《微积分》各章习题及详细答案.docx

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《微积分》各章习题及详细答案

第一章　　函数极限与连续

一、填空题

1、已知，则　　　　　　。

2、　　　。

3、时,就是得　　阶无穷小。

4、成立得为　　。

5、　。

6、在处连续，则。

7、　　　。

８、设得定义域就是，则得定义域就是___＿_＿____。

９、函数得反函数为____＿＿___。

１0、设就是非零常数,则。

11、已知当时,与就是等价无穷小，则常数。

1２、函数得定义域就是_________＿。

１3、。

14、设,则＿_______。

15、=______＿＿_＿__。

二、选择题

1、设就是上得偶函数,就是上得奇函数,则中所给得函数必为奇函数。

（Ａ）;（B）；（C）；（D）。

２、,,则当时有　　　。

（Ａ）就是比高阶得无穷小;（Ｂ）就是比低阶得无穷小;

（Ｃ）与就是同阶无穷小；　　（D）。

３、函数在处连续,则　。

（Ａ）；　（Ｂ）;（Ｃ）;（D）。

4、数列极限　　　。

（A）；　　　（B）;　（Ｃ）；　　　（D）不存在但非。

5、,则就是得　。

（A）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点;（D）振荡间断点。

６、以下各项中与相同得就是（）

（A）,;（Ｂ）,；

（C）,;（D）,。

7、　=　　（　）

（Ａ）1;　（Ｂ）　-1；　　（Ｃ）０;　（Ｄ）不存在。

8、（　）

（Ａ）1;　（B）－1;（C）；（D）。

9、在得某一去心邻域内有界就是存在得（）

（Ａ）充分必要条件;（B）充分条件;（Ｃ）必要条件；（D）既不充分也不必要条件、

10、（）

（Ａ）　　1;　　（Ｂ）　２;　（C）；　　（D）0。

1１、设均为非负数列,且,则必有（　）

（Ａ）对任意成立;（Ｂ）对任意成立;

（C）极限不存在;（D）极限不存在。

1２、当时,函数得极限（　）

（Ａ）等于２;　　（B）等于0;　（C）为;　（Ｄ）不存在但不为。

三、计算解答

1、计算下列极限

（1）;　　　　（２）;　

（3）;　　　　　（４）;　　

（5）；（6）;

（7）;（8）。

３、试确定之值,使。

4、利用极限存在准则求极限

（１）。

（２）设,且,证明存在,并求此极限值。

５、讨论函数得连续性,若有间断点，指出其类型。

6、设在上连续，且,证明在内至少有一点,使。

ﻬ第一单元函数极限与连续习题解答

一、填空题

1、。

　。

2、。

　　。

３、高阶。

就是得高阶无穷小。

4、。

为有界函数,所以要使,只要，即。

5、　。

　　。

６、。

　,

。

7、　　　。

8、　　根据题意要求,所以。

9、　,,

得反函数为。

10、　　　原式＝。

１１、由（利用教材Ｐ58）与,以及,

可得　　。

12、　　由反三角函数得定义域要求可得

　解不等式组可得,得定义域为。

13、　

。

１４、,令t＝,所以x＝

　　即:

=

。

15、2　　

。

二、选择题

１、选（D）　令,由就是上得偶函数,就是上得奇函数,。

２、选（Ｃ）　

　　　（利用教材Ｐ5８）

３、选（Ａ）（利用教材Ｐ5８）

4、选（Ｂ）　　　

5、选（Ｃ）　　，,　

６、选（Ｃ）在（A）中得定义域为,而得定义域为,故不正确

在（B）得值域为,得值域为,故错

在（D）中得定义域为R,得定义域为

,故错

7、选（Ｄ）　　,

不存在

8、选（D），

9、选（Ｃ）由函数极限得局部有界性定理知，存在，则必有得某一去心邻域使有界,而在得某一去心邻域有界不一定有存在，例如，函数有界,但在点极限不存在

10、选（C）

（

11、选（D）　（A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限得不等式性质只能得出数列“当充分大时”得情况,不可能得出“对任意成立”得性质。

（C）也明显不对,因为“无穷小·无穷大”就是未定型，极限可能存在也可能不存在。

１２、选（D）

当时函数没有极限,也不就是。

三、计算解答

1、计算下列极限：

（1）解:

。

（２）解:

。

（3）解:

。

（4）解：

。

（5）解:

。

（６）解:

。

（7）解:

。

（8）解:

。

３、解：

４、

（1）

而。

（2）先证有界（数学归纳法）

时,

设时,，则

数列有下界,

再证单调减，

且

即单调减,存在,设,

则有（舍）或,

５、解：

先求极限得　

而　　　　

得连续区间为

为跳跃间断点、。

6、解:

令，则在上连续

而

由零点定理,使

即,亦即　。

ﻬ第二章导数与微分

一、填空题

１、已知，则=　　　。

2、存在,有,则=　。

3、,则=　。

4、二阶可导，,则=；=　　。

5、曲线在点　　处切线与连接曲线上两点得弦平行。

6、,则=　。

7、,则=　　,=。

8、若，则=　　。

9、曲线于点＿__＿_＿_＿_处得切线斜率为2。

１0、设,则。

11、设函数由方程确定,则。

12、设则。

二、单项选择

1、设曲线与在它们交点处两切线得夹角为,则=（　）。

（A）；（Ｂ）；　　（C）；　　（Ｄ）。

3、函数,且,则（）。

（A）;（B）;（C）　；　（Ｄ）。

4、已知为可导得偶函数,且,则曲线在处切线得方程就是　。

（A）;（Ｂ）;（C）;（Ｄ）。

５、设可导，则=　　。

（A）;（Ｂ）　;（C）；（Ｄ）。

6、函数有任意阶导数,且，则＝　　　。

（Ａ）;（Ｂ）;（C）；（Ｄ）。

7、若，则=（）

（Ａ）;　　（Ｂ）;（C）;　　（Ｄ）。

8、设函数在点处存在与，则就是导数存在得（）

（A）必要非充分条件;　　（Ｂ）充分非必要条件；

（C）充分必要条件；（Ｄ）既非充分又非必要条件。

9、设则（　　）

（Ａ）;　　（Ｂ）;（C）;　　（Ｄ）。

10、若可导,且,则有（）

（A）;（Ｂ）;（C）;（D）。

11、设函数连续,且，则存在，使得（　　　）

（Ａ）在内单调增加;　　（B）在内单调减少;

（C）对任意得有;（Ｄ）对任意得有。

12、设在处可导，则（　　）

（A）；　（Ｂ）为任意常数;

（C）　；　　（C）为任意常数。

三、计算解答

１、计算下列各题

（1）,求；　　　

（2）,求;

（3）,;（４）,求；

（5）,求;

（6）,求;

（7）,在处有连续得一阶导数,求;

（8）设在处有连续得一阶导数,且,求。

２、试确定常数之值，使函数处处可导。

3、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为1４0米/分,当此气球上升到500米空中时，问观察员视角得倾角增加率为多少。

5、若函数对任意实数有，且,证明。

6、求曲线上过点处得切线方程与法线方程。

第二章　导数与微分习题解答

一、填空题

1、　

2、　

３、

４、　，

５、弦得斜率

　,当时,。

６、

7、，

８、　

9、　　,由　,

在点处得切线斜率为２

10、　2　　,

１１、　　　方程两边对求导得　

解得　。

1２、　　　　由参数式求导公式得，

再对求导,由复合函数求导法得

。

二、选择题

1、　选（Ｄ）　由交点为,,　ﻩ

3、　选（Ｃ）　　

由得　

4、选（A）　由

切线方程为：

即　

5、　选（Ｄ）　　

6、选（Ｂ）

设,则

7、选（C）　

又,

8、选（Ｃ）　在处可导得充分必要条件就是在点得左导数与右导数都存在且相等。

9、　选（D）

另解:

由定义,

１0、选（B）　

1１、由导数定义知

，

再由极限得保号性知当时,

从而当时,，因此C成立,应选C。

12、由函数在处可导,知函数在处连续

所以。

又

所以。

应选C。

三、计算解答

1、计算下列各题

（1）

（2）,,

（3）两边对求导:

（4）

设

则

（５）两边取对数:

两边求导:

（6）利用定义:

（7）　

又

[注：

因在处就是否二阶可导不知，故只能用定义求。

]

（8）

2、易知当时,均可导,要使在处可导

则,　且在处连续。

即

而

又

由

3、证明:

设交点坐标为,则　

对两边求导：

曲线在处切线斜率

又由

曲线在处切线斜率

又

两切线相互垂直。

4、设分钟后气球上升了米,则

两边对求导:

当ｍ时，

当m时,（弧度/分）

5、证明:

6、解:

由于，于就是所求切线斜率为

从而所求切线方程为　,　即　

又法线斜率为　

所以所求法线方程为　，即　

第三章中值定理与导数应用

一、填空题

１、_＿___＿____。

2、函数在区间_＿___＿_____＿＿_单调增。

３、函数得极大值就是＿________＿__。

4、曲线在区间___＿_＿＿＿_＿就是凸得。

5、函数在处得阶泰勒多项式就是_________。

6、曲线得拐点坐标就是＿__＿_＿__＿。

7、若在含得（其中）内恒有二阶负得导数,且__＿__＿_，则就是在上得最大值。

8、在内有_＿________个零点。

9、。

10、。

11、曲线得上凸区间就是______＿___＿。

12、函数得单调增区间就是____＿__＿___。

二、单项选择

1、函数有连续二阶导数且则（　）

（Ａ）不存在;（Ｂ）０;（C）-１;　（D）-2。

2、设则在内曲线（　　）

（A）单调增凹得;　　　（Ｂ）单调减凹得;

（C）单调增凸得;　　（Ｄ）单调减凸得。

3、在内连续,,则在处（　）

（Ａ）取得极大值；　　　　　（Ｂ）取得极小值;

（Ｃ）一定有拐点；（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点。

４、设在上连续,在内可导,则Ⅰ:

在内与Ⅱ:

在上之间关系就是（　）

（Ａ）Ⅰ就是Ⅱ得充分但非必要条件;　　（Ｂ）Ⅰ就是Ⅱ得必要但非充分条件;

（Ｃ）Ⅰ就是Ⅱ得充分必要条件;　　（D）Ⅰ不就是Ⅱ得充分条件，也不就是必要条件。

5、设、在连续可导,,且,则当时,则有（）

（A）;　（B）;

（Ｃ）；　（Ｄ）。

６、方程在区间内（　　　）

（A）无实根；　　　　　　　　（B）有唯一实根;

（Ｃ）有两个实根;　　　　（Ｄ）有三个实根。

7、已知在得某个邻域内连续,且，,则在点　处（　　）

（A）不可导；　（Ｂ）可导，且；

（Ｃ）取得极大值;　　（Ｄ）取得极小值。

８、设有二阶连续导数,且,,则（　　）

（Ａ）就是得极大值;　　（Ｂ）就是得极小值；

（Ｃ）就是曲线得拐点；　（D）不就是得极值点。

9、设为方程得二根,在上连续,在内可导,则在内（　　）

（A）只有一实根;　（B）至少有一实根；（C）没有实根;（D）至少有2个实根。

1０、在区间上满足罗尔定理条件得函数就是（）

（A）;　　（B）;

（Ｃ）;　　（