最小二乘法曲线拟合原理及matlab实现.docx
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最小二乘法曲线拟合原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting）：
工程实践中，用测量到的一些离散的数据
求一个近似的函数
来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使
最好地逼近
，而不必满足插值原则。
因此没必要取
=
，只要使
尽可能地小）。
原理：
给定数据点
。
求近似曲线
。
并且使得近似曲线与
的偏差最小。
近似曲线在该点处的偏差
，i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
最小二乘法：
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：
1.设拟合多项式为：
2.各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3.问题转化为求待定系数
...
对等式右边求
偏导数，因而我们得到了：
.......
4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
5.将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6.也就是说X*A=Y，那么A=（X'*X）-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现：
MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：
p=polyfit（x,y,n）
[p,s]=polyfit（x,y,n）
[p,s,mu]=polyfit（x,y,n）
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x必须是单调的。
矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df（自由度）、normr（残差）用于生成预测值的误差估计。
[p,s,mu]=polyfit（x,y,n）在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。
polyval（）为多项式曲线求值函数，调用格式：
y=polyval（p,x）
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）
y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
如下给定数据的拟合曲线：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：
MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit（x,y,2）
x1=0.5:
0.05:
3.0;
y1=polyval（p,x1）;
plot（x,y,'*r',x1,y1,'-b'）
运行结果如图1
计算结果为：
p=0.56140.82871.1560
即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560
图1最小二乘法曲线拟合示例
对比检验拟合的有效性：
例：
在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。
在MATLAB中输入如下代码：
clear
x=0:
0.1:
pi;
y=sin（x）;
[p,mu]=polyfit（x,y,9）
x1=0:
0.1:
2*pi;
y1=sin（x1）;%实际曲线
y2=polyval（p,x1）;%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，
%需要注意的是polyval（）返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合
plot（x1,y2,'k*',x1,y1,'k-'）
运行结果：
p=
0.00000.0000-0.00030.00020.00800.0002-0.16680.00001.00000.0000
mu=
R:
[10x10double]
df:
22
normr:
1.6178e-07
MATLAB的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合（Solvenonlinearcurve-fitting（data-fitting）problemsinleast-squaressense）。
调用格式：
x=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata）
x=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata,lb,ub）
x=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options）
x=lsqcurvefit（problem）
[x,resnorm]=lsqcurvefit（...）
[x,resnorm,residual]=lsqcurvefit（...）
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqcurvefit（...）
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqcurvefit（...）
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqcurvefit（...）
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=
x0为初始解向量;xdata，ydata为满足关系ydata=F（x,xdata）的数据;
lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb=[]，ub=[];
options为指定的优化参数;
fun为拟合函数，其定义方式为:
x=lsqcurvefit（@myfun,x0,xdata,ydata），
其中myfun已定义为functionF=myfun（x,xdata）
F=…%计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同;
resnorm=sum（（fun（x,xdata）-ydata）.^2），即在x处残差的平方和;
residual=fun（x,xdata）-ydata，即在x处的残差;
exitflag为终止迭代的条件;
output为输出的优化信息;
lambda为解x处的Lagrange乘子;
jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
例：
lsqcurvefit（）优化程序
Data=...
[0.00005.8955
0.10003.5639
0.20002.5173
0.30001.9790
0.40001.8990
0.50001.3938
0.60001.1359
0.70001.0096
0.80001.0343
0.90000.8435
1.00000.6856
1.10000.6100
1.20000.5392
1.30000.3946
1.40000.3903
1.50000.5474
1.60000.3459
1.70000.1370
1.80000.2211
1.90000.1704
2.00000.2636];
t=Data（:
1）;
y=Data（:
2）;
%axis（[02-0.56]）
plot（t,y,'ro'）
title（'Datapoints'）
%Wewouldliketofitthefunctiony=c
（1）*exp（-lam
（1）*t）+c
（2）*exp（-lam
（2）*t）tothedata
%Thelsqcurvefitfunctionsolvesthistypeofproblemeasily.
%Tobegin,definetheparametersintermsofonevariablex:
%x
（1）=c
（1）
%x
（2）=lam
（1）
%x（3）=c
（2）
%x（4）=lam
（2）
%Thendefinethecurveasafunctionoftheparametersxandthedatat:
F=@（x,xdata）x
（1）*exp（-x
（2）*xdata）+x（3）*exp（-x（4）*xdata）;
x0=[1110];
[x,resnorm,~,exitflag,output]=lsqcurvefit（F,x0,t,y）
holdon
plot（t,F（x,t））
holdoff
Fsumsquares=@（x）sum（（F（x,t）-y）.^2）;
opts=optimset（'LargeScale','off'）;
[xunc,ressquared,eflag,outputu]=...
fminunc（Fsumsquares,x0,opts）
fprintf（['Therewere%diterationsusingfminunc,'...
'and%dusinglsqcurvefit.\n'],...
outputu.iterations,output.iterations）
fprintf（['Therewere%dfunctionevaluationsusingfminunc,'...
'and%dusinglsqcurvefit.'],...
outputu.funcCount,output.funcCount）
typefitvector
x02=[10];
F2=@（x,t）fitvector（x,t,y）;
[x2,resnorm2,~,exitflag2,output2]=lsqcurvefit（F2,x02,t,y）
fprintf（['Therewere%dfunctionevaluationsusingthe2-d'...
'formulation,and%dusingthe4-dformulation.'],...
output2.funcCount,output.funcCount）
x0bad=[5110];
[xbad,resnormbad,~,exitflagbad,outputbad]=...
lsqcurvefit（F,x0bad,t,y）
holdon
plot（t,F（xbad,t）,'g'）
legend（'Data','Globalfit','Badlocalfit','Location','NE'）
holdoff
fprintf（['Theresidualnormatthegoodendingpointis%f,'...
'andtheresidualnormatthebadendingpointis%f.'],...
resnorm,resnormbad）
displayEndOfDemoMessage（m）
拟合效果如下：
直线的最小二乘拟合：
y＝a+bx
式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。
对于等精度测量所得到的N组数据（xi，yi），i＝1，2……，N，xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。
下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
用最小二乘法估计参数时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。
对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：
上式分别对a、b求偏导得：
整理后得到方程组：
解上述方程组便可求得直线参数a和b的最佳估计值。
1、可看成是一阶多项式拟合，跟前面曲线拟合方法一样。
2、利用linefit（）函数进行最小二乘的直线拟合
使用：
clear
x=[0.511.522.53];
y=[1.752.453.814.888.6];
[k,b]=linefit（x,y）%得到斜率k和常数b
y1=polyval（[k,b],x）;
plot（x,y1,’k-’,x,y,’k*’）
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