高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语教案 理 新人教A版.docx

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高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语教案理新人教A版

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语教案理新人教A版

第一节　集　　合

考纲要求：

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．元素与集合

（1）集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：

若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集及其符号表示

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

文字语言

记法

集合

间的

基本

关系

子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

相等

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集

空集是任何集合的子集

∅⊆A

空集是任何非空集合的真子集

∅

B且B≠∅

3.集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

（2）三种运算的常见性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

②A∩A＝A，A∩∅＝∅.

③A∪A＝A，A∪∅＝A.

④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A.

⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．（　　）

（2）若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.（　　）

（3）若A

B，则A⊆B且A≠B.（　　）

（4）N*

N

Z.（　　）

（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

（6）对于任意两个集合A，B，都有（A∩B）⊆（A∪B）成立．（　　）

（7）∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB），∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）×　（6）√　（7）√

2．若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下面结论中正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

解析：

选D　因为a＝2

∉N，A＝{x∈N|x≤

}，所以a∉A.

3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝（　　）

A．1B．－1C．2D．－2

解析：

选C　因{1，a＋b，a}＝

，a≠0，所以a＋b＝0，则

＝－1，所以a＝

－1，b＝1，所以b－a＝2.

4．若集合A中有n个元素，则集合A有________个子集，有________个真子集，有________个非空子集，有________个非空真子集．

答案：

2n　2n－1　2n－1　2n－2

5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩（∁UB）＝________.

答案：

{2,4}

6．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

答案：

{x|x≤2或x≥10}

[典题1]　

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C．0D．0或

（3）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3B．4C．5D．6

（4）（2016·厦门模拟）已知P＝{x|2

[听前试做]　

（1）∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．

（2）当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝

.

（3）∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．

（4）因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5

答案：

（1）C　

（2）D　（3）B　（4）（5,6]

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．

（2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

[典题2]　

（1）设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[听前试做]　

（1）因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.

（2）∵B⊆A，

∴①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

答案：

（1）C　

（2）（－∞，3]

[探究1]　在本例

（2）中，若A⊆B，如何求解？

解：

若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

[探究2]　若将本例

（2）中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，如何求解？

解：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－

，此时B＝

，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）．

根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．

1．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

解析：

选A　由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

2．（2016·南宁模拟）已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．（－∞，－1）

C．[3，＋∞）D．（3，＋∞）

解析：

选A　M＝{x|（x－3）（x＋1）<0}＝（－1,3），又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是（－∞，－1]．

有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：

角度一：

离散型数集间的交、并、补运算

[典题3]　（2016·株洲模拟）设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log

（x－1），x∈A}，则集合（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{0,4,5,2}　　　　　　B．{0,4,5}

C．{2,4,5}D．{1,3,5}

[听前试做]　由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{1,3,5}．

答案：

D

角度二：

连续型数集间的交、并、补运算

[典题4]　

（1）设全集U＝R，A＝{x|x（x＋3）<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|－3

C．{x|－1≤x＜0}D．{x|x<－3}

（2）设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}，B＝{x|1

[听前试做]　

（1）因为A＝{x|x（x＋3）<0}＝{x|－3

（2）A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}＝{x|－1

∴A∪B＝{x|－1

答案：

（1）C　

（2）{x|－1

角度三：

根据集合的运算结果求参数

[典题5]　

（1）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若

（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．

（2）已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－（2m－3）x＋m（m－3）≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.

[听前试做]　

（1）∵（∁UA）∩B＝∅，∴B⊆A.

又A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}．

∴－1和－2是方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的两个根．

∴m＝2.

（2）由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，因为A∩B＝[2,4]，故

则m＝5.

答案：

（1）2　

（2）5

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．（如角度一）

（2）集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．（如角度二）

（3）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．（如角度三）

[典题6]　

（1）（2015·湖北高考）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）

A．77　　　　　　　　B．49

C．45D．30

（2）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．

[听前试做]

（1）A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{（x，y）|x＝±1，y＝0；或x＝0，y＝±