
正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状，在其他条件相同的情况下，这种结构的容积最大,所用的材料最少。
他给出了严格的证明。
看来,我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了。
马克思也高度地评价它:
蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。
现在，许多建筑师开始模仿蜂房的结构，并把它们应用到建筑的实践中去。
归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与现解题思路的一种重要手段（这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法（下面举几个例题，以见一般（
例1:
如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层;第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）;第三层每边有三个点，„这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点,这个
9
点阵共有多少个点,
分析与解:
我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有
的点数（
第一层有点数:
1;
第二层有点数:
1×6;
第三层有点数:
2×6;
第四层有点数:
3×6;
„„
第n层有点数:
（n-1）×6.
因此，这个点阵的第n层有点（n-1）×6个（
层共有点数为
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例2:
设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a?
b?
c，如果b=n（n
是自然数），试问这样的三角形有多少个,
分析与解:
我们先来研究一些特殊情况:
（1）设b=n=1，这时b=1，因为a?
b?
c，所以a=1，c可取1，2，3，„（若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形;若c?
2，由于a，b=2，那么a，b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个（
（2）设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18（3（
这时满足条件的三角形总数为:
1+2=3（
（3）设b=n=3，类似地可得表18（4（
11
这时满足条件的三角形总数为:
1，2，3=6（
通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为:
这个猜想是正确的（因为当b=n时，a可取n个值（1，2，3，„，n），对应于a的每个值，妨设a=k（1?
k?
n）（由于b?
c,a，b，即n?
c,n，k，所以c可能取的值恰好有k个（n，n，1，n，2，„，n，k-1）（所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为:
保险
保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业（例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险
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是由于人身意外伤害或养老的保险，等等（下面举两个简单的实例（
假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22（2所示（
试问:
（1）设想平均每年在1000家中烧掉几家,
（2）如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本,
解:
（1）1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），
365+371+385+395+412+418+430+435+440，445=4096（家）（
11?
4096?
0.0026（
（2）300000×0.0026=780（元）（
答:
（1）每年在1000家中，大约烧掉2.6家（
（2）投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费（
中外著名数学家
1、韦达（1540-1603），法国数学家。
年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。
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韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》
2、帕斯卡（1623?
?
1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家（16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献（19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机（他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用（帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。
帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。
他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。
3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。
他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。
可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。
次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。
再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科
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学，他去信尖锐地提醒权威们:
“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。
”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。
伽罗华二十一岁那年死于决斗。
临死前他对守在旁边的弟弟说:
“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。
”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说:
“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到:
解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。
”他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基人。
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